李惠峰 葛亞杰 李昭瑩

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191)

高超聲速飛行器具有飛行速度高和突防能力強(qiáng)與殺傷威力大等特點(diǎn)，如果能夠達(dá)到直接命中的效果，就可以利用其動(dòng)能毀傷目標(biāo).美國(guó)軍方提出高超聲速巡航導(dǎo)彈末制導(dǎo)的圓誤差概率(CEP，Circular Error Probable)小于3 m，而角度誤差小于0.5°，這就要求末制導(dǎo)律具有高精度的定向定點(diǎn)打擊能力.

為解決定向末制導(dǎo)問(wèn)題，針對(duì)二維平面內(nèi)的定向攔截，假設(shè)末段攻擊過(guò)程中飛行速度不變，且初始角度與要求的打擊角度偏差很小，基于改進(jìn)的比例導(dǎo)引得到了解析的制導(dǎo)律［1］.基于導(dǎo)彈速度不變的假設(shè)設(shè)計(jì)了一種帶末端落角約束的變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律［2］.但實(shí)際的末速度可能降到初速的40%以下，甚至更小，而初始角度也很難與所要求的打擊角度接近，因此基于末速度不變假設(shè)得到的制導(dǎo)律效果并不理想.

針對(duì)定向末制導(dǎo)問(wèn)題，文獻(xiàn)［3］基于線性化系統(tǒng)，將問(wèn)題簡(jiǎn)化為具有終端角度約束的平面攔截問(wèn)題，采用純數(shù)值優(yōu)化方法得到制導(dǎo)軌跡.這種完全依靠數(shù)值計(jì)算的尋優(yōu)方法缺乏工程上要求的實(shí)時(shí)性和可靠性，當(dāng)擴(kuò)展到三維空間時(shí)，可能不收斂或收斂很慢.文獻(xiàn)［4］設(shè)計(jì)了以控制能量最小為性能指標(biāo)的最優(yōu)導(dǎo)引律，在對(duì)剩余時(shí)間估算時(shí)考慮了飛行器速度大小與方向的變化，但剩余時(shí)間不可能精確地估計(jì)，產(chǎn)生偏差在所難免，這種偏差對(duì)于打擊精度有直接影響，特別是末制導(dǎo)階段，剩余時(shí)間較短，偏差所占比例較大.

文獻(xiàn)［5］對(duì)橫向比例導(dǎo)引律的收斂性進(jìn)行了分析和證明.文獻(xiàn)［6］對(duì)HL-20的末段打擊提出了一種新的比例導(dǎo)引律，根據(jù)當(dāng)前和最終狀態(tài)來(lái)調(diào)整比例因子，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)非機(jī)動(dòng)目標(biāo)的定向打擊.文獻(xiàn)［7］在文獻(xiàn)［6］的基礎(chǔ)上針對(duì)高超聲速飛行器提出了一種自適應(yīng)比例導(dǎo)引方法，不同于其他制導(dǎo)方法，此方法不依靠速度常量或線性化近似，在飛行器的機(jī)動(dòng)性能范圍內(nèi)，此制導(dǎo)方法能引導(dǎo)飛行器在任何初始條件下飛向目標(biāo).從其仿真結(jié)果中可以看出真正進(jìn)入縱向調(diào)整的時(shí)間很短，比例因子的自適應(yīng)效果不是很理想，容易導(dǎo)致打擊失敗.

本文針對(duì)高超聲速飛行器末端定向定點(diǎn)打擊，在文獻(xiàn)［6］的基礎(chǔ)上提出了一種具有自適應(yīng)能力的高精度比例導(dǎo)引律.為確保飛行器有足夠的時(shí)間進(jìn)行橫縱向調(diào)整，設(shè)計(jì)了一種合理的收斂策略，大大提高了比例導(dǎo)引進(jìn)入的時(shí)間，保證落角落點(diǎn)約束的滿足.由于比例導(dǎo)引只考慮了運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，而實(shí)際應(yīng)用中需要考慮飛行器動(dòng)力學(xué)約束，飛行器有可能無(wú)法理想地響應(yīng)給出的制導(dǎo)指令，從而出現(xiàn)制導(dǎo)誤差，因此針對(duì)制導(dǎo)參數(shù)設(shè)計(jì)了閉環(huán)非線性自適應(yīng)律，保證了高精度打擊效果.

1 末制導(dǎo)問(wèn)題建模

1.1 末制導(dǎo)坐標(biāo)系

在定向末制導(dǎo)問(wèn)題中，由于彈目之間的距離較近，飛行器速度較大，因此可以忽略地球曲率和自轉(zhuǎn)，定義與目標(biāo)固連的末段坐標(biāo)系如圖1所示.

目標(biāo)固連在原點(diǎn)O，x軸指向東，y軸指向北，z軸垂直向上，組成右手直角坐標(biāo)系.其中，θ為視線偏角，φ為視線傾角，正方向如圖1所示.

圖1 末制導(dǎo)坐標(biāo)系

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)以上假設(shè)得到簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)方程如下:

式中，x，y，z描述彈目相對(duì)位置;V為彈目相對(duì)速度;ψ為速度偏角;γ為速度傾角;重力加速度g=9.81 m/s2;m為常數(shù);升力L和阻力D與高度z、速度V和攻角α有關(guān):

式中，ρ為大氣密度;Sref為參考面積;升阻力系數(shù)CL和CD是馬赫數(shù)和攻角的函數(shù).

1.3 末制導(dǎo)約束

固定目標(biāo)位于原點(diǎn)，定向打擊任務(wù)要求高速飛行器以規(guī)定角度命中原點(diǎn)，即軌跡終端約束為

式中，zf為終端高度;Γf和Ψf是給定的命中目標(biāo)時(shí)的速度傾角和偏角.

2 末制導(dǎo)策略

盡管有很多制導(dǎo)方法可以實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)打擊，但只有少數(shù)能夠方便地實(shí)現(xiàn)對(duì)速度傾角和偏角的約束，本文采用比例導(dǎo)引法來(lái)實(shí)現(xiàn)定向末制導(dǎo):

通過(guò)恰當(dāng)?shù)剡x擇制導(dǎo)參數(shù)λ1和λ2可以實(shí)現(xiàn)末制導(dǎo)約束.對(duì)于制導(dǎo)參數(shù)的選擇可以通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)［6］的分析得到如下結(jié)論:

1)在任意速度下，當(dāng)滿足|γ|＜90°，且對(duì)于任意的初始條件 θ(0)+ψ(0)≠π/2，λ1＞1，可以保證剩余距離趨于0.

2)當(dāng)λ1＞2時(shí)，且滿足 θ+ψ=-π/2，軌跡在水平面上的投影將收斂到一條通過(guò)原點(diǎn)的直線.

3)在任意速度下，當(dāng) λ1＞1，λ2＞1時(shí)，可以保證趨于0.

4)當(dāng) λ1＞2，λ2＞2，且滿足 θ+ψ=-π/2和φ+γ=0時(shí)，飛行器在三維空間的軌跡將收斂到一條通過(guò)原點(diǎn)的直線.

本文采取的末制導(dǎo)策略是:橫向制導(dǎo)律先保證飛行器的航向?qū)?zhǔn)目標(biāo)，之后縱向制導(dǎo)律開始工作，使得速度傾角接近預(yù)期的值并導(dǎo)引飛行器飛向目標(biāo)，同時(shí)橫向制導(dǎo)律能夠保證正確的航向.

2.1 橫向制導(dǎo)律

假設(shè) ψ·= ψ·com，對(duì)式(12)在［t0，t］上進(jìn)行積分:

其中，ψ0和θ0是t0時(shí)刻的值，t0時(shí)刻即為橫向制導(dǎo)律進(jìn)入工作狀態(tài)的瞬間.當(dāng)λ1＞2時(shí)，為滿足末制導(dǎo)對(duì)于橫向的約束，飛行器的速度偏角漸近趨于穩(wěn)定狀態(tài)Ψf，由θ+ψ=-π/2可以推出θ對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定狀態(tài)值應(yīng)滿足:

在式(14)中將ψ替換為Ψf，θ替換為Θf，可推出獨(dú)立變量λ1的取值應(yīng)滿足如下關(guān)系:

其中，δψ0是飛行器初始航向偏移量，滿足δψ0=ψ0-(-π/2-θ0).從前面的討論可知，如果 λ1＞2，那么此時(shí)λ1的值可以保證橫向約束實(shí)現(xiàn).由式(16)計(jì)算出的λ1值在t0時(shí)刻要小于2，利用飛行過(guò)程中的當(dāng)前值θ和δψ分別替代θ0和δψ0在λ1＞2之前導(dǎo)引飛行器飛向目標(biāo).

下面介紹橫向制導(dǎo)邏輯如何完成航向?qū)?zhǔn).如果Γf=-90°則在整個(gè)飛行過(guò)程中，任意一個(gè)大于2的常數(shù)λ1都能保證橫向?qū)?zhǔn);如果Γf≠-90°，且由式(13)計(jì)算得出的初始 λ1＜2，飛行器的傾斜角滿足如下關(guān)系:

其中，σmax∈(0，90)是轉(zhuǎn)彎所需的最大傾斜角.當(dāng)此制導(dǎo)指令發(fā)出之后，δψ0和θ0被其當(dāng)前值所替代，從而可以通過(guò)式(16)計(jì)算出λ1的值.如果此時(shí)λ1＞2，那么當(dāng)前時(shí)刻被設(shè)定為t0，將λ1的值代入式(10)來(lái)導(dǎo)引之后的末段飛行.

2.2 縱向制導(dǎo)律

上述結(jié)論也適用于式(13).假設(shè)飛行器理想的響應(yīng)制導(dǎo)指令，對(duì) γ·com=- λ2φ·積分得

其中，γ0和φ0對(duì)應(yīng)初始時(shí)刻的值.當(dāng)λ2＞2時(shí)，為滿足末制導(dǎo)對(duì)于橫向的約束，飛行器的速度傾角漸近趨于穩(wěn)定狀態(tài)Γf，可以推出:

保證終端條件γf=Γf的實(shí)現(xiàn)需要選擇合適的比例因子，而比例因子的選擇在落角控制中存在兩個(gè)明顯的問(wèn)題:

1)上述推導(dǎo)基于理想飛行器動(dòng)力學(xué)假設(shè)，在實(shí)際俯沖段飛行過(guò)程中，由于飛行器機(jī)動(dòng)能力有限，不能保證制導(dǎo)指令被理想響應(yīng)，這將直接導(dǎo)致終端條件γf=Γf出現(xiàn)誤差.為解決該問(wèn)題，在第3節(jié)將對(duì)比例因子引入自適應(yīng)機(jī)制.

2)俯沖平面內(nèi)軌跡對(duì)應(yīng)的實(shí)際比例因子只有滿足λ2＞2，才能保證終端條件γf=Γf成立，需要設(shè)計(jì)相應(yīng)的進(jìn)入策略，保證在合適的時(shí)間滿足該條件，使得軌跡最終滿足落角約束.

由式(19)可以推出:

將式(20)中的 γ0替換為 γ，φ0替換為 φ，與tanφ=z/s聯(lián)立可得s與γ的關(guān)系:

在俯沖平面內(nèi)給出滿足條件所需的最小速度傾角，如圖2與圖3所示，可以看出:在相同距離下，隨著飛行高度的下降，速度傾角下限增加;隨著比例因子的增加，速度傾角下限增加;對(duì)應(yīng)同一高度或者同一比例因子，隨著剩余距離的增加，速度傾角下限增加.

圖2 γ與s的關(guān)系(高度)

圖3 γ與s的關(guān)系(比例因子)

根據(jù)對(duì)滿足條件的最小速度傾角變化規(guī)律的分析，得到影響進(jìn)入條件是否滿足的兩個(gè)主要因素:俯沖段初始速度傾角與進(jìn)入策略.結(jié)合彈目視線俯仰角變化規(guī)律，給出進(jìn)入飛行策略:速度傾角變化率與視線傾角變化率比值在1～2之間.

在飛行器進(jìn)入末段之前，需要根據(jù)飛行器當(dāng)前的狀態(tài)選擇合適的比例因子，從而在合理的時(shí)刻進(jìn)入縱向比例導(dǎo)引的收斂段.進(jìn)入條件滿足之后，縱向制導(dǎo)邏輯就開始工作，進(jìn)入條件為其中，ε＞0是無(wú)窮小量.對(duì)于垂直打擊δψ應(yīng)滿足:縱向制導(dǎo)邏輯控制過(guò)程如下:

1)從末制導(dǎo)段初始時(shí)刻到航向?qū)?zhǔn)結(jié)束，飛行器的攻角滿足如下關(guān)系:其中，α0為初始時(shí)刻的攻角;α*為飛行器最大升阻比所對(duì)應(yīng)的攻角;時(shí)間常數(shù)T＞0是一個(gè)預(yù)設(shè)參數(shù)，來(lái)確保α0到α*可以快速、合理的轉(zhuǎn)換.

2)從航向?qū)?zhǔn)段結(jié)束到λ2＞2時(shí)刻，縱向制導(dǎo)律中的導(dǎo)引參數(shù)為λ2＜1，λ2的值一旦大于2，此值將代入縱向制導(dǎo)律，由此開始縱向調(diào)整段.

3 自適應(yīng)律

λ1和λ2這兩個(gè)參數(shù)一般確定后就保持某一常值不變.但在進(jìn)入橫向和縱向控制階段后，會(huì)由于干擾等問(wèn)題導(dǎo)致控制參數(shù)的實(shí)際值與指令值偏差較大，因此，之前確定的λ1和λ2的值不能再保證打擊角度的精度要求.

由式(6)和式(12)可以推出λ1的實(shí)際值:

由式(5)和式(13)可以推出λ2的實(shí)際值:

由于實(shí)際值和指令值存在偏差，需要實(shí)時(shí)計(jì)算其偏差是否在允許范圍內(nèi)，如在允許范圍內(nèi)，則保持當(dāng)前值不變，如超出范圍，就需要重新計(jì)算并更新指令.在當(dāng)前方法的框架內(nèi)，利用這種閉環(huán)自適應(yīng)實(shí)時(shí)更新λ1和λ2，能夠大大提高制導(dǎo)精度.比例因子的自適應(yīng)機(jī)制流程圖如圖4所示.

圖4 制導(dǎo)參數(shù)自適應(yīng)控制流程圖

此外，由于輸出的制導(dǎo)指令是速度傾角與速度偏角的角速率指令，飛行器無(wú)法直接執(zhí)行，因此需要轉(zhuǎn)化為攻角與傾斜角指令.

根據(jù)式(7)可以推出升力系數(shù)，利用飛行器的空氣動(dòng)力學(xué)模型可以迭代求出當(dāng)前馬赫數(shù)下的攻角指令αcom.把Lcom代入到式(6)可以得出傾斜角指令 σcom=arcsin(mV ψ·comcosγ/Lcom).

當(dāng)然，還要考慮飛行器飛行能力的問(wèn)題.當(dāng)求出的攻角指令αcom超出了允許范圍時(shí)，需要對(duì)制導(dǎo)指令進(jìn)行適當(dāng)比例的縮放.設(shè)Lmax為當(dāng)前狀態(tài)下所允許的最大升力.一旦|Lcom|＞|Lmax|，表示制導(dǎo)指令超出了飛行器的執(zhí)行能力，選擇對(duì)ψ·com指令進(jìn)行縮放，縮放系數(shù) Kψ=|Lmax/mV ψ·comcos γ|.

1)如果Kψ≥1，說(shuō)明轉(zhuǎn)彎平面的角速率指令可以得到執(zhí)行，傾斜角指令為

2)如果Kψ＜1，說(shuō)明轉(zhuǎn)彎平面的角速率指令不能得到執(zhí)行，傾斜角指令為

從式(5)和式(6)可推出當(dāng)前的實(shí)際升力為

4 仿真結(jié)果

仿真所采用的飛行器模型來(lái)自文獻(xiàn)［8］.在如表1所示初始和終端條件下進(jìn)行仿真，要求CEP＜3m，而角度誤差 ＜0.5°.

表1仿真條件

從圖5和圖6可看出導(dǎo)引律實(shí)現(xiàn)了飛行器對(duì)制導(dǎo)指令的準(zhǔn)確跟蹤，最終打擊角度為 Ψf=-125°和Γf=-59.8°，打擊誤差在允許范圍內(nèi)，實(shí)現(xiàn)了精確打擊，驗(yàn)證了導(dǎo)引律的可靠性.

圖5 橫向制導(dǎo)律

從圖7和圖8可以看出制導(dǎo)參數(shù)實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)自適應(yīng)調(diào)節(jié)，在橫向制導(dǎo)階段λ1幾乎始終與所給指令保持一致，在進(jìn)入縱向調(diào)整階段之后λ2也實(shí)現(xiàn)了對(duì)指令的準(zhǔn)確跟蹤，保證了飛行器以特定的打擊角度攻擊目標(biāo)，同時(shí)也保證了打擊精度.

圖6 縱向制導(dǎo)律

圖7 制導(dǎo)參數(shù)λ1的變化

圖8 制導(dǎo)參數(shù)λ2的變化

從圖9中可以看出:飛行器在橫向制導(dǎo)律的作用下采取較大傾斜角，升力用于水平機(jī)動(dòng)，先完成了傾斜轉(zhuǎn)彎，將速度偏角收斂到終端約束的較小范圍內(nèi);然后控制力轉(zhuǎn)向垂直平面內(nèi)，在縱向制導(dǎo)律作用下下壓彈道，達(dá)到終端速度傾角，同時(shí)繼續(xù)微調(diào)速度偏角，直至命中目標(biāo).

圖9 攻角和傾斜角的變化

圖10為飛行器的三維打擊效果圖，飛行器整個(gè)動(dòng)態(tài)變化過(guò)程直觀地驗(yàn)證了導(dǎo)引律的可行性.

圖10 三維空間軌跡

5 結(jié)論

本文提出了一種高超聲速飛行器末段自適應(yīng)制導(dǎo)律，能夠進(jìn)行高精度的定點(diǎn)定向打擊，該方法具有以下特點(diǎn):

1)進(jìn)入比例導(dǎo)引的時(shí)間早，飛行器有足夠的時(shí)間進(jìn)行橫縱向調(diào)整，保證了制導(dǎo)律的收斂性，使得落角落點(diǎn)約束能夠滿足;

2)考慮了飛行器的動(dòng)力學(xué)約束，制導(dǎo)參數(shù)能夠自適應(yīng)調(diào)整，減小了制導(dǎo)誤差，具有高精度的落點(diǎn)和落角，能夠準(zhǔn)確命中目標(biāo).

仿真結(jié)果表明本文所提出的自適應(yīng)末制導(dǎo)方法，實(shí)現(xiàn)了高精度的定點(diǎn)定向打擊，具有較好的工程實(shí)用價(jià)值.

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