邊　莉,　車向前,　江曉林

(黑龍江科技大學 電氣與信息工程學院, 哈爾濱 150022)

?

Taylor陣列雙陣元失效校正算法

邊莉,車向前,江曉林

(黑龍江科技大學 電氣與信息工程學院, 哈爾濱 150022)

為避免Taylor陣列雙陣元失效,在交叉熵全局隨機優(yōu)化算法的基礎上提出修正交叉熵算法,給出其程序流程,通過一維連續(xù)函數(shù)最大值優(yōu)化和序列盲估計兩個算例,驗證了該算法的有效性和穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明:給定峰值旁瓣電平為-30 dB,修正叉熵算法通過重置非失效陣元饋電振幅的方法,能夠成功地完成方向圖校正。該算法不僅可以保證校正結(jié)果的準確性,而且還能提高其有效性。

Taylor陣列; 陣元失效; 方向圖校正; 交叉熵算法

0　引　言

陣列陣元失效的原因:一是外部干擾源的引入使陣元的輻射性能下降。干擾源包括雷達的干擾信號或者手機系統(tǒng)的競爭移動用戶等。二是陣元機械性失效。陣元機械性失效包括陣元全部失效和部分失效兩類。其中,全部失效是給定陣元的當前饋電為零;部分失效是給定陣元的當前饋電下降,或相位傳送裝置的小故障。需要執(zhí)行陣列失效校正消除上述兩種原因?qū)椛湫阅艿挠绊憽?/p>

Mailloux等[1-3]通過應用數(shù)字波束形成技術研究天線陣失效校正。Peters[4]采用共軛梯度法來校正機械陣元失效。Zainud-Deen[5]等應用正交法解決這一問題。Levitas等[6]引入了實用的次優(yōu)化的補償技術。近年來,遺傳算法和模擬退火也被用于線陣與平面陣的陣元機械性失效的校正[7]。然而,這些智能算法是通過調(diào)整未失效的其余陣元饋電的振幅和相位權值來校正受損的輻射波束。優(yōu)化變量涉及到振幅和相位,自由度為2,如果陣列陣元失效數(shù)量增多,這些算法的優(yōu)化速度減慢,而且饋電難度增大,不易于實現(xiàn)。

筆者在Rubinstein[8]提出的交叉熵(Cross Entropy,CE)全局隨機優(yōu)化算法的基礎上，提出修正交叉熵(Modified Cross Entropy,MCE)算法。針對傳統(tǒng)Taylor陣列[9-12]雙陣元失效情況利用MCE算法僅調(diào)整陣列其余陣元的振幅權值，便可校正受損的輻射波束,使陣列波束恢復至優(yōu)化狀態(tài)。

1　Taylor陣列雙陣元失效校正

1.1數(shù)學模型

考慮非對稱32個陣元,沿z軸放置Taylor加權振幅饋電,得到等間隔(d=0.5λ)線陣模型[7],如圖1所示,其中，陣元2和陣元5全部失效。此時陣列的振幅權值w=[w1,0,w3,w4,0,w6，…,wN],由于雙陣元失效(w2=w5=0),陣列的波束受損,旁瓣電平有所升高。使用算法重新利用剩下的陣元權值(w1,w3,w4,w6,…,wN)給陣列重新饋電,恢復受損波束,同時保證陣列峰值旁瓣電平達到原給定旁瓣電平-30 dB的問題,稱為Taylor陣列雙陣元失效校正。

圖1　非對稱陣列模型

該陣列為非對稱模型,其遠區(qū)場為

(1)

式中:E(u)為陣元方向圖函數(shù),對于各向同性的信號源為1;Fmax為陣列方向圖峰值;N為陣元數(shù)量,N=32;wn為陣元唯振幅權值,wn=an,0

選擇研究雙陣元失效校正問題的原因：一是該問題具有明確的代表性,由于陣列陣元數(shù)量為32,失效陣元數(shù)量為2,陣元失效比例為6.25%,實際問題中失效比例超過10%陣列波束恢復的意義不大。二是由于雙陣元失效,全部的優(yōu)化變量數(shù)量為N-2,可以充分地考察智能算法的復雜度。

1.2目標函數(shù)

為了恢復陣列波束,優(yōu)化目標函數(shù)為

(2)

式中:F(u)為陣列遠區(qū)場方向圖由式(1)確定;M(u)為模板函數(shù),如圖2所示。在|u|≥0.1的空間區(qū)域里M(u)表示峰值旁瓣電平為-35 dB的Taylor陣列波束方向圖的上限。主波瓣區(qū)域為|u|≤0.1的空間區(qū)域,在這一區(qū)域,M(u)=0,因此,主瓣在式(2)的計算中沒有貢獻。目標函數(shù)通過使用超過M(u)的Ni個樣本的ui加以計算,并由應用到樣本u空間的全部樣本Ntot進行標準化。

該目標函數(shù)適用于Taylor陣列,既可以對被恢復的波束方向圖產(chǎn)生更為嚴格的波束寬度限制,又會在總體上提供更好的優(yōu)化結(jié)果。

圖2　原始Taylor陣列方向圖及模板函數(shù)

2　修正交叉熵算法

1997年,Rubinstein根據(jù)信息論中的Kullback-Leibler距離(交叉熵)的概念提出交叉熵(Cross Entropy,CE)全局隨機優(yōu)化算法。其中重點樣本(Importance Sampling)策略,使該算法被廣泛地應用于解決大型、復雜優(yōu)化的問題[13-18]。

一般情況下,CE算法涉及一個迭代過程,每次迭代被拆分為兩個步驟[19]:一是按照某一個概率分布函數(shù)產(chǎn)生一組隨機數(shù)據(jù)樣本;二是基于這些隨機數(shù)據(jù)樣本更新概率分布函數(shù)的參數(shù),為下一步迭代提供更好的樣本。

在優(yōu)化過程中,CE法的操作是基于參數(shù)化概率密度分布,每次迭代使用的候選樣本都發(fā)生變化,這是CE法的基本特性。

2.1標準交叉熵算法

CE算法中樣本選取的概率密度函數(shù)可以選擇高斯分布,指數(shù)分布和Beta分布。在實際應用中,最典型的概率密度為均值μ、方差σ2的高斯(正態(tài))分布。

CE算法優(yōu)化參數(shù)的概率密度函數(shù)為

(3)

利用解析法求解式(3)，

lnf(xi，η)=0,

(4)

式中,Ns為重點樣本個數(shù)。

算法1標準交叉熵算法

Kelite=「ρK?, 0<ρ<1。

④更新:對于m=1,2，…,M計算

⑤平滑:對于m=1,2，…,M計算

其中，0.5≤α≤0.9。

算法終止時,輸出最優(yōu)解X*=μ(t),最優(yōu)目標函數(shù)值γ*=S(X*)。需要說明的是第③步排序,若需要優(yōu)化的是目標函數(shù)的最大值,對S(t)函數(shù)進行降序排列,若優(yōu)化目標函數(shù)的最小值,對S(t)函數(shù)進行升序排列。

2.2修正交叉熵算法

由于標準交叉熵算法中,樣本選擇沒有任何的限定,這樣就使算法的有效性和穩(wěn)定性受到了質(zhì)疑[14]。在當前迭代中,保證樣本中取到的重點樣本落在當前水平集上,為算法的漸近收斂性提供重要保障。對標準交叉熵算法的這一改進,成為修正交叉熵算法(Modified Cross Entropy,MCE)。

算法2修正交叉熵算法

X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)],

其中，xm(t)=[x1,m(t),x2,m(t),…，xK,m(t)]T。

③選擇:計算K×1目標函數(shù)矩陣

S(t)=[S1(t),S2(t),…,SK(t)]T,

記重點樣本集中的樣本數(shù)量為E,計算當前水平值:

④更新:對于m=1,2,…,M計算

⑤平滑:對于m=1,2,…,M計算

(5)

其中,0.5≤α≤0.9,β(t)由式(5)確定。

算法終止時,輸出最優(yōu)解X*=μ(t),最優(yōu)值γ*=S(X*)。

3　算法的性能評價

計算機配置為CPU2.66 GHz,內(nèi)存256 MHz,運行軟件MATLAB 7.0。實驗程序都是在設計修正交叉熵算法的同時,經(jīng)過嚴格程序編寫,多次調(diào)試,運行穩(wěn)定。在數(shù)值實驗中,用到了以下數(shù)據(jù)算例。

算例1一維連續(xù)函數(shù)最大值優(yōu)化

設一維連續(xù)函數(shù)S(x)的表達式為

S(x)=e-(x-2)2+0.8e-(x+2)2,x∈R。

此函數(shù)在x=-2、x=2時,具有兩個最大值,其中x=-2得到局部最大值,x=2得到全局最大值。

算例2序列盲估計

序列盲估計是指無須在發(fā)端傳送已知的導頻序列僅依據(jù)接收到的序列進行的離散信道(序列)估計。一般序列盲估計可以采用判決反饋的方法來進行信道估計,其模型如圖3所示。

圖3　序列盲估計模型

輸入序列為x=(x1,x2,…,xn),離散信道序列為y=(y1,y2,…,yn)。判決函數(shù)S(x)為

3.1有效性分析

為了分析MCE算法有效性,算例1構(gòu)成了連續(xù)函數(shù)求解最大值問題,該數(shù)據(jù)集在x=-2時具有局部最小值0.8,可以測試MCE算法的有效性。圖4給出了輸出結(jié)果。

MCE算法重復執(zhí)行10次,并且每次有效迭代的次數(shù)不超過13次。結(jié)果始終達到最優(yōu)值,由此可見,MCE算法比較穩(wěn)定,具有一定的可用性,而且MCE算法收斂速度很快,因為在上述環(huán)境下CPU運行時間只有0.1 s。

算例2為離散型優(yōu)化問題,系統(tǒng)信道序列為y=[1,1,1,1,1,0,0,0,0,0]利用MCE算法準確地完成了系統(tǒng)信道的盲估計。圖5展示了上述算法程序在執(zhí)行時,迭代次數(shù)為第0、1、2、3、4次,每次迭代概率p(t)向目標概率p*一步一步逼近的收斂趨勢。當p(t)退化成只含有分量0和1的向量時,說明MCE程序執(zhí)行得到了最優(yōu)值。

圖4　MCE算法算例1的輸出結(jié)果

圖5　程序迭代過程中概率參數(shù)p(t)的變化

Fig. 5Changes of probability parameterp(t)during program iterative process

3.2穩(wěn)定性分析

問題規(guī)模增長時,算法的穩(wěn)定性是衡量算法的重要指標。算例2中構(gòu)造的不同維數(shù)的信道序列,記錄下隨著序列維數(shù)的增長,程序運行所消耗的時間t的變化情況。分別選取n=20、50、100、200、500、1 000。樣本群K=2 000。利用算法2且ρ=0.1,d=2,初始分布參數(shù)p(0)向量中各分量值均為0.5,圖6表示對應的問題隨著規(guī)模增長變化情況,程序重復執(zhí)行10次。

由圖6可知:當問題規(guī)模n增大時,所需時間也隨之增加。當n>500時,隨著規(guī)模的增大求解時間的增長速度變化表現(xiàn)較明顯,曲線斜率逐漸增大。當α=0.6時,針對不同規(guī)模,MCE算法程序消耗的時間要少于α=l的情況,因為它具有平滑參數(shù)ρ的功能,避免在迭代前期p向量中的分量出現(xiàn)“0”或者“1”的現(xiàn)象發(fā)生,從而提高程序的收斂性,當然在此算例中平滑參數(shù)的作用并不明顯,但是MCE算法被用于處理連續(xù)的多極值優(yōu)化問題時,α的作用將很明顯,這里不作過多評價。

圖6　算法穩(wěn)定性比較

4　優(yōu)化仿真分析

4.1參數(shù)選取

根據(jù)第3節(jié)的算法性能的分析,MCE算法有效性和穩(wěn)定性都得以保證。根據(jù)算法2的具體要求,此時,MCE算法參數(shù)見表1。由于陣元振幅的連續(xù)性,采用MCE算法的連續(xù)形式。被校正的陣列振幅權值初始平均值設為Taylor陣原始振幅權值,通過使用傳統(tǒng)方法計算得到。

表1雙陣元失效校正的Taylor陣列修正交叉熵算法參數(shù)

Table 1MCE parameters of two elements failure of Taylor array

物理量 含義數(shù)值α 均值平滑參數(shù)1β 方差平滑參數(shù)0.5ρ 樣本選擇參數(shù)0.1K 群大小100a 振幅限[0,1]μ(0) 振幅初始平均值Wchebσ2(0) 振幅初始方差1

注:Wcheb為原始Taylor陣振幅權值

4.2仿真結(jié)果

為了確定該問題MCE算法的平均趨勢,進行100次獨立的實驗。終止標準設為所有被校正陣列權值的方差最大值超過2.220 4×10-16或者迭代次數(shù)超過2 000。100次獨立實驗得到的相應結(jié)果,如表2所示。最佳實驗的被校正方向圖及振幅權值波動,如圖7所示。

仿真結(jié)果表明,原始Taylor陣列的峰值旁瓣電平在|u|>0.1區(qū)域為-30.000 0 dB。被校正的陣列波束平均峰值旁瓣電平為-29.526 3 dB,比原始陣列高0.5 dB。在波束寬度方面,被校正的陣列波束平均FBNW為12.37°,原始陣列為10.96°,相當于增加12.86%。從數(shù)據(jù)可以了解,一般的智能算法都是采用振幅和相位聯(lián)合權值的控制方法以恢復受損陣列的方向圖,算法復雜程度較高。而MCE算法僅僅利用唯振幅控制,可以得到相同的結(jié)果,大大簡化了解決問題的過程。

表2優(yōu)化過程的可測量值

Table 2Measurable values in optimization process

圖7　Taylor陣仿真結(jié)果

Taylor陣列的方向圖表現(xiàn)了旁瓣電平與波束寬度之間的折中。方向圖主瓣附近有一定數(shù)量的波瓣保持一個恒定的電平,與Dolph-Chebyshev陣列非常相似,然而遠離主瓣的旁瓣類似均勻天線陣的單調(diào)漸變特性。Taylor陣列比Dolph-Chebyshev陣列更有效率,可行性強。

5　結(jié)束語

MCE算法通過限定迭代過程中重點樣本落在當前水平集上,使該算法的有效性和穩(wěn)定性比標準的CE算法有很大提高。在Taylor陣列雙陣元失效的情況下,可以利用提出的MCE算法對其進行優(yōu)化校正。在給定峰值旁瓣電平為-30 dB時,MCE算法僅僅通過修正其他陣元饋電振幅的方法,成功完成了陣列波束校正，體現(xiàn)了Taylor天線陣列的方向圖旁瓣電平與波束寬度之間的折中。后續(xù)的研究將通過改變陣列模型、提高陣列規(guī)模來進一步驗證MCE算法的高效性。

[1]MAILLOUX R J. Phased array error correction scheme[J]. Electronic Letters, 1993, 7(9): 573-574.

[2]MAILLOUX R J. Array failure correction with a digitally beamformed array[J]. IEEE Transaction on Antenna and Propagation, 1996, 12(4): 1543-1550.

[3]STEYSKAL H, MAILLOUX R J. Generalization of an array failure correction method[J]. Antenna and Propagation Society International Symposium, 1996, 11(3): 506-509.

[4]PETERS T J. A Conjugate gradient-based algorithm to minimize sidelobe level of planar arrays with element failures[J]. IEEE Transaction on Antennas and Propagation, 1991, 10(9): 1497-1504.

[5]ZAINUD DEEN S H. Array failure correction with orthogonal method[C]//Proceedings of the national radio science conference, [S.l.]:[s.n], 2004, 5(5): 1-9.

[6]LEVITAS M, HORTON D A, CHESTON T C. Practical failure compensation in active phased arrays[J]. IEEE Transaction on Antennas and Propagation, 1999, 3(7): 524-535.

[7]YEO B K, LU Y L. Array failure correction with a genetic algorithm[J]. IEEE Transaction on Antennas and Propagation, 1999, 5(4): 823-828.

[8]RUBINSTEIN R Y. Optimization of computer simulation models with rare events[J]. European Journal of Operational Research, 1997, 99(1): 89-112.

[9]DOLPH C L. A current distribution for broadside arrays which optimizes the relationship between beam width and side-lobe level[C]//Proceedings of the IRE, [S.l.]: [s.n], 1946, 35(5): 489-492.

[10]SAFAAI-JAZI, A. A new formulation for the design of chebyshev arrays[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1994, 42(3): 439-443.

[11]KORETZ A, RAFAELY B. Dolph-chebyshev beampattern design for spherical arrays[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(6): 2417-2420.

[12]HAMMAMI A, GHAYOULA R, GHARSALLAH A. Antenna array synthesis with chebyshev-genetic algorithm method[J]. CCCA, 2011, 3(6): 1-4.

[13]LIU J. Global Optimization techniques using cross entropy and evolution algorithms[D]. Stlucia: Master’s Thesis, Department of mathenatics, The University of Queensland, 2004: 78-79.

[14]CHEN Y, SU Y T. Maximum likelihood DOA estimation based on the cross entropy method[C]//IEEE international symposium on information theory, [S.l.]: [s.n], 2006: 851-855.

[15]ZHANG Y. Cross entropy optimization of multiple-input multiple-output capacity by transmit antenna selection[J]. IET Microwaves, Antennas & Propagation, 2007, 10(6): 1131-1136.

[16]COSTS A, JONES O D. Convergence properties of the cross-entropy method for discrete optimization[J]. Operations Research Letters, 2007, 35(5): 573-580.

[17]UNVEREN A,ACAN A. Multi-objective optimization with cross entropy method: stochastic learning with clustered pareto fronts[C]//IEEE Congress on Evolutionary Computation, [S.l.]: [s.n], 2007: 3065-3071.

[18]KEITH J, KROESE D P. Sequence alignment by rare event eimulaiton[C]//Progeedings of the 2002 Winter Simulation Conference, San Diego: [s.n], 2002, 1: 320-327.

[19]RUBINSTEN R Y, KROESE D P. The cross-entropy method: A unified approach to combinatorial optimization, monte-carlo simulation and machine learning[M]. New York: Springer, 2004: 45-57.

(編輯李德根)

Algorithm for two elements failure correction to taylor array

BIANLi,CHEXiangqian,JIANGXiaolin

(School of Electronic & Information Engineering, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China)

Aimed at two elements failure correction to Taylor array, this paper proposes modified cross entropy algorithm based on the cross entropy stochastic global optimization algorithm and offers the program flow to the algorithm ，and the effectiveness and stability of the algorithm, as verified by one-dimensional continuous function maximum optimization and blind sequence estimation. The simulation shows that, with given peak sidelobe level (-30 dB), modified cross entropy algorithm is capable of the successful completion of the pattern correction only by correcting the non failure array feed amplitude. The proposed algorithm performs with not only an expected optimization accuracy, but also an improved effectiveness.

Taylor array; array elemment failure; pattern correction; cross entropy algorithm

2013-04-09

黑龍江省青年科學基金項目(QC2010023);黑龍江省普通高等學校青年學術骨干支持計劃項目(1251G055)

邊莉(1978-),女,河北省涿州人,副教授,博士,研究方向:人工智能、陣列信號處理,E-mail:branran@163.com。

10.3969/j.issn.1671-0118.2013.03.019

TN82

1671-0118(2013)03-0302-06

A