李艷鳳，劉海成，康文艷，王雪巍

（1.黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院，大慶163319；2.齊齊哈爾林業(yè)學(xué)校；3.齊齊哈爾市第一中學(xué)）

在20 世紀(jì)40 年代，人們受計(jì)算拓?fù)渲械耐{(diào)而發(fā)展起來(lái)的技巧和方法啟發(fā)，定義和探索了一系列代數(shù)系統(tǒng)的同調(diào)與上同調(diào)[1]。Cartan 和Eilenberg[2]的專(zhuān)著對(duì)于同調(diào)理論作了系統(tǒng)的總結(jié)，他們運(yùn)用模的投射與內(nèi)射分解成功地定義了導(dǎo)出函子，完美地將各種同調(diào)理論統(tǒng)一起來(lái)。這是數(shù)學(xué)史上真正的變革，而且這是一個(gè)新的開(kāi)始。

自從1945 年Malcane 與Eilenberg 提出范疇的概念和理論以來(lái)，它在數(shù)學(xué)的許多分支，例如代數(shù)幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何學(xué)以及函數(shù)理論中均已有所應(yīng)用。代數(shù)表示論主要研究有限維代數(shù)的結(jié)構(gòu)[3-6]、不可分解表示和模范疇的構(gòu)造。余代數(shù)是通過(guò)代數(shù)的對(duì)偶[7]定義的，在對(duì)代數(shù)的模范疇研究的基礎(chǔ)上，余代數(shù)的余模范疇的研究對(duì)討論余代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示有重要意義。

①治療后復(fù)查血液流變學(xué)各指標(biāo),評(píng)價(jià)腦循環(huán)改善情況,內(nèi)容包括全血高切黏度、全血低切黏度、血漿黏度、纖維蛋白原、血細(xì)胞比容;血液黏度采用毛細(xì)管粘度測(cè)量法,纖維蛋白原采用ELISA法測(cè)定,血細(xì)胞比容采用離心法測(cè)定。②分別評(píng)估治療前后神經(jīng)功能及生活能力,采用NIHSS評(píng)分評(píng)價(jià)神經(jīng)功能缺損程度,采用日常生活能力量表(ADL)評(píng)價(jià)生活能力改善情況;③記錄各項(xiàng)細(xì)胞因子變化,包括TNF-α、IL-1、SOD、MDA、NT-proBNP,TNF-α、IL-1評(píng)價(jià)全身炎癥狀況,采用ELISA法測(cè)定;SOD、MDA評(píng)價(jià)體內(nèi)自由基水平,采用比色法測(cè)定;NT-proBNP評(píng)價(jià)病情嚴(yán)重程度,采用熒光免疫分析法測(cè)定。

所以，根據(jù)代數(shù)復(fù)形的同調(diào)群理論來(lái)研究其對(duì)偶的余代數(shù)的同調(diào)群[8]。下面給出若干有向圖的無(wú)窮小余代數(shù)的同調(diào)群的計(jì)算。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)C 是一個(gè)有單位元1C的環(huán)，CM 為所有左C-模連同所有模同態(tài)所組成的模范疇。在CM 中取一系列C-模An，-∞＜n＜+∞，并取dn∈Hom（An，An-1），即得一列

如果對(duì)于所有的n，都有dndn+1=0，則稱(chēng)（A，d）為一個(gè)復(fù)形，或稱(chēng)為鏈。An為此復(fù)形的第n 次項(xiàng)，整數(shù)n為該項(xiàng)的次數(shù)，dn為其微分。如果所有微分都等于0，則此復(fù)形叫做平凡的。條件dndn+1=0 意味著Imdn+1?Kerdn，我們稱(chēng)商模Kerdn/Imdn+1=Hn（A，d）為復(fù)形 （A，d）的第n 個(gè)同調(diào)群。全體Hn（A，d）的集合{Hn（A，d）}叫做復(fù)形（A，d）的同調(diào)群H（A，d）。

定義1 設(shè)K 為一個(gè)域，C 為一個(gè)K 線性空間，△∈HomK（C，C?C）為一個(gè)線性映射，如果它們滿足如下的條件：（I?Δ）Δ=（Δ?I）Δ，我們稱(chēng)（C，Δ）是一個(gè)K 余代數(shù)。

定義2 設(shè)Q是頂點(diǎn)集Q0和箭頭（即有向邊）集Q1均有限的有向圖。對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)n，用Qn表示以Q中長(zhǎng)度為n的路徑（簡(jiǎn)記為γ=a1a2Lan）全體的集合。設(shè)K為一個(gè)數(shù)域，記Qn為基的K向量空間為KQn。我們稱(chēng)向量空間kQ=⊕∞n=0kQn為圖的道路向量空間。定義余乘法如下：

其中γ=a1a2Lan。不難驗(yàn)證，（KQ，Δ）為余代數(shù)。我們稱(chēng)這樣得到的余代數(shù)為圖Q的無(wú)窮小余代數(shù)，稱(chēng)KQi的非零元為（KQ，Δ）第i次成分。令，則（KQ[n]，Δ）為（KQ，Δ）的子余代數(shù)，我們稱(chēng)其為Q的n次無(wú)窮小余代數(shù)。

定義3 同調(diào)代數(shù)領(lǐng)域的基本對(duì)象是一個(gè)鏈復(fù)形（A*，d*）。這是一個(gè)由交換群、模或更廣義地說(shuō)是由一個(gè)阿貝爾范疇的對(duì)象組成的序列A0，A1，A2…。它們通過(guò)一系列同態(tài)dn:An→An-1相連，使得每?jī)蓚€(gè)連接的映射的合成為零：對(duì)所有n有dn?dn+1=0

鏈復(fù)形的同調(diào)群定義為Hi（A*）=Ker（di）/Im（di+1）。

我們定義ei的次數(shù)為0，ai的次數(shù)為1，ai?aj的次數(shù)為2，…。由于

定義4 鏈復(fù)形概念的一個(gè)對(duì)偶版本是上鏈復(fù)形。一個(gè)上鏈復(fù)形（A*，d*）是個(gè)序列A0，A1，A2…。它們由一系列同態(tài)dn:An→An+1相連，使得任何兩個(gè)接連的映射的合成為零：對(duì)所有n有dn+1?dn=0

證明：我們用歸納法來(lái)證明：

2 無(wú)窮小余代數(shù)的Hochschild同調(diào)群

設(shè)Q是一沒(méi)有分支的有向樹(shù)，Q0是頂點(diǎn)的集合，Q1是長(zhǎng)度為1的有向邊的集合。我們有如下命題：

命題1 對(duì)于一個(gè)沒(méi)有分支的有向路Q(chēng)，設(shè)Q0={e0，e1，…，en}，Q1={a1，a2，…，an}，其中ai表示ei-1→ei的一個(gè)有向邊。Q的余代數(shù)為C，則復(fù)形的H0?K⊕K⊕…⊕K，其中K的個(gè)數(shù)為n+1，即該有向圖的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

從行為方式上來(lái)看，負(fù)面清單模式是相較于政府主動(dòng)管制行為的一種相對(duì)被動(dòng)的管理方式，單純依賴(lài)于負(fù)面清單顯然只能助長(zhǎng)政府的惰性和社會(huì)經(jīng)濟(jì)主體的逐利性，也只是一種缺乏互動(dòng)參與的單方面行為方式。從理論上講，政府與市場(chǎng)并非市場(chǎng)管理中的單選題,兩者能否互動(dòng)以及如何互動(dòng)才是問(wèn)題的關(guān)鍵。在市場(chǎng)與政府間進(jìn)行選擇并不關(guān)系到制度完善或者不完善的是非問(wèn)題，而是通過(guò)何種途徑將不完善變得更完善，降低缺陷的程度。比較理性的選擇并不一定要在完善的市場(chǎng)機(jī)制或者完善的政府管制之間二選一,而是要在不完善的政府和不完善的市場(chǎng)之間構(gòu)建有效的協(xié)調(diào)互動(dòng)機(jī)制,在博弈中尋求政府與市場(chǎng)的契合點(diǎn),以保證現(xiàn)代市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的規(guī)范運(yùn)行。

根據(jù)圖10所示的同機(jī)器移動(dòng)工序鄰域結(jié)構(gòu)示意圖，同機(jī)器移動(dòng)工序可分為兩種情況：①將工序u移至v之后，如圖11所示；②將工序v移至u之前，如圖12所示。同機(jī)器移動(dòng)工序與JSP中的鄰域結(jié)構(gòu)相似，因此，可以擴(kuò)展Balas[4]所提出的近似評(píng)價(jià)方法，應(yīng)用于FJSP的同機(jī)器移動(dòng)工序。

關(guān)于鏈復(fù)形的種種定義可以照搬至上鏈復(fù)形；實(shí)質(zhì)上，我們僅須將原定義中的所有箭頭反轉(zhuǎn)。例如上鏈復(fù)形的上同調(diào)群定義為Hi（A*）=Ker（di）/Im（di-1）。

n=1時(shí)就是有向圖Q，Q0={e0，e1}，Q1={a1}：ai表示e1→e2的有向邊。C中元素有形式x=k1a1+k2e1+k3e3，ki∈K，K是一個(gè)域。如果d1（x）=0，則x=k1e1+k2e2，從而H0?K⊕K。

假設(shè)頂點(diǎn)數(shù)不超過(guò)n的都成立，則頂點(diǎn)數(shù)為n+1時(shí)：

遠(yuǎn)遠(yuǎn)的，我看見(jiàn)了吳小紅。吳小紅一見(jiàn)我眼圈就紅了。原來(lái)，在我住院這段時(shí)間，吳小哥病情出現(xiàn)了反復(fù)，天天吵著要回古家莊，說(shuō)古大富是不是一個(gè)人跑回古家莊了。就在前幾天，吳小哥情緒有所平靜，說(shuō)想吃煮玉米。吳小紅聽(tīng)了很高興，就去街上買(mǎi)玉米。等她回來(lái)，吳小哥的輪椅已經(jīng)從樓梯上摔了下來(lái)。

圖5和圖6分別是采用不同方法對(duì)濃度為0.1 mmol/L和0.03 mmol/L的樣品溶液檢測(cè)到的信號(hào)進(jìn)行去噪后的結(jié)果。對(duì)比分析圖5和圖6可知,采用空域相關(guān)方法去噪,去噪后波峰的峰高和波峰位置形狀幾乎沒(méi)有變化,但是基線相對(duì)粗糙;采用普通閾值方法去噪,去噪后信號(hào)第1個(gè)波峰的峰高分別減少了約0.45 mV和0.35 mV,影響對(duì)檢測(cè)結(jié)果的分析;相較于現(xiàn)有方法,本文方法能在保持峰形和峰高不變的情況下,有效濾除信號(hào)中的噪聲,提高信噪比。因此本文方法能有效提高檢測(cè)儀的性能。

俞敏杰是顧曉琳在學(xué)習(xí)上的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手。兩個(gè)人學(xué)習(xí)上誰(shuí)也不服誰(shuí)，第一名的成績(jī)輪流坐莊。不過(guò)，顧曉琳現(xiàn)在糟糕的家庭狀況讓俞敏杰為她擔(dān)心起來(lái)，如果這種狀況持續(xù)下去，她的成績(jī)肯定要下降，可是如果因?yàn)檫@個(gè)原因成全自己在班里第一名的地位，自己好像有點(diǎn)兒勝之不武。

γij表示長(zhǎng)度為i的道路，如果x∈kerdi=kerΔ，由于只有Δ（γn）的次數(shù)為n-1，從而kn=0。由于

選取評(píng)價(jià)指標(biāo)是進(jìn)行雷電災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)區(qū)劃的基礎(chǔ)，是分析和研究事物風(fēng)險(xiǎn)的切入點(diǎn)。本研究結(jié)合長(zhǎng)沙地區(qū)的雷電災(zāi)害的實(shí)際情況，采用以下4個(gè)指標(biāo)來(lái)分析長(zhǎng)沙地區(qū)的雷災(zāi)易損性，包括雷擊密度、雷擊災(zāi)害頻度、經(jīng)濟(jì)易損模數(shù)以及生命易損模數(shù)［10］。其中前兩項(xiàng)指標(biāo)著重于雷電和雷電災(zāi)害發(fā)生頻率、次數(shù)的評(píng)價(jià)，反映致災(zāi)因子的時(shí)空分布和承災(zāi)體的受損程度，后兩項(xiàng)指標(biāo)則側(cè)重于人員和經(jīng)濟(jì)損失的評(píng)估，反映承災(zāi)體的受損強(qiáng)度［11］。

那天晚上女人喝醉了，和她相處了五年多的男友棄她出國(guó)了，還拐走了她十幾萬(wàn)元錢(qián)的存款。尤其不能讓她原諒和傷心的是男友的不辭而別，聽(tīng)說(shuō)還帶了個(gè)年輕的女孩出去。

由于第一項(xiàng)中出現(xiàn)了e0，后面的每一項(xiàng)中都出現(xiàn)了a1。e0，a1在Δ（γ2n-1）的每一項(xiàng)中都不可能出現(xiàn)，而其余的γij次數(shù)又都＜n-2，因此k1n-1，k2n-1=0。類(lèi)似的只要γ的長(zhǎng)度不為0，其前面的系數(shù)全為0，因此x=k01e0+k01e1+…+k0n+1en。故H0?K⊕K⊕…⊕K。即總共有n+1個(gè)K，其中n+1是該有向圖的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)。證畢。

設(shè)Q是一有平行邊的有向圖，Q0是頂點(diǎn)的集合，Q1是長(zhǎng)度為1的有向邊的集合。我們有如下命題：

◎注意清潔保持干燥，拉完臭臭要洗屁屁、擦干，可以用電吹風(fēng)吹，注意溫度不能燙傷，最好選用帶溫控的電吹風(fēng)。

從而△將任何一條路徑降1次冪，這相當(dāng)于一般代數(shù)中的微分算子。γ的次數(shù)為n，Δ（γ）的次數(shù)為n-1。我們可令

命題2 對(duì)于有向圖Q，Q0={e0，e1}，Q1={a，b，c}，其中a，b是e1→e2的兩條不同路徑，C是e2→e1的一條路徑，Q的余代數(shù)為C，則如下復(fù)形的H0，H1是平凡的：

證明：C2中的元素可以表示成x=k1ac+k2bc+k3ca+k4cb。我們可以計(jì)算出

則Δ（x）=（k1+k2）（e1?c）+k1（a?e0）+k2（b?e0）+（k3+k4）（c?e1）+k3（e1?a）+k4（e1?b）。

如果x∈kerΔ，可以解出k1=k2=k3=k4=0。即x=0，從而H0=0。

下面我們證明1階同調(diào)群是平凡的。

若y∈kerd2，則有

我們可以解出k1=k2+k3，k4=k5+k6，從而

故H1=0。證畢。

3 結(jié)論

介紹了無(wú)窮小余代數(shù)、同調(diào)代數(shù)的基本概念。利用余代數(shù)可以看成其有限維子余代數(shù)的并，余模可以看成其有限維子余模的并，將所研究的無(wú)限維的情況轉(zhuǎn)換成有限維來(lái)研究余代數(shù)的低階同調(diào)群的計(jì)算。得出了有向圖的無(wú)窮小余代數(shù)的0階同調(diào)群是以域K的頂點(diǎn)為基的線性空間；還得出了有向圖的無(wú)窮小余代數(shù)的0階和1階同調(diào)群是平凡的。對(duì)繼續(xù)研究其他余代數(shù)的同調(diào)群具有指導(dǎo)意義。

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