曾 靜，程珍珍，耿立剛

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400067)

0 引言

設(shè)f(x)是定義在［a，b］上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，I是一定數(shù).若任意給定的ε＞0，存在σ＞0，對(duì)任意的分法a=x0＜x1＜ … ＜xn－1＜xn=b，不論點(diǎn) ξi在小區(qū)間［xi－1，xi］中如何選取，只要 λ =max{Δx1，Δx2，…，Δxn}＜ δ，就有＜ ε，則稱 I是 f(x)在［a，b］上的定積分［1］，記為

值得注意的是定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與區(qū)間的劃分方法以及點(diǎn)ξi的選取方法無(wú)關(guān)［2］.正因?yàn)檫@個(gè)特性，在劃分區(qū)間以及選取點(diǎn)ξi時(shí)，選取一些特殊而恰當(dāng)?shù)姆绞?，可以幫助求解一些關(guān)于定積分的證明以及一些復(fù)雜的求極限問(wèn)題［3］.

1 定積分定義在證明中的應(yīng)用

在定積分定義的區(qū)間劃分方式中，選擇等分區(qū)間，選取點(diǎn)ξi時(shí)，選擇小區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)，可以幫助求解一些關(guān)于定積分的證明題.

例 1 求證若 f(x)∈R［0，1］，f(x)≥a ＞0，則

證明 取Pn為區(qū)間［0，1］的一個(gè)劃分，}，它將［0，1］劃分成n個(gè)等份小區(qū)間，故每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都是，區(qū)間長(zhǎng)度最大值為λ=要使 λ →0，則n →∞.在區(qū)間［xi－1，xi］中選取點(diǎn) ξi=xi，則有

2 定積分定義在求極限中的應(yīng)用

定積分是通過(guò)極限定義的，反過(guò)來(lái)一些求極限的問(wèn)題也常常通過(guò)定積分來(lái)求解.求解過(guò)程中，也常常利用定積分定義中區(qū)間劃分及點(diǎn)ξi選取的任意性這一特性.

3 小結(jié)

在定積分的學(xué)習(xí)過(guò)程中，充分理解和掌握定積分定義中區(qū)間的劃分方法、以及點(diǎn)ξi的選取方法與定積分值無(wú)關(guān)這一特性，將有助于證明一些關(guān)于定積分的復(fù)雜證明題.同時(shí)，逆向思考極限與定積分定義之間關(guān)系，有利于求解一些復(fù)雜的求極限問(wèn)題.總之，在學(xué)習(xí)新概念的時(shí)候，必須深刻理解新概念的精髓和本質(zhì)，這樣才能做到活學(xué)活用.

［1］歐陽(yáng)光中，朱學(xué)炎，金福臨，陳傳璋.數(shù)學(xué)分析［M］.3版.北京:高等教育出版社，2007

［2］鄧樂(lè)斌.數(shù)學(xué)分析的理論、方法與技巧［M］.武漢:華中科技大學(xué)出版社，2005

［3］李煥榮，宋證遠(yuǎn).關(guān)于復(fù)合型數(shù)值求積公式的幾點(diǎn)注記［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，29(3):51-54