周艷麗，王揚(yáng)威，王 超，陳英才

（臺州學(xué)院 物理與材料工程系，浙江 臺州318000）

1 引 言

物理學(xué)力學(xué)部分有比較多的守恒定律，如：動量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、角動量守恒定律等.在實(shí)際教學(xué)中，為了增強(qiáng)學(xué)生對這些守恒定律的認(rèn)識，往往需要引入實(shí)驗(yàn)對相關(guān)守恒定律進(jìn)行演示和驗(yàn)證［1-3］.在物理教學(xué)中，滾擺實(shí)驗(yàn)常被用來演示機(jī)械能守恒定律.

實(shí)際上，滾擺在運(yùn)動過程中機(jī)械能是不守恒的.一方面，運(yùn)動過程中總有空氣阻力、擺線間摩擦力等非保守力做功；另一方面，如果擺線沒有彈性或擺線彈性可忽略，那么滾擺每次運(yùn)動到最低點(diǎn)時都會因?yàn)閿[線間摩擦及擺線內(nèi)摩擦而損失掉所有的平動動能［4］.針對滾擺運(yùn)動問題，目前已有不少的研究［4-10］，但這些研究往往只側(cè)重于分析和討論理想條件下（即忽略空氣阻力、擺線間摩擦力等因素的影響）滾擺在1次全滾動過程中的運(yùn)動特點(diǎn)和能量損失，而對于滾擺在多次全滾動中所遵從的運(yùn)動規(guī)律以及阻力、摩擦力等因素造成的機(jī)械能損失卻少有討論.這明顯不利于學(xué)生對滾擺運(yùn)動規(guī)律的完整認(rèn)識和把握.本工作的主要目的就是從實(shí)驗(yàn)上研究滾擺滾動最大高度和滾動時間隨滾動次數(shù)的變化規(guī)律，并在理想條件下從理論上討論分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果.同時，通過對比實(shí)驗(yàn)和理論結(jié)果，揭示了空氣阻力、繩間摩擦力等因素對滾擺運(yùn)動的影響及其所造成的系統(tǒng)的機(jī)械能損失.

2 實(shí) 驗(yàn)

滾擺的核心部件為由金屬軸和金屬輪組合而成的復(fù)合剛體，復(fù)合剛體由軸兩端的擺線對稱的懸掛在演示支架上，如圖1所示.把擺線均勻地繞在軸的兩端，使?jié)L擺提升至一定高度，然后平穩(wěn)釋放，滾擺將在重力和擺線拉力作用下重復(fù)向下和向上滾動.如果忽略能量損失，那么滾擺每次上滾的最大高度都相同，這說明滾擺在運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，重力勢能和動能循環(huán)相互轉(zhuǎn)換.

圖1 滾擺實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

實(shí)驗(yàn)所用的滾擺裝置主要參量：軸和輪的半徑分別為2.06mm和47.27mm；軸和輪組成的復(fù)合剛體總質(zhì)量為234.47g；復(fù)合剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量為3.199×10-4kg·m2（由三線擺實(shí)驗(yàn)儀多次測量平均得到）；擺線為三股加捻錦綸線（捻度約為300捻／m，直徑約為0.7mm）.轉(zhuǎn)軸側(cè)面上靠近軸兩端處對稱地分布著2個小孔（直徑約為1mm）.軸的兩端均為空心（空心部分直徑約為2mm），且各自與對應(yīng)端軸側(cè)面上的小孔連通.在安裝擺線時，首先取2根長度相等的擺線，并分別在一端打結(jié)；然后，將未打結(jié)的一端穿入軸端空心部分并由側(cè)面上小孔穿出.拉緊擺線，使擺線的繩結(jié)阻擋在軸端的空心部分，從而完成擺線與軸的固定；最后，分別將2根擺線未打結(jié)端綁定在懸梁對應(yīng)側(cè)的吊鉤上.懸梁上的2個吊鉤，一個位置固定，另一個高度可微調(diào).擺線連接完成后，微調(diào)吊鉤高度以保證2條擺線的長度相等.另外，為了量化運(yùn)動過程中滾擺的高度（位置）變化，將最小分度為1mm的米尺豎直固定在支架一側(cè)的立柱上，并用滾擺軸上邊緣（或下邊緣）的延長線在米尺上對應(yīng)刻度值的改變來表征滾擺的高度變化.

實(shí)驗(yàn)時，首先記錄滾擺靜止（即滾擺在最低點(diǎn)）時軸在米尺上對應(yīng)的刻度值，并將之定義為高度零點(diǎn)；隨后把擺線均勻地繞在軸的兩端，使?jié)L擺提升至初始高度H0并平穩(wěn)釋放.滾擺的整個運(yùn)動過程及時間由固定于實(shí)驗(yàn)裝置正前方的高清晰攝像機(jī)記錄.實(shí)驗(yàn)所選用的滾擺初始高度H0分別為：31.17，27.17，23.17，19.17，15.17cm.對于每一初始高度分別做5次實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)記錄30次以上的全滾動.根據(jù)攝像機(jī)錄像讀取滾擺第n次全滾動后滾擺的最大高度H（n）以及經(jīng)歷n次全滾動所需要的總時間T（n），并對數(shù)據(jù)做平均處理.考慮到不同初始高度所得到的數(shù)據(jù)變化規(guī)律相似，這里只給出初始高度為31.17cm時H（n）以及T（n）隨滾動次數(shù)n的變化，如圖2和圖3所示.圖中的虛線為理想條件下的理論結(jié)果，實(shí)線為用理論上得到的函數(shù)關(guān)系對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合曲線.系統(tǒng)機(jī)械能在滾擺運(yùn)動過程中不斷損失，從而使得滾擺滾動最大高度隨滾動次數(shù)的增多不斷減小，如圖2所示.另一方面，滾動次數(shù)越多，運(yùn)動經(jīng)歷的時間就越長，從而使得滾擺滾動時間隨滾動次數(shù)的增多不斷增大，如圖3所示.

圖2 滾擺最大高度Hn隨擺動次數(shù)n的變化

圖3 滾動時間T（n）隨擺動次數(shù)n的變化

3 理論分析

理想條件下忽略空氣阻力和繩子摩擦力等因素影響，只考慮滾擺在最低點(diǎn)的平動動能損失，理論上可以證明［5］以下幾個問題.

1）在下滾和上滾過程中，滾擺質(zhì)心作勻變速直線運(yùn)動，加速度a0可表示為

其中，M為輪和軸的總質(zhì)量，r為軸的半徑，I為輪和軸構(gòu)成的復(fù)合剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量.

2）在1次全滾動中（由初始最高點(diǎn)下滾，經(jīng)過最低點(diǎn)，然后再上滾至新的最高點(diǎn)）滾擺上滾最大高度H（n＋1）與下滾初始高度H（n）之間存在簡單的正比關(guān)系

其中系數(shù)k0為

由式（2）可以遞推得到n次全滾動后滾擺所能達(dá)到的最大高度H（n），即滾擺滾動最大高度隨滾動次數(shù)的變化關(guān)系

這里H0代表滾擺的初始高度.

單就1次全滾動而言，滾擺質(zhì)心的運(yùn)動可以分為3個部份：

1）下滾階段，質(zhì)心由最高點(diǎn)勻加速直線運(yùn)動到最低點(diǎn)；

2）反轉(zhuǎn)時刻，滾擺在最低點(diǎn)與擺線發(fā)生瞬間相互作用，質(zhì)心速度方向發(fā)生反轉(zhuǎn)；

3）上滾階段，質(zhì)心由最低點(diǎn)勻減速直線運(yùn)動到新的最高點(diǎn).結(jié)合式（1）和（4）可求出滾擺第n次全滾動中所需要的時間

由式（5）可以得到滾擺經(jīng)過n次全滾動所用的總時間T（n），即滾擺滾動時間隨滾動次數(shù)的變化關(guān)系

其中常數(shù)B0表示為

取重力加速度g＝9.8m／s2，并將軸半徑r、輪和軸的復(fù)合體總質(zhì)量M及其對軸的轉(zhuǎn)動慣量I值代入式（3）和（7）可以得到k0＝0.996 9，B0≈1 045s／cm1／2.k0非常接近于1，這表明在理想條件下，實(shí)驗(yàn)所用滾擺在最低點(diǎn)處的平動動能損失很小，從而可以比較好地演示機(jī)械能守恒.圖2和3中的虛線分別給出了理想條件下滾擺最大高度和滾動時間隨滾動次數(shù)的變化曲線.可以看出，理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有很大差別.這是因?yàn)樯鲜隼碚撏茖?dǎo)忽略了空氣阻力、擺線間摩擦力和擺線的內(nèi)摩擦等因素的影響.很明顯，上述因素對滾擺運(yùn)動有重要影響：空氣阻力、繩子間摩擦力等非保守力做功消耗機(jī)械能，使?jié)L擺最大高度隨滾動次數(shù)的衰減得更快，如圖2所示；同時，阻力、摩擦力等的存在使下滾過程中的加速度減小，而使上滾過程中的加速度增大.當(dāng)阻力、摩擦力等比較小時，滾動時間隨滾動次數(shù)的增大要比理想情形的緩慢，如圖3所示.

盡管實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在量值上與理論結(jié)果不同，但是實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以用理論上給出的函數(shù)關(guān)系［式（4）和（6）］描述，如圖2和圖3中的實(shí)線所示，滾擺最大高度隨滾動次數(shù)的變化關(guān)系可表示為：

滾擺滾動時間隨滾動次數(shù)的變化關(guān)系可表示為

對于不同的初始高度，表1給出了擬合得到的系數(shù)k和B.可以看出，k和B與理論值k0和B0有很大的差別.另外，隨著初始高度的增大，k和B值都有減小的趨勢，這意味著：初始高度越高，滾擺系統(tǒng)機(jī)械能損失得就越快.但是，從數(shù)值上看，初始高度對k和B值的影響還是比較微小，因此可以粗略地認(rèn)為k和B只與系統(tǒng)自身屬性有關(guān).為了進(jìn)一步說明實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論結(jié)果在量值上的差別，用擬合得到的k替代k0，并由式（7）計算得到了B′，如表1所示.可以看出，B值與B′值也有很大的差別.這是因?yàn)椋涸趯?shí)際條件下，由于阻力、摩擦力等的存在，滾擺下滾和上滾過程中的加速度不再相等，而下滾和上滾過程中加速度相等恰恰是式（7）成立的條件.

表1 不同初始高度對應(yīng)的系數(shù)k和B

滾擺運(yùn)動過程中空氣阻力、繩子間摩擦力等是不可忽略的因素，其做功也是系統(tǒng)機(jī)械能損失的重要來源.假定用Wf（n）表示第n次全滾動中上述阻力和摩擦力因素消耗的機(jī)械能總量，那么由k0和k則得到Wf（n）隨滾動次數(shù)的變化關(guān)系：

4 結(jié)束語

從實(shí)驗(yàn)上研究了滾擺運(yùn)動過程中滾動最大高度H（n）和滾動時間T（n）隨滾動次數(shù)n的變化，并從理論上推導(dǎo)出了理想條件下H（n）及T（n）關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系.研究結(jié)果表明：由于空氣阻力和擺線間摩擦力等因素的存在，實(shí)驗(yàn)結(jié)果在量值上與理想條件下的理論結(jié)果并不一致，但是，實(shí)驗(yàn)結(jié)果仍可由理論得到的函數(shù)關(guān)系描述；對比實(shí)驗(yàn)和理論結(jié)果可以確定空氣阻力、擺線間摩擦力等因素所造成的系統(tǒng)機(jī)械能損失.

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