邵延君，馬春茂，潘宏俠，劉永姜

(1.中北大學(xué),山西 太原 030051；2.西北機(jī)電工程研究所,陜西 咸陽 712099)

武器裝備由于生存的環(huán)境特殊性和設(shè)備本身的老化等因素的影響，會(huì)不可避免地出現(xiàn)故障,但由于武器裝備復(fù)雜程度不同，使其表現(xiàn)出的故障規(guī)律存在較大差別[1-3]，通過對(duì)大量故障數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，可以得到故障率隨時(shí)間變化的典型的故障率曲線，典型的故障率λ(t)隨工作時(shí)間t的變化趨勢(shì)具有3個(gè)明顯的區(qū)域，人們形象地把它稱為“浴盆曲線”[4]。早期故障期的故障率呈逐漸下降的趨勢(shì);偶然故障期的故障率接近于常數(shù);耗損故障期的故障率呈逐漸上升趨勢(shì)。通過對(duì)典型的故障率曲線進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)早期故障期和耗損故障期的故障率λ(t)隨時(shí)間呈非線性變化，于是考慮用GM(1，1)模型對(duì)早期故障期和耗損故障期兩個(gè)階段的故障率進(jìn)行預(yù)測(cè)，GM(1，1)模型對(duì)于非線性序列進(jìn)行預(yù)測(cè)具有一定的優(yōu)勢(shì)，但是傳統(tǒng)的GM(1，1)模型對(duì)非線性序列預(yù)測(cè)存在較大誤差，離散GM(1，1)模型則能夠比較精確模擬非線性序列，因此考慮用離散的GM(1，1)模型對(duì)武器備件的故障率進(jìn)行預(yù)測(cè)[5-6]。

1 GM(1，1)建模

2)對(duì)生成的序列X(1)(t)有如下一階線性白化微分方程dx(1)/dt+ax(1)=b，當(dāng)t取單位時(shí)間時(shí)，一階微分方程的差分形式等于微分形式，dx(1)/dt=x(1)(t+1)-x(1)(t)=x(0)(t)，所以GM(1，1)模型的微分方程可以表示為：x(0)(t) +ax(1)(t)=b，稱為GM(1，1)模型的原始形式。

3)為了使一次累加生成序列更平滑，對(duì)X(1)作緊鄰均值生成。Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),z(1)(4),…,z(1)(n))，其中z(1)(t)=0.5(x(1)(t)+x(1)(t-1))，x(0)(t)+aZ(1)(t)=b為GM(1，1)模型的基本形式。式中：a為發(fā)展系數(shù)；b為灰作用量；Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列。

4)對(duì)GM(1，1)模型的基本形式的參數(shù)a、b進(jìn)行求解。a和b的數(shù)值通過最小二乘法估計(jì)得到:

(1)

t=1，2，…，n-1

(2)

6)進(jìn)行累減還原得:

t=1，2，…，n-1

(3)

2 建立離散的GM(1，1)模型

1)設(shè)X(0)為非負(fù)原始序列，對(duì)原始序列X(0)進(jìn)行一次累加生成,得到新的數(shù)據(jù)列X(1)，建立離散的GM(1，1)模型為：

x(1)(t+1)=β1x(1)(t)+β2

(4)

2)利用最小二乘法估計(jì)離散GM(1，1)模型中的參數(shù)β1和β2，得:

(5)

Y=[x(1)(2),x(1)(3),…,x(1)(n)]T

3)將β1和β2的值代入離散GM(1，1)模型的遞推函數(shù)得：

(t=1，2，…，n-1)

(6)

4)進(jìn)行累減還原

(t=1，2，…，n-1)

(7)

3 實(shí)例分析

某裝備修復(fù)性的維修任務(wù)均由某軍械維修保障中心負(fù)責(zé),所有備件的維修和更換均通過該維修保障中心,軍械維修保障中心的數(shù)據(jù)可以客觀準(zhǔn)確地反映備件更換和損耗量情況。通過對(duì)某武器備件的資料查閱，可知某武器備件損耗期的故障率，表1是近6年某武器備件在正常使用情況下?lián)p耗期的故障率，從表中的數(shù)據(jù)可以看出,備件損耗期的故障率在損耗期呈現(xiàn)出明顯的增加趨勢(shì),下面利用上述的兩種灰色理論模型對(duì)故障率進(jìn)行預(yù)測(cè)，其中t表示某武器備件的工作時(shí)間;λ(t)表示某武器備件的故障率。

表1 武器備件損耗期的故障率

1)取前4組數(shù)據(jù)做模擬，后面兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，建立GM(1.1)模型，則原始序列為：

X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4))=(0.15，0.334 2，0.655 0，1.115 8)，將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一次累加生成和緊鄰均值生成后,得到B和Y的值為:

利用MATLAB軟件,帶入B和Y計(jì)算，可以得到a和b的值為:a=-0.420 774，b=0.248 07，將a和b的值代入時(shí)間響應(yīng)函數(shù)(2)得到：

利用公式(3)做累減還原得到GM(1，1)模型對(duì)原始序列的模擬值:

2)取前4組數(shù)據(jù)做模擬，建立離散GM(1，1) 模型，后面兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一次累加生成后,得到B和Y的值為:

利用MATLAB軟件,帶入B和Y計(jì)算，可以得到β1和β2的值為：β1=1.532，β2=0.314,將β1和β2的值代入離散GM(1，1)模型的遞推函數(shù)(6)得到：

利用公式(7)做累減還原得到離散GM(1，1)對(duì)原始數(shù)據(jù)的模擬值:

檢驗(yàn)其精度，列出兩種模型的誤差檢驗(yàn)表如表2所示。

表2 模型誤差檢驗(yàn)表

通過上述實(shí)例的平均相對(duì)誤差的結(jié)果比較可知，雖然兩種方法都可以進(jìn)行故障率的預(yù)測(cè)，但是可以知道離散的灰色GM(1，1)模型較傳統(tǒng)的灰色GM(1，1)模型對(duì)典型的故障率預(yù)測(cè)精度有所提高。

4 利用兩種預(yù)測(cè)模型對(duì)故障率進(jìn)行中長期預(yù)測(cè)

下面利用離散的灰色GM(1，1)模型的遞推函數(shù)和灰色GM(1，1)模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)對(duì)后兩年的故障率進(jìn)行預(yù)測(cè)，并對(duì)預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)際值比較，計(jì)算的結(jié)果如表3所示。

從模型的預(yù)測(cè)結(jié)果看，灰色模型只需要4組數(shù)據(jù)就可以對(duì)故障率進(jìn)行中長期預(yù)測(cè),體現(xiàn)了灰色理論在預(yù)測(cè)方面的優(yōu)勢(shì)。

表3 故障率中長期預(yù)測(cè)表

5 結(jié) 論

本文針對(duì)復(fù)雜武器備件的故障率預(yù)測(cè)的難點(diǎn)，通過對(duì)典型的故障率曲線研究的基礎(chǔ)上，利用灰色理論在“少數(shù)據(jù)”、“貧信息”、“不確定性”預(yù)測(cè)問題中的優(yōu)勢(shì)，在傳統(tǒng)的灰色GM(1，1)模型的基礎(chǔ)上提出了利用離散的灰色GM(1，1)模型對(duì)武器備件故障率進(jìn)行預(yù)測(cè)，最后利用兩種不同的模型對(duì)某武器備件故障率進(jìn)行了預(yù)測(cè)，通過結(jié)果比較和驗(yàn)證，可知離散的灰色GM(1，1)模型是武器備件的故障率預(yù)測(cè)的一種有效方法。

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