崔小琴,李虹曄

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

1 預(yù)備知識(shí)

矩陣特征值的研究是矩陣分析、微分方程、控制論等學(xué)科中的重要課題之一，許多文獻(xiàn)對特征值的性質(zhì)及求法都有所討論,例如在[1]、[2]、[3]、[4]中作者分別介紹了一些特殊矩陣的特征值，如正交矩陣的特征多項(xiàng)式和特征根、三對角矩陣的特征值、分塊矩陣特征值的分布以及3×3 矩陣的特征值問題等。本文在它們的基礎(chǔ)上，借助于矩陣A與A*的方程，研究了A的特征值λ應(yīng)滿足的條件，并給出了一些特殊矩陣的特征值應(yīng)滿足的條件.

文章的第二部分是主要結(jié)果，第三部分給出了這些結(jié)果的一些應(yīng)用.

為了證明的需要，給出以下兩個(gè)引理.

引理1[5](Schur引理)給定A∈n×n，且λ1,λ2,……,λn是A的所有特征值，則存在一個(gè)酉矩陣U∈n×n，使得

U*AU=(tij)n×n

是上三角矩陣，且其對角線上的元素tii=λi(i=1,2,……,n) 是A的所有特征值，即

引理2 設(shè)A∈n×n，A的所有特征值為λ1,λ2,……,λn，f(x)∈[x] ，則

2)ρ(f(A))={f(λ1),f(λ2),……,f(λn)}.

證明 1)因?yàn)锳與AT有相同的特征值，所以ρ(AT)=ρ(A) .由Schur 引理，存在酉矩陣U∈n×n使得

則

即

又因?yàn)檗D(zhuǎn)置不改變矩陣的特征值，所以

2)已知f(x)∈[x]，則f(A)有如下形式：

用Schur 引理得

所以

ρ(f(A))={f(λ1),f(λ2),……,f(λn)}

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A∈n×n，f(A*，A)=0,若λ是A的特征值,則,λ)=0.

證明 設(shè)α∈n是A的特征值λ所對應(yīng)的特征向量，則有

Aα=λα

(1)

兩邊共軛轉(zhuǎn)置得

(2)

因?yàn)?/p>

將該等式兩邊分別左乘α*，右乘α得

(3)

對上式反復(fù)用(1)和(2)可得出

因?yàn)棣翞锳的特征值λ所對應(yīng)的特征向量,α≠0,α*α>0，因此有

在定理1中，若將f(A*,A)=0中的A與A*交換位置，則結(jié)論也隨之發(fā)生變化，這表明f(A*,A)中的A與A*的位置不能隨意交換，所得的結(jié)論及證明將在下面給出.

定理2 設(shè)A∈n×n，f(A,A*)=0 ，若λ是A的特征值，則f(λ,

證明 因?yàn)锳=(A*)*,所以

f(A,A*)=f((A*)*,A*)=0

定理3 設(shè)A∈n×n，,AT)=0 ，若λ是A的特征值,則,λ)=0

f((AT)*,AT)=0

即

那么由引理2和定理1得出

定理4 設(shè)A∈n×n，f(AT,，若λ是A的特征值,則f(λ,.

f(AT,(AT)*)=0

即

那么由引理2和定理2得出

現(xiàn)在，我們將上述這些定理運(yùn)用到一些特殊矩陣特征值的研究當(dāng)中，如Hermit矩陣(A=A*)，反Hermit 矩陣(A=-A*)，酉矩陣(AA*=A*A=I)等.

推論1 Hermit矩陣的特征值為實(shí)數(shù)；反Hermit矩陣的特征值為0或純虛數(shù).

證明 設(shè)A為Hermit 矩陣，則有

f(A*,A)=A*-A=0

若λ是A的特征值，則有

故λ為實(shí)數(shù).

同理可得反Hermit 矩陣的特征值λ滿足

故其特征值為0 或純虛數(shù).

推論2 酉矩陣的特征值的模為1.

證明 設(shè)A為酉矩陣，則有

f(A*,A)=A*A-I=A*A-A0=0或f(A,A*)=AA*-I=AA*-A0=0

若λ是A的特征值，則有

故|λ|=1 .

推論3 設(shè)A∈n×n,f(x)∈[x],f(A)=0,若λ是A的特征值，則f(λ)=0 .

證明f(x)∈[x] ,f(x) 可看成f(x,1) ，由定理1，f(λ)=f(λ,1)=0 .

3 應(yīng)用

1997年， Groβ和 Trenkler在[9]中首先提出了關(guān)于廣義投影算子和超廣義投影算子的概念，并對這兩類算子進(jìn)行了研究.2004年到2005年，文獻(xiàn)[10]和[11]中的作者討論了廣義投影算子和超廣義投影算子的進(jìn)一步性質(zhì)以及廣義投影算子的譜分解理論，接下來的一年， Stewart G W于文獻(xiàn)[12]中利用譜分解理論刻劃了廣義投影算子，并給出了其分解式.2007年，文獻(xiàn)[13]中作者討論了k-廣義投影算子.2008年， Jerzy K,Oskar Maria Baksalary和Liu Xiaoji于文獻(xiàn)[14]中給出了廣義投影算子和超廣義投影算子的更深一層的結(jié)論.2013年，[15]中作者研究了可換的廣義投影算子和超廣義投影算子和與差的可逆性.下面，我們將結(jié)合以上定理對其分解式進(jìn)行討論并給出它的一個(gè)充要條件.

定理5A∈GP當(dāng)且僅當(dāng)A3=A*A=AA*.

證明 首先給出A∈GP的分解式.因?yàn)锳∈GP,A2=A*, 若設(shè)λ是A的特征值，由定理1，有

(4)

反之，若A有如(1)的分解式，則

所以A是廣義投影算子當(dāng)且僅當(dāng)A有如(4)這樣的分解式.

下面證明A∈GP當(dāng)且僅當(dāng)A3=A*A=AA*.

必要性易證.

參考文獻(xiàn):

[1]張德菊，張曉敏.正交矩陣的特征多項(xiàng)式及特征根[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2007,23(1)：151～154.

[2]楊勝良，馬成業(yè).一種三對角矩陣的特征值及其應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2009,25(6)：182～187.

[3]Li zhuxiang,Pang Mingxian.The distribution of eigenvalues for partitioned matrix[J].Northeast Math J,1996,12(4):455～460.

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[5]Horn R A,Johnson C R.Matrix Analysis(2)[M].Beijing:The people's posts and Telecommunications Press,2005:75～76.

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[13]Leila Lebtahi,Nestor Thome.A note on k -generalized projections[J].Linear Algebra and its Applications,2007,420:572～575.

[14]Jerzy K Baksalary,Oskar Maria Baksalary,Liu Xiaoji,et al.Further results on generalized and hypergeneralized projectors[J].Linear Algebra and its Applications,2008,429(5):1038～1050.