李春鵬，印興耀，張 峰

（1.中國(guó)石油大學(xué)（華東）地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島 266580；2.中國(guó)石油大學(xué)（北京）地球科學(xué)學(xué)院，北京 102249）

HTI裂縫介質(zhì)是指一組近垂直定向排列的裂縫地層，表現(xiàn)為方位各向異性，即反射系數(shù)隨著觀測(cè)方位的變化而變化。方位反射系數(shù)與裂縫密度和充填流體性質(zhì)等有關(guān)，因此可以通過(guò)地震巖石物理方法建立HTI介質(zhì)彈性矩陣，根據(jù)彈性矩陣和地震波傳播特征構(gòu)建HTI介質(zhì)彈性波反射／透射方程，據(jù)此可以研究裂縫參數(shù)與方位反射系數(shù)之間的關(guān)系。Brown等［1］推導(dǎo)出各向異性巖石骨架有效彈性模量與該骨架充填流體時(shí)的有效模量之間的理論關(guān)系式，但是該理論要求所有巖石礦物組成具有相同的體積模量和剪切模量。Cheng（1978，1993）［2－3］給出了TI介質(zhì)有縫巖石的等效模量模型。Hudson（1980，1981）［4－5］給出了TI介質(zhì)彈性矩陣的構(gòu)建方法，但由于假設(shè)裂縫之間互不連通，該方法僅適用于高頻情況下的彈性矩陣構(gòu)建。Thomsen（1995）［6］認(rèn)為裂縫型巖石由各向異性裂縫和均勻各向同性含粒間孔隙的背景介質(zhì)組成，流體可以通過(guò)孔隙在裂縫之間流通，據(jù)此提出了低頻和中高頻兩種情況下的彈性矩陣構(gòu)建方法。該方法更適用于計(jì)算地震尺度下HTI裂縫介質(zhì)彈性矩陣。但由于Thomsen裂縫理論要求背景介質(zhì)縱、橫波速度和巖石基質(zhì)模量是已知的，而測(cè)井聲波時(shí)差和橫波時(shí)差受到裂縫和各向異性的影響，只代表某一方向的裂縫型巖石綜合慢度，因此，對(duì)于飽和流體巖石背景介質(zhì)彈性模量的計(jì)算主要是采用Hill平均理論［7－9］和Kuster－Toksoz理論［10］。

精確的HTI介質(zhì)彈性波方位反射特征需要通過(guò)求解反射／透射方程得到，雖然Ruger（1996）［11］和Vavrycuk等（1998）［12］分別獨(dú)立地推導(dǎo)了HTI介質(zhì)方位AVO 線性近似公式，但是他們并沒(méi)有給出HTI介質(zhì)彈性波精確反射／透射方程。國(guó)內(nèi)許多學(xué)者對(duì)于方位AVO 反射特征的研究也是基于近似公式進(jìn)行的［13－14］。梁鍇（2009）［15］提 出TTI介質(zhì)二維反射系數(shù)公式，可是該公式不適用于三維情況下的反射系數(shù)計(jì)算。根據(jù)HTI介質(zhì)彈性矩陣和波動(dòng)方程，推導(dǎo)HTI介質(zhì)Christoffel方程，研究出HTI介質(zhì)相速度和偏振方向，再結(jié)合彈性介質(zhì)邊界條件推導(dǎo)HTI介質(zhì)彈性波反射透射方程，可以進(jìn)行HTI介質(zhì)精確方位反射特征研究。

我們將等效介質(zhì)理論和Thomsen裂縫理論相結(jié)合，計(jì)算了HTI裂縫介質(zhì)的彈性矩陣，并推導(dǎo)出HTI介質(zhì)彈性波三維反射／透射方程；然后應(yīng)用該方程計(jì)算方位反射系數(shù)，研究了裂縫流體類(lèi)型和裂縫密度與方位反射系數(shù)的關(guān)系。

1 HTI裂縫介質(zhì)彈性矩陣構(gòu)建

Thomsen［6］1995年提出構(gòu)建飽和流 體HTI裂縫介質(zhì)彈性矩陣的方法，該方法假設(shè)巖石背景介質(zhì)是均勻各向同性含粒間孔隙的，背景介質(zhì)嵌入裂縫后的復(fù)合介質(zhì)是對(duì)稱(chēng)軸垂直于裂縫面的橫向各向同性介質(zhì)。同時(shí)，Thomsen假定背景介質(zhì)縱、橫波速度和巖石基質(zhì)模量已知并利用Gassmann理論［16］計(jì)算背景介質(zhì)骨架和飽和流體情況的彈性模量。由于測(cè)井聲波時(shí)差和橫波時(shí)差受到裂縫和各向異性的影響，只代表某一方向的裂縫型巖石綜合慢度，因此需要結(jié)合等效介質(zhì)理論計(jì)算背景介質(zhì)的縱、橫波速度。通過(guò)測(cè)井方法可以獲得地下巖石礦物成分，結(jié)合Hill理論公式

可以計(jì)算巖石基質(zhì)模量。式中：Ki，μi，ρi和fi分別表示第i種固體顆粒的體積模量、剪切模量、密度和體積百分?jǐn)?shù)，一般可以通過(guò)測(cè)井曲線計(jì)算獲得；n是礦物種類(lèi)；KV和μV分別表示用等應(yīng)變平均計(jì)算出的巖石基質(zhì)體積模量和剪切模量；KR和μR分別表示用等應(yīng)力平均計(jì)算出的巖石基質(zhì)體積模量和剪切模量；Km和μm 分別表示用Hill理論計(jì)算出的巖石基質(zhì)體積模量和剪切模量；ρm 表示巖石基質(zhì)密度。

背景介質(zhì)骨架由巖石基質(zhì)和巖石孔隙組成，根據(jù)Thomsen理論，背景介質(zhì)孔隙流體在低頻情況下可以相互流動(dòng)，因此可以先利用Kuster－Toksoz理論和巖石基質(zhì)等效模量計(jì)算背景介質(zhì)骨架等效模量，再應(yīng)用低頻Gassmann理論向背景介質(zhì)孔隙中加入流體，得到飽和流體背景介質(zhì)彈性模量［11］。根據(jù)Kuster－Toksoz理論，假設(shè)巖石孔隙是球體狀的，則可以根據(jù)公式

得到背景介質(zhì)骨架彈性參數(shù)。式中：K＊和μ＊分別表示背景介質(zhì)骨架體積模量和剪切模量；φp是背景介質(zhì)的孔隙度；ζm 是Kuster－Toksoz理論系數(shù)；E＊和σ＊分別是背景介質(zhì)骨架的楊氏模量與泊松比。根據(jù)Gassmann流體理論，即

可以確定飽和流體巖石彈性參數(shù)。式中：K和μ分別表示背景介質(zhì)飽和流體時(shí)的體積模量和剪切模量；Kf表示流體體積模量；E和σ分別是背景介質(zhì)飽和流體時(shí)的楊氏模量與泊松比。

結(jié)合背景介質(zhì)彈性參數(shù)和Thomsen 裂縫理論，可以得到HTI介質(zhì)弱各向異性參數(shù)，即

其中ε，γ，δ分別表示Thomsen弱各向異性參數(shù)；e代表裂縫密度，它可以寫(xiě)成單位體積裂縫數(shù)目Nv和平均立方直徑a的形式，即e＝Nv（a3／8），或者可以寫(xiě)成裂縫孔隙度φc 和縱橫比c／a的形式，即是裂縫厚度；Dci是流體的影響因素，低頻情況下

中高頻情況下

各向同性背景介質(zhì)（不含裂縫）的縱、橫波速度可以表示為

式中：vp0，vs0分別表示背景介質(zhì)不含有裂縫時(shí)的縱、橫波速度；ρ，vp90和vs‖90分別是背景介質(zhì)含有裂縫時(shí)的密度和各向同性面的縱、橫波速度。根據(jù)（5）式求得vp90和vs‖90，可以得到HTI介質(zhì)彈性矩陣

其中，

2 HTI介質(zhì)彈性波反射／透射方程推導(dǎo)

各向異性介質(zhì)彈性波控制方程是各向異性彈性波的波動(dòng)方程和Christoffel方程，是研究地震各向異性的理論基礎(chǔ)和研究地震波傳播規(guī)律的根本出發(fā)點(diǎn)。Christoffel方程是由波動(dòng)方程導(dǎo)出的，用以研究地震波的相速度和偏振方向等傳播特征。通過(guò)廣義Snell定律可以推導(dǎo)出HTI介質(zhì)反射角／透射角公式，結(jié)合相速度和偏振方向得到HTI介質(zhì)地震波傳播函數(shù)，并根據(jù)邊界條件推導(dǎo)出HTI介質(zhì)彈性波三維反射／透射方程。

2.1 HTI介質(zhì)相速度

梁鍇（2009）［15］曾根據(jù)彈性波波動(dòng)方程推導(dǎo)各向異性Christoffel方程，同理可將HTI介質(zhì)彈性矩陣代入波動(dòng)方程得到HTI介質(zhì)Christoffel方程。令該Christoffel方程的系數(shù)行列式為0，得到HTI介質(zhì)相速度公式

式中：vP表示qP波相速度；vSV表示qSV波相速度；vSH表示SH 波相速度；θ是入射角；φ是方位角，表示為地面觀測(cè)線相對(duì)于對(duì)稱(chēng)軸的順時(shí)針夾角。

2.2 HTI介質(zhì)地震波偏振方向

將相速度公式代入HTI介質(zhì)Christoffel方程，可得HTI介質(zhì)偏振向量，即

式中：PSH是SH波偏振向量；PqP是qP波偏振向量；PqSV是qSV 波偏振向量；c是任意非零實(shí)數(shù)。定義Px，Py，Pz分別是偏振向量在x，y，z方向的分量；α表示相速度與z軸的夾角；β表示相速度在x－y面的投影與x軸的夾角。為了方便研究，假設(shè)Px為正，通過(guò)調(diào)節(jié)c的大小控制Px符號(hào)。

如果Px和Py都為0，那么偏振方向與z軸一致，即α＝0，β＝π／2。

2.3 反射角和透射角公式

假設(shè)θip1，θp1，θsv1，θsh1，θp2，θsv2，θsh2分別為入射qP波、反射qP 波、反射qSV 波、反射qSH 波、透射qP波、透射qSV 波、透射qSH 波的波前面法向與z軸的夾角，下標(biāo)“1”和“2”分別表示上覆HTI介質(zhì)和下伏HTI介質(zhì)。由廣義Snell定律得

將（7）式表示的相速度公式代入上式解得

1）θp1和θp2滿(mǎn)足

2）θsv1和θsv2滿(mǎn)足

3）θsh1和θsh2滿(mǎn)足

其中，A，B，C，G1，G2中涉及到的cij表示相應(yīng)地震波傳播介質(zhì)的彈性參數(shù)。

2.4 HTI介質(zhì)彈性波反射／透射方程推導(dǎo)

假設(shè)U1，U2，U3，U4，U5，U6，U7分別表示入射qP波、反射qP波、反射qSV 波、反射SH 波、透射qP波、透射qSV 波、透射SH 波的波函數(shù)；A是初始振幅；RPP，RPSV，RPSH分別表示qP波、qSV波、SH波反射系數(shù)；TPP，TPS，TPSH分別表示qP波、qSV波、SH波透射系數(shù)。再假設(shè)上、下介質(zhì)裂縫對(duì)稱(chēng)軸方向一致，選擇位移函數(shù)為基本求解函數(shù)，在觀測(cè)系統(tǒng)坐標(biāo)系下分別寫(xiě)出如下波函數(shù)。

根據(jù)彈性理論，這7個(gè)波函數(shù)在彈性界面上應(yīng)滿(mǎn)足位移連續(xù)條件和應(yīng)力連續(xù)條件，即

其中，上標(biāo)“1”表示上覆HTI介質(zhì)的標(biāo)志，上標(biāo)“2”表示下伏HTI介質(zhì)。對(duì)于位移連續(xù)函數(shù)，當(dāng)z＝0時(shí)有

把波函數(shù)代入上式得到上、下HTI介質(zhì)對(duì)稱(chēng)軸一致的彈性波反射／透射方程：

其中

3 模型試算

3.1 地震波在HTI介質(zhì)中的傳播特征

模型分析主要采用雙層介質(zhì)模型，且假設(shè)上覆介質(zhì)為各向同性墨西哥灣黏土，下伏HTI介質(zhì)為嵌入近垂直定向分布裂縫的飽含水黏土砂巖，裂縫密度和裂縫縱橫比分別為0.1 和0.001（表1 和表2）。圖1a顯示了基于HTI介質(zhì)彈性波反射／透射方程計(jì)算結(jié)果繪制的方位反射系數(shù)變化曲面。為了說(shuō)明計(jì)算結(jié)果的正確性，圖1b中同時(shí)給出了基于Ruger近似解的方位反射系數(shù)變化曲面。不難看出，兩組曲面變化趨勢(shì)基本一致：隨入射角θ增大，反射系數(shù)減??；隨方位角增大，反射系數(shù)呈波浪狀變化。為了能夠更加清楚地對(duì)比兩種方法的計(jì)算結(jié)果，將圖1 所示三維方位反射系數(shù)分解為圖2所示隨方位角變化和圖3所示隨入射角變化的反射系數(shù)曲線。由圖2可見(jiàn)，當(dāng)入射角為0時(shí)，HTI介質(zhì)彈性波反射／透射方程精確解和Ruger近似解相同，并且是一個(gè)常量，表明自激自收情況下反射系數(shù)與方位無(wú)關(guān)。當(dāng)入射角分別是15°，25°和35°時(shí)，精確解和近似解相似并且近似為余弦曲線。這是由于HTI介質(zhì)分別關(guān)于觀測(cè)系統(tǒng)坐標(biāo)系x，y，z軸對(duì)稱(chēng)，方位反射系數(shù)在方位角極坐標(biāo)系下關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，體現(xiàn)在圖2的直角坐標(biāo)系下就類(lèi)似于一條余弦曲線。因此，僅需分析方位角0～90°范圍內(nèi)的反射系數(shù)變化規(guī)律，即可掌握全方位角范圍內(nèi)的反射系數(shù)變化規(guī)律。由圖3可見(jiàn)，當(dāng)方位角分別是0，30°，60°，90°時(shí)，精確解和近似解隨著入射角增大不斷減小，并且二者相似度較高，這說(shuō)明本文所得HTI介質(zhì)彈性波反射／透射方程可以較為準(zhǔn)確地反映地震波在HTI介質(zhì)中的傳播特征。

表1 雙層介質(zhì)模型［17］

表2 常見(jiàn)流體彈性參數(shù)［17］

圖3 不同方位角下反射系數(shù)計(jì)算結(jié)果

3.2 流體類(lèi)型對(duì)方位反射系數(shù)的影響

為了研究流體類(lèi)型對(duì)方位反射系數(shù)的影響，共設(shè)計(jì)了3種類(lèi)型界面的雙層模型，并假定上覆介質(zhì)均為墨西哥灣黏土，下伏HTI介質(zhì)為嵌入近垂直定向分布裂縫并且分別飽含水、油、氣的黏土砂巖，裂縫密度和裂縫縱橫比分別為0.1和0.001（參數(shù)見(jiàn)表1和表2），分別計(jì)算了入射角為0，15°，25°，35°的方位反射系數(shù)，結(jié)果如圖4所示。

圖4 上覆各向同性介質(zhì)，下伏地層分別飽含水、油、氣的HTI介質(zhì)模型不同入射角的方位反射系數(shù)

由圖4不難看出，分別飽含水、油、氣的3 種HTI介質(zhì)方位反射系數(shù)曲線形態(tài)基本一致，相比之下飽含水和飽含氣的HTI介質(zhì)反射系數(shù)差異大于飽含水和飽含油之間的差異。進(jìn)一步求取飽含水和飽含氣的HTI介質(zhì)的反射系數(shù)絕對(duì)差（見(jiàn)圖5），不難發(fā)現(xiàn)方位反射系數(shù)絕對(duì)差值大小與入射角密切相關(guān)。當(dāng)入射角為0 時(shí)飽含水和飽含氣的HTI介質(zhì)方位反射系數(shù)絕對(duì)差是一個(gè)常數(shù)，說(shuō)明自激自收的反射系數(shù)與方位角無(wú)關(guān)；隨著入射角增大，反射系數(shù)絕對(duì)差增大。根據(jù)Shuey反射系數(shù)近似公式，上、下地層泊松比差越大，反射系數(shù)變化率隨著入射角的變化也越大，下伏地層飽含氣時(shí)比飽含水的泊松比差大，因此飽含氣的反射系數(shù)下降速度比飽含水的大，表現(xiàn)為入射角越大反射系數(shù)絕對(duì)差也越大。進(jìn)一步分析圖5可見(jiàn)，在0～90°內(nèi)，隨著方位角增大反射系數(shù)絕對(duì)差減小，并且沿裂縫走向（90°方位）的絕對(duì)差最小，沿HTI介質(zhì)對(duì)稱(chēng)軸方向（0方位）絕對(duì)差最大。這是由于HTI介質(zhì)中地震波傳播受裂縫影響，裂縫的存在使得地層泊松比發(fā)生改變，同時(shí)導(dǎo)致反射系數(shù)發(fā)生變化。

圖5 上覆各向同性介質(zhì)，下伏地層分別飽含水和氣的HTI介質(zhì)模型反射系數(shù)絕對(duì)差Dgw

3.3 裂縫密度對(duì)方位反射系數(shù)的影響

為了研究裂縫密度對(duì)反射系數(shù)的影響，采用前述方法設(shè)計(jì)了4種具有不同裂縫密度的HTI介質(zhì)雙層模型。同樣假設(shè)上覆介質(zhì)是墨西哥灣黏土，而下伏HTI介質(zhì)為嵌入近垂直定向分布裂縫的飽含水黏土砂巖（參數(shù)見(jiàn)表1和表2）。圖6為不同裂縫密度HTI介質(zhì)方位反射系數(shù)計(jì)算曲線。顯然，裂縫密度越大，方位反射系數(shù)隨方位角變化越明顯，且具有周期變化特點(diǎn)。對(duì)于同一方位角，裂縫密度越大，方位反射系數(shù)值越小，這是由于上覆墨西哥灣黏土速度小于下伏HTI介質(zhì)，且裂縫密度越大相速度越小，反射界面上、下介質(zhì)波阻抗差越小，進(jìn)而使得反射系數(shù)減小。圖7為裂縫密度分別為0.01和0.13時(shí)的反射系數(shù)絕對(duì)差，可以看出，隨著入射角增大反射系數(shù)絕對(duì)差也在增大。這是由于下伏介質(zhì)裂縫密度為0.13時(shí)的上、下介質(zhì)泊松比差比裂縫密度為0.01時(shí)的大，因此裂縫密度為0.13 時(shí)的反射系數(shù)下降速度比裂縫密度為0.01時(shí)的大。此外，沿裂縫走向（90°方位）的反射系數(shù)絕對(duì)差最大，而沿對(duì)稱(chēng)軸方向（0方位）的反射系數(shù)絕對(duì)差最小，原因在于裂縫密度越大裂縫走向和HTI對(duì)稱(chēng)軸方向相速度差異越大，并且裂縫走向的相速度比HTI對(duì)稱(chēng)軸方向的大，使得裂縫走向反射系數(shù)絕對(duì)差比HTI對(duì)稱(chēng)軸方向的大。

圖6 上覆各向同性介質(zhì)，下伏不同裂縫密度HTI介質(zhì)模型的不同入射角方位反射系數(shù)

圖7 上覆各向同性介質(zhì)，下伏地層裂縫密度分別為0.01和0.13的HTI介質(zhì)模型的反射系數(shù)絕對(duì)差Dc

4 結(jié)論

1）利用等效介質(zhì)理論可以估算裂縫巖石背景介質(zhì)骨架和飽和流體情況的彈性參數(shù)，結(jié)合Thomsen理論，可以構(gòu)建HTI裂縫介質(zhì)彈性矩陣；

2）根據(jù)HTI介質(zhì)彈性矩陣、彈性波波動(dòng)方程和彈性界面邊界條件，可以推導(dǎo)出反映HTI介質(zhì)彈性波傳播特征的反射／透射方程；

3）下伏HTI介質(zhì)分別飽含水和飽含氣的反射系數(shù)差異大于飽含水和飽含油之間的差異，飽含氣和飽含水反射系數(shù)差異隨著入射角增大而增大，隨方位角（0～90°）增大而減??；

4）下伏HTI介質(zhì)裂縫密度越大，反射系數(shù)越小，不同裂縫密度的反射系數(shù)差異隨著入射角增大而增大，隨方位角（0～90°）增大也增大。

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