劉志剛，張友萍，吳正鵬

(中國傳媒大學應用數(shù)學系，北京100080)

基于單調(diào)函數(shù)的新強化緩沖算子及其性質(zhì)研究

劉志剛，張友萍，吳正鵬

(中國傳媒大學應用數(shù)學系，北京100080)

在灰色系統(tǒng)緩沖算子公理體系下，本文利用反函數(shù)定理，構造了4類新強化緩沖算子，并將其與關氏強化緩沖算子進行比較，論證了關氏強化緩沖算子為新算子的特例，研究了其特性及各種強化緩沖算子之間的內(nèi)在關系，從而大大地拓廣了強化緩沖算子的應用范圍.對序列前一部分增長(衰減)速度過快，而后一部分增長(衰減)速度過慢的沖擊擾動系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列在建模預測過程中常常出現(xiàn)的定量預測結果與定性分析結論不符的問題，提供了多種解決方案，首次將緩沖算子的構造與函數(shù)聯(lián)系起來，從而為緩沖算子的構造開辟了新方向.

強化緩沖算子；灰色系統(tǒng)

1 引言

灰色系統(tǒng)的特色是研究“小樣本”與“貧信息”等不確定性問題。因此充分開發(fā)利用已占有的信息來挖掘系統(tǒng)本身固有的規(guī)律是灰色系統(tǒng)理論的基本準則。我們可以通過社會，經(jīng)濟，生態(tài)等系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)來尋求因素之間或自身的變化規(guī)律?；疑到y(tǒng)理論認為：盡管客觀系統(tǒng)的表象復雜，數(shù)據(jù)離亂，但它們總有自身的整體功能，必然蘊藏某種內(nèi)在的規(guī)律，關鍵是如何選擇適當?shù)姆椒▉硗诰蚝屠盟?。在文獻[1，4，5，7]中，劉思峰等教授提出了沖擊擾動緩沖算子的概念，并構造出一種得到較廣泛應用的強化緩沖算子，本文在他們的工作的基礎上，又構造出4類新強化緩沖算子。從而推廣了緩沖算子的類型。

2 基本概念

定義2.1[3]設系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，如

(1)?k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)>0，則稱X為單調(diào)增長序列。

(2)?k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)<0，則稱X為單調(diào)衰減序列。

(3)若有k1，k2∈{2，3，…，n}，有x(k1)-x(k1-1)>0，x(k2)-x(k2-1)<0，則稱X為振蕩序列。其中

M=max1≤k≤nx(k)，m=min1≤k≤nx(k)，稱M-m為振蕩序列X的振幅。

定義2.2[3]設X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)算子D作用后所得到序列記為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，則稱D為序列算子。

對序列連續(xù)作用，可得二階算子，一直可以作用到r階算子，分別記為XD2，…，XDr。

公理2.1[3](不動點公理)設X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，則有x(n)d=x(n)。

公理2.2[3](信息充分利用公理) 系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序X列中的每一個數(shù)據(jù)x(k)(k=1，2，…，n)，都應充分地參與算子作用的整個過程。

公理2.3[3](解析化與規(guī)范化公理) 任意的x(k)d(k=1，2，…，n)皆可以由一個統(tǒng)一的x(1)，x(2)，…，x(n)的初等表達式表達。

滿足上述三公理的序列算子稱為緩沖算子。XD稱為緩沖序列。

定義2.3[3]設為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，當X當X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列，緩沖序列XD比行為數(shù)據(jù)序列X的增長速度(或衰減速度)增強或振幅增大，則稱緩沖算子D為強化算子。

定理1[3]

(1)設X為單調(diào)增長序列，XD為緩沖序列，則D為強化緩沖算子?x(k)≤x(k)d(k=1，2，…，n)(2)設X為單調(diào)衰減序列，XD為緩沖序列，則D為強化緩沖算子?x(k)≥x(k)d(k=1，2，…，n)

(3)設X為振蕩序列，XD為緩沖序列，D為強化緩沖算子，則

max1≤k≤nx(k)≤max1≤k≤n(x(k)d)，

min1≤k≤nx(k)≥min1≤k≤n(x(k)d)，

由定理2.1可知，單調(diào)增長序列在強化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)萎縮;單調(diào)衰減序列在弱化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)膨脹。

3 強化緩沖算子的構造

劉思峰，黨耀國，關葉青等學者在其文獻[4-7]中構造了下列強化緩沖算子，設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，令XDi=(x(1)di，…，x(n)di)，i=1，2，3，4

(1)

(2)

(3)

(4)

(k=1，2，…，n)，

則當為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，D1，D2，D3，D4皆為強化緩沖算子。

定理2設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，x(i)>0，則有

x(k)d1≤x(k)d2≤x(k)d3≤x(k)d4

當且僅當x(1)=x(2)=…=x(n)時，所有等號成立。

證明：見文獻[7]。

在此，我們在強化緩沖算子D1，D2，D3，D4基礎上，利用單調(diào)函數(shù)理論，構建新強化緩沖算子。

(5)

令XE1=(x(1)e1，…x(n)e1)

則當X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，E1為強化緩沖算子。

即E1滿足緩沖算子公理一。

至于緩沖算子公理二，公理三顯然成立，因而E1為緩沖算子。

因為f為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，

下證當：

(1)X為單調(diào)增長序列時，因為0

所以E1為強化緩沖算子。

(2)X為單調(diào)衰減序列時，因為x(k)≥…≥x(n)>0，，得f2(x(k))≥…≥f2(x(n))>0，

所以E1為強化緩沖算子。

(3)當X為振蕩序列時，令

x(k)=max1≤i≤nx(i)，x(h)=min1≤i≤nx(i)，

x(k)≥x(k)，…，x(n);x(h)≤x(h)，…，x(n)，

f2(x(k))≥f2(x(k))，…，f2(x(n))>0，

0

max1≤i≤nx(i)≤max1≤i≤nx(i)e1，

min1≤i≤nx(i)≥min1≤i≤nx(i)e1

故E1為強化緩沖算子。

定理4設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(i)>0，f>0，f為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，g為其反函數(shù)。其中

(6)

令XE4=(x(1)e4，…x(n)e4)

則當X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，E4為強化緩沖算子。

證明：容易驗證

即E4滿足緩沖算子公理一。

至于緩沖算子公理二，公理三顯然成立，因而E4為緩沖算子。

因為f為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，

下證當：

(1)X為單調(diào)增長序列時，因為0

0

所以E4為強化緩沖算子。

(2)X為單調(diào)衰減序列時，因為00，

所以E4為強化緩沖算子。

(3)當X為振蕩序列時，令

x(k)=max1≤i≤nx(i)，x(h)=min1≤i≤nx(i)，

x(k)≥x(k)，…，x(n);x(h)≤x(h)，…，x(n)，

f(x(k))≥f(x(k))，…，f(x(n))>0，

0

max1≤i≤nx(i)≤max1≤i≤nx(i)e4，

min1≤i≤nx(i)≥min1≤i≤nx(i)e4

故E4為強化緩沖算子。

定理5設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(i)>0，f>0，f為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，g為其反函數(shù)。其中

(7)

令XE2=(x(1)e2，…x(n)e2)

則當X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，E2為強化緩沖算子。

證明： 見文獻[8]。

定理6設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(i)>0，f>0，f為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，g為其反函數(shù)。其中

(8)

令XE3=(x(1)e3，…，x(n)e3)

則當X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，E3為強化緩沖算子。

證明： 見文獻[8]。

定理7X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，x(i)>0，f>0，f為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，g為其反函數(shù)。則有

x(k)e1≤x(k)e2≤x(k)e3≤x(k)e4

當且僅當x(1)=x(2)=…=x(n)時，所有等號成立。

證明：由定理2及g的嚴格單調(diào)遞增即得。

以上結果對權重向量w=(w1，…，wn)，wi>0一樣成立，推導過程類似。

當f(x)=g(x)=x時，強化緩沖算E1，E2，E3，E4分別就是強化緩沖算子D1，D2，D3，D4。即強化緩沖算子D1，D2，D3，D4為我們的特例。當然由于只要求f為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，這樣的f太多了，隨手可得。

4 結語

在緩沖算子的構造過程中，以前都是一個一個去構造。而我們是首次將緩沖算子的構造與函數(shù)聯(lián)系起來，一次構造一大類緩沖算子，為解決擾動數(shù)據(jù)序列的建模提供了多種選擇，并開辟了如何利用函數(shù)來構造緩沖算子的新方向，進一步研究正在進行中。

[1]劉思峰.沖擊擾動系統(tǒng)預測陷阱與緩沖算子[J].華中理工大學學報，1997，25(1)：25-27.

[2]Liu Sifeng.The three axioms of buffer operator and their application[J].The Journal of Grey System，1991，3(1)： 39-48.

[3]劉思峰，黨耀國，方志耕，灰色系統(tǒng)理論及其應用(第三版)[M].北京：科學出版社，2004.

[4]黨耀國，劉思峰，劉斌，唐學文，關于弱化緩沖算子的研究[J].中國管理科學，2004，12(2)：108-111.

[5]黨耀國，劉斌，關葉青，關于強化緩沖算子的研究[J].控制與決策，2005，20(12)：1332-1336.

[6]黨耀國，劉思峰，米傳民.強化緩沖算子性質(zhì)的研究[J].控制與決策，2007，22(7)：730-734.

[7]關葉青，劉思峰.基于不動點的強化緩沖算子序列及其應用[J].控制與決策，2007，22(10)：1189-1192.

[8]Wu Zhengpeng ，Liu Si-feng ，Mi Chuan-min.Study on the strengthening buffer operators based on the strictly monotone function[J].Journal of Grey System，2008，11(2)：113-118.

StudyontheStrengtheningBufferOperatorBasedontheStrictlyMonotoneFunction

LIU Zhi-gang，ZHANG You-ping，WU Zheng-peng

( College of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)

Based on the present theories of buffer operators，We propose in this paper several kinds of buffer operators based on the strictly monotone function，which all have the universality and practicability. we prove them to be strengthening buffer operators . The problem of some contradictions between qualitative analysis and quantiative forecast in pretreatment for vibration data sequences is resolved effectively.

strengthening buffer operator；grey system

2012-10-24

劉志剛(1989-)，男(漢族)，山東濰坊人，中國傳媒大學碩士.E-mail：liuzhigang@cuc.edu.cn

F830

A

1673-4793(2013)01-0052-05

(責任編輯：王謙)