趙 建，霍佳震，汪 鑫

（1.同濟(jì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200092；2.長江證券研究所，上海 200122）

一、引 言

傳統(tǒng)資產(chǎn)配置模型討論的是一個(gè)時(shí)間段內(nèi)的投資問題，即假設(shè)所有投資都是從一個(gè)時(shí)點(diǎn)開始，不考慮資金的重復(fù)利用，因此屬于靜態(tài)決策。例如Markowitz的均值一方差模型［1-2］就是討論在有效前沿上配置風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，有效前沿上的每個(gè)點(diǎn)對應(yīng)著不同資產(chǎn)的權(quán)重，各部分資產(chǎn)權(quán)重之和為1。然而，實(shí)際中的投資往往是一個(gè)持續(xù)不斷、貫穿多階段的過程。對于一個(gè)長期投資者來說，需要隨著投資環(huán)境的變化適時(shí)調(diào)整組合頭寸，而不是將初期構(gòu)建的投資組合一成不變地保持到投資計(jì)劃期末。于是很多學(xué)者致力于把Markowitz模型推廣到多階段或連續(xù)時(shí)間的動(dòng)態(tài)情形。動(dòng)態(tài)投資組合優(yōu)化建模中最主要的方法有隨機(jī)控制和隨機(jī)規(guī)劃方法。目前關(guān)于多階段（或多期）動(dòng)態(tài)投資組合選擇已經(jīng)取得較多研究成果，做出突出貢獻(xiàn)的主要有Mossin［3］、Li 和Ng［4］以及Zhou 和Li［5］等。不過，在離散時(shí)點(diǎn)上的動(dòng)態(tài)組合研究還相對缺乏。此外，目前的多期動(dòng)態(tài)模型對各期之間關(guān)系未作較多說明，即隱含著總的時(shí)間區(qū)間可以方便地進(jìn)行清晰分割；且每期的決策在期初一經(jīng)作出，將不再更改，決策的次數(shù)與期數(shù)一致；另外，現(xiàn)有動(dòng)態(tài)模型一般均未考慮流動(dòng)性約束的存在，也就是說某些資產(chǎn)可能因?yàn)榱鲃?dòng)性不足而被迫繼續(xù)持有。

考慮一種更一般的情形，如果某個(gè)時(shí)點(diǎn)能夠觀察到未來一段時(shí)間存在若干投資機(jī)會(huì)（或投資項(xiàng)目），這些投資機(jī)會(huì)的存續(xù)時(shí)間不盡相同，則資金分配動(dòng)作將不是在最初的一個(gè)時(shí)點(diǎn)作出，而是一個(gè)逐步進(jìn)行的過程，并且后續(xù)投資機(jī)會(huì)的投入資金可以部分或全部來源于之前的投資機(jī)會(huì)，稱這類問題為連續(xù)投資問題。

傳統(tǒng)的資產(chǎn)配置模型中，資金分配是在同一時(shí)點(diǎn)作出，因此模型存在一個(gè)總資金約束，即所有投資項(xiàng)目的投入資金總和不超過初始資金。而在連續(xù)投資的情形下，原先的總資金約束將不再滿足。因此，在資金配置時(shí)加入投資項(xiàng)目的起止時(shí)間因素后，任意一個(gè)投資項(xiàng)目的機(jī)會(huì)成本計(jì)算將變得更為復(fù)雜，決策時(shí)不僅需要考慮當(dāng)期的投資項(xiàng)目，還需為未來的投資項(xiàng)目預(yù)留部分資金，于是資金的重復(fù)利用是考慮時(shí)間因素之后的資金規(guī)劃的關(guān)鍵差別所在。如圖1中包含10個(gè)投資項(xiàng)目，容易看出，不管項(xiàng)目1（opt1）、項(xiàng)目2（opt2）各自占用了多少資金量，都不會(huì)影響其他項(xiàng)目的可用資金。因?yàn)樵谄渌?xiàng)目需要投資之時(shí)，原先投資項(xiàng)目1 和項(xiàng)目2 的資金均已收回。而對opt3 進(jìn)行決策時(shí)，不僅需要考慮opt4，還應(yīng)考慮到opt5～opt10。如上所述，在連續(xù)投資的情況下，總資金約束將更為復(fù)雜。

圖1 不同投資項(xiàng)目間時(shí)間重疊的情況

連續(xù)投資中的資金規(guī)劃問題，看起來類似一個(gè)典型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題［6-7］。但是，如果使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來解決上述問題，則首先需要進(jìn)行決策階段的劃分：

（1）若使用項(xiàng)目的開始時(shí)間來區(qū)分決策階段，則開始時(shí)間相同但結(jié)束時(shí)間不同的項(xiàng)目將無法合并成一個(gè)，從而導(dǎo)致單階段的特征未能完全表示出來；

（2）若考慮根據(jù)投資項(xiàng)目來區(qū)分決策階段，即一個(gè)決策階段對一個(gè)投資項(xiàng)目的投資額做出決策。則起始時(shí)間靠前的項(xiàng)目應(yīng)排在前面，即早發(fā)生的早決策，同時(shí)發(fā)生的決策順序不限。其次需要確定各決策階段的狀態(tài)變量。由于所研究的問題具有路徑依賴性，不能僅以剩余資金作為狀態(tài)變量，如果要滿足最優(yōu)化原理［6］關(guān)于“狀態(tài)”的要求，還需要將之前走過的路徑都記錄下來作為狀態(tài)，如此狀態(tài)變量將過于復(fù)雜。因此連續(xù)投資問題很難用一般的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來解決。

總之，傳統(tǒng)的資產(chǎn)配置模型或動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法均無法有效解決連續(xù)投資下的資金規(guī)劃問題。本文嘗試對該類問題進(jìn)行研究。首先按照項(xiàng)目之間時(shí)間關(guān)系的復(fù)雜程度和目標(biāo)函數(shù)的復(fù)雜程度進(jìn)行分類討論。接著給出了該類規(guī)劃問題約束方程的通用形式，指出其求解方法，并探討了實(shí)際操作中的決策流程，最后給出了一個(gè)算例并與其他方法進(jìn)行了比較。

二、連續(xù)投資下資金規(guī)劃的抽象與建模

（一）目標(biāo)函數(shù)一般而時(shí)間關(guān)系簡單時(shí)的情形

如圖2，各個(gè)項(xiàng)目在投資時(shí)間上沒有重疊或交叉，對于目標(biāo)函數(shù)，僅要求它對各個(gè)項(xiàng)目的投資資金量都是增函數(shù)①。在這種時(shí)間關(guān)系簡單的情形下，最終決策就是將全部資金依次投資于各個(gè)項(xiàng)目。

圖2 項(xiàng)目間時(shí)間關(guān)系為簡單的串聯(lián)關(guān)系

再考慮另外一種情形（如圖3），這種情況下可將項(xiàng)目1到項(xiàng)目N合并作為一個(gè)整體，記為C’，則項(xiàng)目C’內(nèi)部的投資方案即為依次投資的過程。由于項(xiàng)目C’與項(xiàng)目A、項(xiàng)目B沒有資金流動(dòng)，所以決策過程就是將初始資金分成三部分，分別投資于項(xiàng)目A、項(xiàng)目B和項(xiàng)目C’，因此三部分的資金分配問題就轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單一時(shí)點(diǎn)上的資金分配問題。

圖3 簡單時(shí)間關(guān)系的另一種情況

這種“簡單時(shí)間關(guān)系”的界定方法為：在給定的項(xiàng)目集合中，每個(gè)項(xiàng)目的資金來源不超過一個(gè)，或者每個(gè)項(xiàng)目的回收資金只有一種用途。

（二）目標(biāo)函數(shù)簡單而時(shí)間關(guān)系復(fù)雜時(shí)的情形

圖4 中給出了另一種情形，其中項(xiàng)目4 的資金既可以來源于項(xiàng)目1，又可以來源于項(xiàng)目2，顯然簡單時(shí)間關(guān)系時(shí)的方法已不再適用，稱之為“復(fù)雜時(shí)間關(guān)系”。

圖4 復(fù)雜時(shí)間關(guān)系的示例

現(xiàn)在以收益率最大化為目標(biāo)函數(shù)和一般目標(biāo)函數(shù)兩種情況分別進(jìn)行討論。在預(yù)期收益率最大化目標(biāo)下②，該資金規(guī)劃問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)純線性規(guī)劃問題，因此任何項(xiàng)目選擇都是非此即彼的，即對于任何一個(gè)項(xiàng)目，要么選擇完全不投資，要么將全部可用資金都投資于這個(gè)項(xiàng)目。

本例中，按照時(shí)間先后將決策過程分成四個(gè)階段（如圖5），每個(gè)項(xiàng)目的開始時(shí)刻就是每個(gè)決策階段的開始，（分別對應(yīng)圖4中的t1、t2、t3和t4）。在i（i=1，2，3，4）階段決定項(xiàng)目i 的投資額度（在收益率的目標(biāo)下，投資額度實(shí)際上只在0 和全部現(xiàn)有資金M 兩種選擇，M 表示該項(xiàng)目流入資金）。

圖5 收益率目標(biāo)下的窮舉樹

顯然，通過對所有的可能決策進(jìn)行窮舉，在最后階段選擇M最大的，其對應(yīng)的路徑就是各個(gè)階段的決策方案，也就是對應(yīng)了每個(gè)項(xiàng)目的投資額度。稱圖5 這種形式為“窮舉樹”。其中每條有向線條都對應(yīng)著一個(gè)決策（標(biāo)記“Y”的表示進(jìn)行了投資，“N”表示不進(jìn)行投資），每個(gè)階段的狀態(tài)（即圖中M的值）由先前的所有決策共同決定。

上述的窮舉樹可以很容易地簡化為圖6，稱之為“決策圖”。更進(jìn)一步地，圖6中虛線表示的邊也可以忽略掉，因?yàn)樵陬A(yù)期收益率為正的假設(shè)下，任意一條虛線對應(yīng)的決策一定不是最優(yōu)決策。

圖6 收益率目標(biāo)下的決策圖

如果對決策圖中的每條邊賦以權(quán)值，如起點(diǎn)S 是虛擬節(jié)點(diǎn)，并沒有實(shí)際的投資，因此以S為起點(diǎn)的邊權(quán)值均為1。以項(xiàng)目i 為起點(diǎn)的邊的權(quán)值記為1+ri，表示如果對項(xiàng)目i 投資資金1，可以獲得的預(yù)期收益為（1+ri）。連續(xù)經(jīng)過兩條分別以項(xiàng)目i 和項(xiàng)目j 為起點(diǎn)的邊，表示先投資于項(xiàng)目i 然后將獲得的全部回收資金再投資于項(xiàng)目j，因此最后獲得的收益可表示為（1+ri）（1+rj）?？梢钥闯?，窮舉樹（圖5）中的任何一種決策方案，都能在決策圖中找到對應(yīng)的路徑。

通過將窮舉樹簡化為決策圖，可以通過圖論中求解最短路徑的Dijkstra 算法［8］來解決此類以收益率為目標(biāo)的資金規(guī)劃問題，在此不再贅述。

（三）目標(biāo)函數(shù)一般且時(shí)間關(guān)系復(fù)雜時(shí)的情形

接下來探討最一般的情形，即目標(biāo)函數(shù)為一般形式且時(shí)間關(guān)系復(fù)雜時(shí)的情形。

在一般目標(biāo)函數(shù)下，對每一個(gè)項(xiàng)目的最優(yōu)投資策略并非只有完全不投資和將所有資金全部投資兩種情況，因此如果仍然使用窮舉樹方法就需要對投資額度作離散化處理，這將會(huì)使結(jié)果喪失一定的精確度，而且離散化之后的問題也將會(huì)是一個(gè)NP 問題［9］，于是在項(xiàng)目數(shù)目較多時(shí)，將無法在有限時(shí)間內(nèi)求解。

再考慮使用Dijkstra 算法的可行性。在Dijkstra 算法中，需要對每一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行T標(biāo)號(hào)［8］，表示到達(dá)這一頂點(diǎn)時(shí)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的下限，再通過比較不同路徑到達(dá)每一個(gè)點(diǎn)的T標(biāo)號(hào)值，逐步舍棄掉非最優(yōu)的路徑，從而使得算法大大簡化。要在此過程中及時(shí)舍棄非最優(yōu)的路徑，必須能對不同的路徑進(jìn)行提前比較，而這恰恰只有在收益率為目標(biāo)或其他線性目標(biāo)函數(shù)下才能做到，一般的目標(biāo)函數(shù)下則很難做到。

綜上可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為復(fù)雜形式時(shí)，需要另辟蹊徑來進(jìn)行優(yōu)化求解。不妨使用預(yù)期收益率、預(yù)期波動(dòng)率、初始投資日和資金回收日這四個(gè)變量來描述一個(gè)投資項(xiàng)目，則投資項(xiàng)目i 表示為[ERi,αi,t1i,t2i]，N個(gè)投資項(xiàng)目的集合可表示為A={[ERi,σi,t1i,t2i]i=1,2,…,N}。需要指出的是，這只是一個(gè)一般表達(dá)式，實(shí)際投資分析中可對其中的特征變量進(jìn)行增刪，如可以根據(jù)實(shí)際需要在投資項(xiàng)目描述中去掉預(yù)期收益率、預(yù)期波動(dòng)率因素，也可以加入其他因素或變量。

在投資項(xiàng)目集給定的情況下，總效用函數(shù)是由每個(gè)投資項(xiàng)目的投入資金量決定的。用ω=(ω1,ω2,…,ωN)′表示每個(gè)項(xiàng)目的投入資金量，總效用函數(shù)表示為g(ω,A)。

另外，考慮任何時(shí)刻都可以有外部資金的流入流出，初始資金為1 及過程中沒有流入流出。則未來的外部現(xiàn)金流入可表示為：

從而資金規(guī)劃的問題就是在給定投資項(xiàng)目集合A和外部資金流入的條件下，以總效用函數(shù)g(ω,A)最大化為目標(biāo)，求解各個(gè)項(xiàng)目投入資金的最優(yōu)比例即歸結(jié)為如下的最優(yōu)化問題：

滿足：

其中，ω、A、g(ω,A)的含義如前所述。第二個(gè)約束的本質(zhì)是任何時(shí)刻將要花出去的資金不能超過實(shí)際持有的資金。具體而言，其左邊表示項(xiàng)目i 的投資資金量，右邊第一項(xiàng)表示已流入的外部資金的總和，第二項(xiàng)表示已經(jīng)回收的資金量總和，此兩項(xiàng)之和為總的資金流入量；右邊第三項(xiàng)表示所有已投資項(xiàng)目使用的資金量總和，即總的資金流出。因此右邊整體表示在對項(xiàng)目i進(jìn)行投資前持有的資金總量。

上述規(guī)劃的求解可采用序列二次規(guī)劃算法（Sequential Quadratic Programming,SQP）［10-11］。SQP 方法是解決不等式約束下的非線性規(guī)劃問題最有效的一類數(shù)值方法，該方法通過解二次規(guī)劃問題來獲得原始非線性規(guī)劃問題的解的最速下降路徑，并通過此路徑來搜索非線性問題的最優(yōu)解。在后文試驗(yàn)中采用的幾種目標(biāo)函數(shù)下，SQP方法都較快地獲得了滿足條件的解。與SQP方法相比，傳統(tǒng)的“內(nèi)點(diǎn)法”獲取解的耗時(shí)更長，并且當(dāng)最優(yōu)解在約束邊界附近時(shí)，其表現(xiàn)也不如SQP方法。

三、現(xiàn)實(shí)投資中的其他問題

（一）相同項(xiàng)目的合并

由于不同項(xiàng)目間的相互影響是它們在投資時(shí)間上的相互重疊造成的，因此若兩個(gè)項(xiàng)目的初始投資日和資金回收日均相同，則它們對于其他項(xiàng)目的影響是一致的，而這些項(xiàng)目有時(shí)會(huì)導(dǎo)致解的不確定。例如以收益率為目標(biāo)時(shí)，如果兩個(gè)投資項(xiàng)目的初始投資日和資金回收日均相同，并且它們的預(yù)期收益率也相同，則這兩個(gè)項(xiàng)目的投資額的總和才對目標(biāo)函數(shù)有影響，而它們各自的權(quán)重則有一定的任意性，這必將導(dǎo)致解的不確定。因此對于這樣的項(xiàng)目，需要先通過一定方法確定這些投資機(jī)會(huì)在內(nèi)部的最優(yōu)投資比例，以這個(gè)內(nèi)部最優(yōu)投資比例將這些投資機(jī)會(huì)組合成一個(gè)整體，再與其他投資機(jī)會(huì)放在一起考慮連續(xù)性投資的規(guī)劃。合并的方法可以根據(jù)投資者個(gè)人的喜好或者根據(jù)目標(biāo)函數(shù)決定。

例如，假設(shè)初始觀察到的項(xiàng)目集合為：

不妨假設(shè)待合并的項(xiàng)目正好排在前k個(gè)，即

且t21=t22=…=t2k=t2

不妨使用組合夏普比率最大化作為目標(biāo)函數(shù)來求這k個(gè)項(xiàng)目的最優(yōu)相對權(quán)重，即：

滿足：

其中：

如果A1中還有其他的可以合并的投資機(jī)會(huì)，則重復(fù)上面的步驟，直到得到的集合中任意兩個(gè)投資機(jī)會(huì)均不能進(jìn)行合并。

（二）項(xiàng)目集合的分解

經(jīng)過上述合并處理之后的項(xiàng)目集合，還需要對其作進(jìn)一步的預(yù)處理。預(yù)處理的目的是將一個(gè)大的項(xiàng)目集合劃分成幾個(gè)小的“獨(dú)立項(xiàng)目集合”，然后在每個(gè)小的集合內(nèi)部依次使用上面的方法進(jìn)行規(guī)劃。這樣將大大減少規(guī)劃的總計(jì)算量。

先給出幾個(gè)定義。經(jīng)過上述合并之后的項(xiàng)目集合為：

其 中， ai表 示 第i個(gè) 項(xiàng) 目， 則 對 任 意 i ≠j有t1i≠t1j或t2i≠t2j。

定 義 一： 對 于 兩個(gè) 項(xiàng) 目ai,aj(i ≠j) ， 如 果 滿 足[t1i,t2i]?[t1j,t2j]=φ，則稱項(xiàng)目ai,aj相互獨(dú)立。

定義二：對于兩個(gè)項(xiàng)目集合A1,A2，如果A1中的任一個(gè)項(xiàng)目都與A2中的所有項(xiàng)目獨(dú)立，則稱項(xiàng)目集合A1與項(xiàng)目集合A2相互獨(dú)立，記為A1⊥A2。

定義三：對于項(xiàng)目集合A，如果存在一組項(xiàng)目集合A1,A2,…,Ak(k ≥2)，滿足：

則稱A1,A2,...,Ak是A的一個(gè)劃分。

更進(jìn)一步的，如果A1,A2,…,Ak都不能繼續(xù)劃分，則稱A1,A2,…,Ak是A 的最大劃分。最大劃分情況下，Ai中的任意一個(gè)項(xiàng)目必有另一個(gè)同屬于Ai的項(xiàng)目與它不獨(dú)立。容易證明最大劃分是唯一的（實(shí)際使用中可能需要對項(xiàng)目獨(dú)立性的定義添加更多的約束，如項(xiàng)目收益率不相關(guān)等）。

下面以一個(gè)隨機(jī)產(chǎn)生的項(xiàng)目集合為例來演示最大劃分的求解，項(xiàng)目的總個(gè)數(shù)為50。按t1排序之后的項(xiàng)目集合如圖7所示。

圖7 隨機(jī)項(xiàng)目集的最大化分

如果將每個(gè)項(xiàng)目認(rèn)為是一個(gè)頂點(diǎn)，不獨(dú)立的頂點(diǎn)之間是連通的③（即對任意兩個(gè)頂點(diǎn)i、j，存在[t1i,t2i]?[t1j,t2j]≠φ），則求最大劃分的問題等價(jià)于求解圖的連通問題?？梢允褂媒?jīng)典的圖的深度優(yōu)先遍歷算法［12］來求解，從而得到上面產(chǎn)生的隨機(jī)項(xiàng)目集的最大劃分為：

使用上述方法可以得到任意一個(gè)項(xiàng)目集合的最大化分④。

（三）新舊項(xiàng)目集合的銜接

實(shí)際投資中，投資項(xiàng)目（或投資機(jī)會(huì)）并不是一下子全部出現(xiàn)的，即某些投資項(xiàng)目會(huì)隨著時(shí)間的推移逐漸被觀察到。因此，實(shí)際規(guī)劃中總是按照當(dāng)前能夠觀察到的最新項(xiàng)目集合進(jìn)行規(guī)劃，如果最新的項(xiàng)目集合與上次規(guī)劃時(shí)完全相同，且無額外的資金流入流出，則當(dāng)前項(xiàng)目按之前的規(guī)劃結(jié)果進(jìn)行投資，否則則需要重新進(jìn)行規(guī)劃求解。即實(shí)際的決策流程可以圖8來表示。

圖8 實(shí)際投資過程中的決策流程

四、資金規(guī)劃舉例與結(jié)果對比

考慮三種不同效用函數(shù)下的連續(xù)投資的資金配置，并與非連續(xù)投資的資金配置方案以及簡單的“用完所有錢”的資金配置方案作比較。項(xiàng)目集合使用圖9 所示例中的一個(gè)不可再分的子集{6,7,8,9,10,11,12,13,14，15,16,17,18,19}。

（一）非連續(xù)投資的資金配置方案（以夏普比率最大化為目標(biāo)）

滿足：

其中：

此處無風(fēng)險(xiǎn)收益率rf取5%。

（二）連續(xù)投資時(shí)的資金配置方案

滿足：

分別取三種效用函數(shù)：

1.預(yù)期收益率最大化目標(biāo)下，取

2.資金利用率最大目標(biāo)下，取

3.夏普比率最大化目標(biāo)下，取

rf同樣取5%。

（三）“用完所有錢”的資金配置方案

指不考慮各投資項(xiàng)目的差異，當(dāng)出現(xiàn)投資項(xiàng)目就將當(dāng)時(shí)持有的資金全部投入。

計(jì)算結(jié)果如表1 所示，可以看出，非連續(xù)投資方案的收益率由于對資金的利用不夠充分，其收益率明顯較低；連續(xù)投資下，目標(biāo)明確的配置方案也優(yōu)于簡單的“用完所有錢”策略。顯然，本文提出的資金規(guī)劃在三種不同目標(biāo)函數(shù)下均有效實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化目標(biāo)。

表1 不同目標(biāo)下的資金規(guī)劃結(jié)果

五、結(jié) 論

本文系統(tǒng)地研究了連續(xù)投資下的資金規(guī)劃問題，給出了這類問題資金約束方程的通用形式及實(shí)際應(yīng)用中的具體規(guī)劃流程，該方法可以有效解決不同目標(biāo)函數(shù)下的連續(xù)資金規(guī)劃問題。鑒于該方法適用不同類型目標(biāo)函數(shù)，可操作性強(qiáng)，可在實(shí)際投資中直接使用。

注 釋：

①在此假設(shè)下，不管目標(biāo)函數(shù)的具體形式如何，任何一個(gè)項(xiàng)目i的投資金額越大，其后續(xù)所有項(xiàng)目的總預(yù)期可用資金都會(huì)增大（不妨假設(shè)每個(gè)項(xiàng)目的預(yù)期收益率都為正），從而最終的目標(biāo)函數(shù)取值也會(huì)增大。

②此時(shí)必須保證每個(gè)項(xiàng)目的預(yù)期收益率均為正，如此才能保證目標(biāo)函數(shù)對于每個(gè)項(xiàng)目的投資額度是增函數(shù)。

③這里關(guān)于頂點(diǎn)的連通的定義與之前不同，之前是以資金是否可以流動(dòng)作為連通與否的標(biāo)準(zhǔn)，而這里則是認(rèn)為時(shí)間上重疊的項(xiàng)目是連通的。

④僅對上例而言尚存在一個(gè)更簡單的方法來確定最大化分，即依次比較排序之后的每個(gè)項(xiàng)目是否與其后一個(gè)項(xiàng)目在時(shí)間上有重疊，如果沒有重疊則構(gòu)成一個(gè)新的劃分點(diǎn)，但是該方法需要依賴于如下兩個(gè)前提，一是各投資項(xiàng)目是按照項(xiàng)目開始時(shí)間的先后排序進(jìn)行編號(hào)的，最早開始的項(xiàng)目編號(hào)為1，后續(xù)項(xiàng)目編號(hào)依次加1；二是項(xiàng)目的獨(dú)立性的定義只考慮時(shí)間的因素。

［1］Markowitz Harry. Portfolio Selection［J］. Journal of Finance，1952（7）：77-91.

［2］Markowitz Harry. Portfolio Selection：Efficient Diversification of Investment［M］.New York：John Wiley&Sons，1959.

［3］Mossin J. Optimal multi-period portfolio policies［J］. Journal of Business，1968，41（2）：215-229.

［4］Li D，Ng W L.Optimal dynamic portfolio selection：Multi-period mean-variance formulation［J］. Mathematical Finance，2000，10（3）：387-406.

［5］Zhou X Y，Li D. Continuous time mean-variance portfolio selection：A stochastic LQ framework［J］. Applied Mathematics and Optimization，2000，42（1）：19-33.

［6］Bellman Richard. The theory of dynamic programming［J］.Bulletin of the American Mathematical Society，1954，60（11）：503-516.

［7］Stuart E，Dreyfus，Averill M Law.The art and theory of dynamic programming［M］.Utah：Academic Press，1977.

［8］DijkstraE W E W. A note on two problems in connexion with graphs［J］.Numerische Mathematik，1959（1）：269-271.

［9］Garey M R，Johnson D S. Computers and Intractability：a guide to the theory of NP-completeness［M］. New York：W.H.Freeman and Company，1979.

［10］Boggs P T，Tolle J W. Sequential quadratic programming［J］.Acta Numerica，1995（4）：1-51.

［11］Philip Gill E，Elizabeth Wong. Sequential Quadratic Programming Methods［R］. California：UCSD Department of Mathematics，Technical Report NA-10-03，2010.

［12］Thomas H Cormen，Charles E Leiserson，Ronald L Rivest，et al. Introduction to Algorithms［M］. Massachusetts：The MIT Press，2009.