宋 燕，周 晶，張 宇

（渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013）

0 引言與模型

傳染病的存在是一種非常普遍的現(xiàn)象，對(duì)傳染病傳播規(guī)律的研究關(guān)系到國計(jì)民生。利用動(dòng)力學(xué)方法建立傳染病的數(shù)學(xué)模型，并通過數(shù)學(xué)模型對(duì)傳染病進(jìn)行定性與定量的分析和研究已取得了很多成果，這些成果主要集中在判定、預(yù)測(cè)疾病的發(fā)展趨勢(shì)上，從而采取措施對(duì)疾病進(jìn)行控制，參見文獻(xiàn)［1－6］。然而，疾病可以在不同的種群之間傳播，研究疾病在相互作用種群之間的傳播規(guī)律，是種群生態(tài)學(xué)與傳染病動(dòng)力學(xué)的一種結(jié)合。文獻(xiàn)［7］研究了疾病只在食餌中傳播的生態(tài)－流行病模型，得到了疾病是否流行的閾值條件。文獻(xiàn)［8－10］研究了捕食者有病的生態(tài)－流行病（SI）模型，研究了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

文章研究捕食者和食餌均有密度制約，捕食者具有傳染病，染病的捕食者不能捕食且染病捕食者染病之后可以恢復(fù)的生態(tài)－流行病（SIS）模型，模型如下：

其中S（t），I（t）表示t時(shí)刻捕食者種群易感者、染病者的數(shù)量，X（t）表示t時(shí)刻食餌的數(shù)量，r1為捕食系數(shù)，K1、K2分別為環(huán)境對(duì)食餌及捕食者的最大容量，r0為捕食者的內(nèi)稟增長率，a0為食餌的內(nèi)稟增長率，t1為轉(zhuǎn)化系數(shù)，β為傳染率系數(shù)，b1為染病者的恢復(fù)率系數(shù)，d1為染病者的死亡率（包括自然死亡率和因病死亡率），τ為時(shí)間變量，系統(tǒng)中各系數(shù)均為正數(shù)。

1 平衡點(diǎn)的存在性及解的有界性

定 理 1 系 統(tǒng) （2）總 存 在 無 病 平 衡 點(diǎn)E0（0，0，0），E1（1，0，0），E2（0，1，0），E3時(shí)，系統(tǒng)（2）存在地方病平衡點(diǎn)當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)（2）存在平衡點(diǎn)及地方病平衡點(diǎn)E5（x＊，s＊，i＊），其中：

為討論解的有界性，引入引理1［11］。

引理1 在系統(tǒng)N′＝NF（N）中，如果函數(shù)F（N）滿足條件：?。┯形ㄒ坏恼胶恻c(diǎn)N＊，即存在N＊＞0，使F（N＊）＝0；ⅱ）當(dāng)0＜N＜N＊時(shí)，有F（N）＞0；ⅲ）當(dāng)N＞N＊時(shí)，有F（N）＜0，則平衡點(diǎn)N＊是全局穩(wěn)定的。

定理2 系統(tǒng)（2）的滿足初始條件（x（0），s（0），i（0））∈R3＋的所有正解是一致最終有界的。

證明 由系統(tǒng)（2）的第一個(gè)方程知x′≤ax（1－x），作輔助方程

由引理1知，對(duì)任意的ε，存在T，當(dāng)t＞T時(shí)，有1－ε＜y（t）＜1＋ε。根據(jù)比較定理，存在T，當(dāng)t＞T時(shí)，x（t）≤y（t）＜1＋ε。取V（t）＝x（t）＋s（t）＋i（t），當(dāng)t＞T時(shí)，沿系統(tǒng)（2）的軌線對(duì)V（t）求全導(dǎo)數(shù)，有

作輔助比較方程

解之得

根據(jù)比較定理知

故存在M1及T′＞T，當(dāng)t＞T′時(shí)，有V（t）＝x（t）＋s（t）＋i（t）≤M1。又因?yàn)閤（t）≥0，s（t）≥0，i（t）≥0，從而滿足初始條件（x（0），s（0），i（0））∈R3＋的正解是有界的。

2 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理3 系統(tǒng)（2）的無病平衡點(diǎn)E0，E1，E2是不穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，無病平衡點(diǎn)E3是全局漸近穩(wěn)定的，當(dāng)R＞1時(shí)，E3是不穩(wěn)定的。

證明 系統(tǒng)（2）的Jacobian矩陣為

系統(tǒng)（2）在E0處的Jacobian矩陣為

其特征根為λ1＝a，λ2＝r，λ3＝－（b＋d），有正的特征根，故E0不穩(wěn)定。

同理，E1，E2也是不穩(wěn)定的。

系統(tǒng)（2）在E3處的Jacobian矩陣為

所以λ1＜0，λ2＜0，從而當(dāng)R≤1時(shí)，J（E3）特征根的實(shí)部均為非正，故E3是局部穩(wěn)定的。當(dāng)R＞1時(shí)，E3是不穩(wěn)定的。

｛V′（t）＝0｝＝｛（，0）｝，故E3是V′（t）＝0的最大不變集，由LaSalle不變集原理得到E3是吸引的，從而E3是全局漸近穩(wěn)定的。

3 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理5 當(dāng)R＞1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E5（x＊，s＊，i＊）是全局漸近穩(wěn)定的。

證明 當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)（2）除了地方病平衡點(diǎn)E5外，還存在平衡點(diǎn)E4，易證這時(shí)E4是不穩(wěn)定的，因此下面只討論地方病平衡點(diǎn)E5的穩(wěn)定性。

系統(tǒng)（2）在E5處的Jacobian矩陣為

經(jīng)計(jì)算可知H1＝a1＞0，H2＝a1a2－a3＞0，H3＝a3H2＞0，由 Hurwitz判據(jù)知，矩陣J（E5）的特征根的實(shí)部均為負(fù)的，所以地方病平衡點(diǎn)E5是局部漸近穩(wěn)定的。

取Lyapunov函數(shù)

當(dāng)且僅當(dāng)x＝x＊，s＝s＊時(shí)，V′（t）＝0，這時(shí)i＝i＊，故由LaSalle不變集原理得到E5是全局漸近穩(wěn)定的。

4 結(jié) 論

由上述討論可知，在所討論的模型中，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)E0，E1，E2存在，但是不穩(wěn)定。當(dāng)a＞m時(shí)，亦即食餌的內(nèi)稟增長率大于捕食系數(shù)時(shí)，系統(tǒng)存在無病平衡點(diǎn)E3，且當(dāng)閾值R≤1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E3是全局漸近穩(wěn)定的，即疾病將逐漸消亡；當(dāng)a＞m及R＞1時(shí)，系統(tǒng)存在地方病平衡點(diǎn)E5，且E5是全局漸近穩(wěn)定的，即疾病流行，逐漸變?yōu)榈胤讲　?/p>

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