耿雪萍，金渝光

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)

回歸點(diǎn)、非游蕩點(diǎn)、終于周期點(diǎn)和幾乎周期點(diǎn)的概念都是由周期點(diǎn)的概念推廣得到的，它們是動(dòng)力系統(tǒng)中的重要概念.2011年孫長(zhǎng)嶺在文獻(xiàn)［1］中討論了在一般拓?fù)淇臻g或序列緊拓?fù)淇臻g中，周期點(diǎn)集、鏈回歸點(diǎn)集和ω-極限點(diǎn)集是閉集且是強(qiáng)不變閉集.此處進(jìn)一步證明在拓?fù)淇臻gX中，f是同胚的，f(R(f))=R(f);f(Ω(f))=Ω(f);f(EP(f))=EP(f)f(AP(f))=AP(f)是成立的.

1 有關(guān)定義和引理

恒設(shè)X是拓?fù)淇臻g，f:X→X同胚，x∈X.

定義1［2］x∈X稱為f的周期點(diǎn)，如果存在整數(shù)n＞0，使得fn(x)=x，周期點(diǎn)的集合記為P(f).

定義2［2］x∈X稱為f的回歸點(diǎn)，如果對(duì)于x的任意領(lǐng)域U，存在整數(shù)n＞0，使得fn(x)∈U，回歸點(diǎn)的集合記為R(f).

定義3［2］x∈X稱為f的非游蕩點(diǎn)，如果對(duì)于x的任意領(lǐng)域U，存在整數(shù)n＞0，使得fn(U)∩U≠?，非游蕩點(diǎn)的集合記為Ω(f)，x的領(lǐng)域的集合記為Ux.

定義4［4］x∈X稱為f的終于周期點(diǎn)，如果?n＞0，使得fn(x)∈P(f)，終于周期點(diǎn)的集合記為EP(f).

定義5［2］x∈X稱為f的幾乎周期點(diǎn)，如果對(duì)于x的任意領(lǐng)域U，?N＞0，使得在連接著的N個(gè)數(shù)中總有某一個(gè)n適合fn(x)∈U，幾乎周期點(diǎn)的集合記為AP(f).

定義6［2］Λ?X 稱為 f的(強(qiáng))不變集，如果 f(Λ)?Λ(f(Λ)=Λ).

引理1［3］設(shè)X是拓?fù)淇臻g，f:X→X同胚，則f(P(f))?P(f).

2 命題

命題1 設(shè)X是拓?fù)淇臻g，f:X→X同胚，則Ω(f)=Ω(f－1).

證明 (1)先證 Ω(f－1)?Ω(f).

?x∈Ω(f－1)，由定義 3 得，?U∈Ux，?n ＞0，(f－1)n(U)∩U≠?，即 f－n(U)∩U≠?.于是?y∈f－n(U)∩U，則y∈f－n(U)且y∈U，即有fn(y)∈U 且fn(y)∈fn(U).從而fn(y)∈fn(U)∩U，故fn(U)∩U≠?，因此 x∈Ω(f).又由 x的任意性得，Ω(f－1)?Ω(f).

(2)再證 Ω(f)?Ω(f－1).

?x∈Ω(f)，由定義3 得，?U∈Ux，?n ＞0，fn(U)∩U≠?.于是?y∈fn(U)∩U，則 y∈fn(U)且 y∈U，又由 f同胚，則有 f－n(y)∈U 且 f－n(y)∈f－n(U).從而 f－n(y)∈f－n(U)∩U，故 f－n(U)∩U≠?，因此 x∈Ω(f－1).又由 x的任意性得，Ω(f)?Ω(f－1).

綜上所述，Ω(f)=Ω(f－1).

3 定理及證明

定理1 設(shè)X是拓?fù)淇臻g，f:X→X同胚，則R(f)是強(qiáng)不變集.

證明 要證R(f)是強(qiáng)不變集，即證f(R(f))=R(f).

(1)先證f(R(f))?R(f).

?y∈f(R(f))，則存在 x∈R(f)，使得 f(x)=y.?U∈Ux，由于 f是連續(xù)的，則 V=f(U)∈Uf(x).又因?yàn)?x∈R(f)，由定義2得，?U∈Ux，存在整數(shù) n＞0，使得 fn(x)∈U.因此對(duì)上述 n＞0，有 f°fn(x)∈Uf(x)，即 fn(f(x))∈Uf(x)，即有 fn(y)∈Uy，所以 y∈R(f).又由 y 的任意性得，f(R(f))?R(f).

(2)再證R(f)?f(R(f)).

?x∈R(f)，因?yàn)?f是同胚的，所以 f－1連續(xù)，則?U∈Ux，有 V=f－1(U)∈Uf－1(x).又因?yàn)?x∈R(f)，由定義2 得，?U∈Ux，?n ＞0，使得 fn(x)∈Ux.于是對(duì)上述?n ＞0，有 f－1(fn(x))∈Uf－1(x)，即 fn(f－1(x))∈Uf－1(x)，則f－1(x)∈R(f)，得 x∈f(R(f)).又由 x 的任意性得，R(f)?f(R(f)).

綜上所述，f(R(f))=R(f)，即R(f)是強(qiáng)不變集.

定理2 設(shè)X是拓?fù)淇臻g，f:X→X同胚，則Ω(f)是強(qiáng)不變集.

證明 要證Ω(f)是強(qiáng)不變集，即證f(Ω(f))=Ω(f).

(1)先證 f(Ω(f))?Ω(f).

?y∈f(Ω(f))，則存在 x∈Ω(f)，使得 f(x)=y.?U∈Uf(x)，V=f－1(U)∈Ux.又因?yàn)?x∈Ω(f)，由定義 3得，存在整數(shù)n＞0，使得fn(V)∩V≠?，從而

故f(x)=y∈Ω(f).又由y的任意性得f(Ω(f))?Ω(f).

(2)再證 Ω(f)?f(Ω(f)).

?y∈f－1(Ω(f－1))，則存在 x∈Ω(f－1)，使得 f－1(x)=y.?U∈Uf－1(x)，V=f(U)∈Ux.又因?yàn)?x∈Ω(f－1)，由定義3 得，存在整數(shù) n ＞0，使得 f－n(V)∩V≠?，從而

故 y=f－1(x)∈Ω(f－1)，由 y 的任意性得 f－1(Ω(f－1))?Ω(f－1)，由命題 1 得 f－1(Ω(f))?Ω(f)，所以Ω(f)?f(Ω(f)).

綜上所述，f(Ω(f))=Ω(f)，即Ω(f)是強(qiáng)不變集.

定理3 設(shè)X是拓?fù)淇臻g，f:X→X同胚，則EP(f)是強(qiáng)不變集.

證明 要證EP(f)是強(qiáng)不變集，即證f(EP(f))=EP(f).

(1)先證f(EP(f))?EP(f).

?x∈f(EP(f))，則存在 y∈EP(f)，使得 f(y)=x.因?yàn)?y∈EP(f)，由定義 4 得，?n ＞0，使得 fn(y)∈P(f).由f連續(xù)與引理1得，f°fn(y)∈f(P(f))?P(f)，即 fn(x)∈P(f).于是對(duì)上述的 n＞0，有 fn(x)∈P(f).從而x∈EP(f).又由x的任意性得，f(EP(f))?EP(f).

(2)再證EP(f)?f(EP(f)).

?x∈EP(f)，由定義4得，?n＞0，使得 fn(x)=z∈P(f).因?yàn)?z∈P(f)，由定義1得，存在整數(shù) N ＞0，使得 fN(z)=z.從而 f－1(fN(z))=fN(f－1(z))=f－1(z)，故 f－1(z)∈P(f).于是對(duì)上述的 n ＞ 0，f－1(z)=f－1(fn(x))=fn(f－1(x))∈P(f)，則 f－1(x)∈EP(f)，因此 x∈f(EP(f)).又由 x 的任意性得，EP(f)?f(EP(f)).

綜上所述，f(EP(f))=EP(f)，即EP(f)是強(qiáng)不變集.

定理4 設(shè)X是拓?fù)淇臻g，f:X→X同胚，則AP(f)是強(qiáng)不變集.

證明 要證AP(f)是強(qiáng)不變集，即證f(AP(f))=AP(f).

(1)先證f(AP(f))?AP(f).

?x∈f(AP(f))，則存在 y∈AP(f)，使得 f(y)=x.?ε ＞0，?y1∈Uy，由 f連續(xù)得，f(y1)∈Uf(y)=Ux.又因?yàn)閥∈AP(f)，由定義5得，對(duì)于?U∈Uy，?N＞0，使得在連接著的N個(gè)數(shù)中總有某一個(gè)n適合fn(y)∈Uy.因此 f°fn(y)∈Ux，即 fn(f(y))=fn(x)∈Ux，所以 x∈AP(f).又由 x 的任意性得，f(AP(f))?AP(f).

(2)再證AP(f)?f(AP(f)).

?x∈AP(f)，?N＞0，使得在連接著的N個(gè)數(shù)中總有某一個(gè)n適合fn(x)∈Ux.?ε＞0，?y∈Ux，由f同胚得，f－1連續(xù)，則 f－1(x)∈Uy.因此 f－1(fn(x))=fn(f－1(x))∈Uy=Uf－1(x)，則有 f－1(x)∈AP(f)，所以 x∈f(AP(f)).又由x的任意性得，AP(f)?f(AP(f)).

綜上所述，f(AP(f))=AP(f)，即AP(f)是強(qiáng)不變集.

［1］孫長(zhǎng)嶺.關(guān)于拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中的閉集和強(qiáng)不變閉集［J］.綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，30(5):16-18

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