張 荔

（晉中師范高等專科學校 數(shù)學系，山西 晉中030600）

1 問題分析

認識人口數(shù)量的變化規(guī)律建立人口模型，做出較準確的預報，是有效控制人口增長的前提.二百多年前英國人口學家Malthus建立了著名的人口指數(shù)增長模型.該模型是建立在人口增長率不變的假設的基礎上，但是人口增長到一定數(shù)量后由于受到自然資源、環(huán)境條件的影響增長率是會下降的，因此人們對Malthus模型作了改進，得到了Logistic模型.該模型對r（x）作了一個簡單的假定，設r（x）為x的線性函數(shù)，即r（x）＝r－sx（r＞0，s＞0）[1].

就我國現(xiàn)階段而言由于實行計劃生育，人口增長率已經(jīng)很低，顯然Logistic模型中r（x）為x的簡單線性函數(shù)已很難準確預測未來人口.本文對r（x）與x的關(guān)系進一步改進，得到了一個新的模型，并對根據(jù)1990年到2010年山西人口的數(shù)據(jù)[2]對山西人口進行了預測.

2 模型假設

1）現(xiàn)有的計劃生育政策不變.

2）不考慮人口負增長.

3）人口增長已達到一定的高度，增長率逐漸減小最終將趨于0.

3 模型建立

由假設3），r（x）應表示為e－x的函數(shù)，設r（x）＝r（x0）ea－bx，r（x0）為人口總量為x0那一年的增長率.

因此改進后的模型為:

表1 山西人口統(tǒng)計表

4 模型求解

1）用線性最小二乘法對a，b進行參數(shù)估計.

對r（x）＝r（x0）ea－bx兩邊取對數(shù)，可得

用表1的數(shù)據(jù)擬合（1）式（刪去1996年異常數(shù)據(jù)），用EXCEL求解可得c＝－0.000 43，d＝4.784 341.

進一步求得a＝10.231，b＝0.000 43.

r（x0）為1991年的人口增長率，由1990年的人口可求得

基于山西人口數(shù)據(jù)擬合的參數(shù)，人口增長模型為

該方程不易求解.

2）將模型轉(zhuǎn)化為差分方程x（T＋1）－x（T）＝r（x（T））x（T），T＝0，1，2，3，…

則x（T＋1）＝x（T）＋r（x（T））x（T），T＝0，1，2，3，…用已知的數(shù)據(jù)進行遞推可達到人口預測的目的.得到表2和圖1.

表2 改進的模型擬合山西人口數(shù)據(jù)的結(jié)果

圖1 改進的模型擬合圖形（以1990年為起點）

可以看出這個模型擬合效果不錯.

5 模型檢驗

以2010年為例，誤差為0.5%.可以求得其他年誤差更?。?996年除外）.

可以用以上數(shù)據(jù)繼續(xù)推出2020年山西人口約為4 010萬，2030年山西人口約為4 298萬，2040年山西人口約為4 571萬，2050年山西人口約為4 828萬.

6 模型評價

本模型適合現(xiàn)階段我國計劃生育前提下人口預報，誤差較小.

但只適用人口增長率大于0的情形，如果人口出現(xiàn)負增長則應再次進行模型改進.

[1]姜啟源，謝金星，葉 俊.數(shù)學模型[M].北京:高等教育出版社，2003:12－15

[2]中國統(tǒng)計局.2012中國統(tǒng)計年鑒[M].北京:中國統(tǒng)計出版社