劉寶盈

（商洛學(xué)院 物理與電子信息工程系，陜西商洛 726000）

眾所周知，光束具有能量、線動(dòng)量和角動(dòng)量。1936年Beth通過實(shí)驗(yàn)觀察到了光場中光子的角動(dòng)量，即自旋角動(dòng)量[1]。1992年，Allen等研究了近軸條件下線偏振的拉蓋爾——高斯光束（LG）的軌道角量[2]，發(fā)現(xiàn)LG光束的角動(dòng)量可以分成兩部分：一部分取決于光的偏振態(tài)，即僅與光子的自旋量子數(shù)相關(guān)的角動(dòng)量，稱為光束的自旋角動(dòng)量；另一部分取決于光傳播時(shí)的螺旋形波前相位，即僅與角向量子數(shù)相關(guān)的角動(dòng)量，稱為光束的軌道角動(dòng)量。隨后他們研究了非近軸拉蓋爾——高斯軸對(duì)稱矢量光束[5-8]，發(fā)現(xiàn)自旋角動(dòng)量只與偏振有關(guān)而軌道角動(dòng)量只與螺旋相位波前有關(guān)這一描述近軸光束角動(dòng)量的理論對(duì)非近軸光束已不適合[3-6]。O'Neil等研究發(fā)現(xiàn)，非近軸光束在與囚禁在光軸附近的雙折射微粒相互作用時(shí)，其自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量作用截然不同，自旋角動(dòng)量的傳遞使微粒繞自軸旋轉(zhuǎn)，而軌道角動(dòng)量的傳遞則使微粒繞光軸旋轉(zhuǎn)[7]。實(shí)驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)，在非均勻各向同性介質(zhì)中自旋角動(dòng)量可以轉(zhuǎn)換為軌道角動(dòng)量[8]，通過一個(gè)高數(shù)值孔徑，近軸光束的自旋角動(dòng)量也能轉(zhuǎn)換為非近軸光束的軌道角動(dòng)量[9]。李春芳利用他建立的光束表示理論[10]研究了具有整體偏振特性的一類非近軸光束的自旋和軌道角動(dòng)量，分析了兩者之間的區(qū)別和聯(lián)系[11]。這些理論研究和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都說明光束的自旋和軌道角動(dòng)量既有區(qū)別又密切相關(guān)。

本文按照光束自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量的一般定義，分析了具有軸對(duì)稱偏振特性和強(qiáng)度分布的柱矢量光束的角動(dòng)量，發(fā)現(xiàn)柱矢量光束的自旋角動(dòng)量是光的內(nèi)在性質(zhì)，只與偏振有關(guān)，而軌道角動(dòng)量不僅與角向量子數(shù)（即光束傳播時(shí)的螺旋波前相位）有關(guān)而且與偏振有關(guān)，即使在近軸近似條件下光束的角動(dòng)量也不能自然地分為只與偏振有關(guān)的自旋角動(dòng)量和只與角向量子數(shù)相關(guān)的軌道角動(dòng)量兩部分。

1 自由空間光束的角動(dòng)量

根據(jù)經(jīng)典電磁理論，在自由空間中傳播的光束其能量、線動(dòng)量和角動(dòng)量的表達(dá)式為[11-12]：

為了方便分析將公式(1)(2)(3)變換到動(dòng)量空間。為此，設(shè)在自由空間的任一光束的電場強(qiáng)度矢量為[11]

式中k為波矢量，k=kxex+kyey+kzez，波矢量的大小k與角頻率ω之間的關(guān)系為k2=ε0μ0ω2。E(k)為動(dòng)量空間的電場強(qiáng)度矢量，該光束的能量為

利用矢量代數(shù)公式 a(a×b)=(a×c)b-(a×b)c 可知?jiǎng)恿縋包含兩項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量也分成兩項(xiàng)，其中一項(xiàng)與參照點(diǎn)的選擇有關(guān)，將之稱為軌道角動(dòng)量，用L表示；而另一項(xiàng)與參照點(diǎn)的選擇無關(guān)，將之稱為自旋角動(dòng)量，用S表示，則

因此光束的角動(dòng)量為

2 柱矢量光束的角動(dòng)量

對(duì)于自由空間中任一束沿正z軸方向傳播的單色光束，其電場強(qiáng)度矢量滿足矢量核姆霍茲方程Δ2E(r)+k2E(r)=0，同時(shí)遵守橫場條件Δ·E(r)=0，在笛卡爾坐標(biāo)系中，電場強(qiáng)度矢量可用(9)式表示為[10]

(9)式中忽略了隨時(shí)間變化的位相因子exp(-iωt)，E(kx，ky)是光束電場矢量在波矢空間（或動(dòng)量空間）的振幅矢量，即角譜。將(9)式代入(5)(6)和(7)式，考慮到，得光束的能量、動(dòng)量、角動(dòng)量的一般表達(dá)式為

按照橫場條件，E(kx，ky)只能有兩個(gè)相互正交的偏振態(tài)，用s和p表示這兩個(gè)獨(dú)立且相互正交的偏振態(tài)，可以將角譜 E(kx，ky)表示為 E(kx，ky)=Es+Ep=Ess+Epp，其中Es和Ep分別表示s偏振態(tài)和p偏振態(tài)的復(fù)振幅，相應(yīng)地s和p是它們各自的單位矢量。令

s=sxex+syey+szez，

p=pxex+pyey+pzez，且 sj和 Pj(j=x，y，z)都是實(shí)數(shù)，因此，可將 E(kx，ky)表示為[10]

顯然，橫場條件并不能唯一確定矢量光束的偏振狀態(tài)，存在著一個(gè)自由度，該自由度決定光束的矢量性質(zhì)。不妨設(shè)sz=0，則

代入(13)式可得柱矢量光束的電場強(qiáng)度矢量為

不難發(fā)現(xiàn)(15)式中所表示的光束的偏振情況具有軸對(duì)稱性，以光軸（z軸）為對(duì)稱軸，故稱之為柱矢量光束[12]。由(10)式可得光束的能量為

由(12)式可得自旋角動(dòng)量的z分量為

同理可得

由(11)式得軌道角動(dòng)量的z分量為

同理可得到

顯然，由(17)(18)(19)式可知自旋角動(dòng)量只有軸向分量，且軸向分量只與光束的偏振態(tài)(σ)和光束的結(jié)構(gòu)（kz)有關(guān)；而由(20)(21)和(22)式可知軌道角動(dòng)量也只有軸向分量，該分量與角向量子數(shù)(l)和偏振態(tài)(σ)都有關(guān)，同時(shí)與光束結(jié)構(gòu)(kz)有關(guān)。在近軸近似情況下，kz≈k，此時(shí)，說明自旋角動(dòng)量與能量的比值等于光束沿z軸方向的偏振度與角頻率的比值，即光束中每個(gè)光子沿傳播方向的自旋角動(dòng)量取決于光束的偏振態(tài)，也就是光束的自旋量子數(shù)，σ=0，±1分別表示光束的線偏振態(tài)、左圓偏振態(tài)和右圓偏振態(tài)。而說明光束中每個(gè)光子沿傳播方向的軌道角動(dòng)量為(l-σ)h，與角向量子數(shù)和自旋量子數(shù)相關(guān)。因此，對(duì)于柱矢量光束，通常情況下無法將光束的角動(dòng)量按傳統(tǒng)的定義分為互不相干的自旋和軌道角動(dòng)量兩部分，即使在近軸近似情況下也是一樣。

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