安 博

(渭南師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院，陜西渭南714000)

基爾霍夫衍射理論［1］借助數(shù)學(xué)中的格林定理求解亥姆霍茲方程得出.

格林定理［2］G，u為坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)任意復(fù)函數(shù)，S為包圍空間某體積V的封閉曲面.若u，G以及它們的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)在S面內(nèi)和面上都是單值連續(xù)的，則有:

設(shè)光場(chǎng)的光振動(dòng)為u(p，t)，p點(diǎn)為觀察點(diǎn)，亥姆霍茲方程為:

只要選取合適的格林函數(shù)G，就可由格林定理和亥姆霍茲方程求出u(p).

1 基爾霍夫衍射理論的不自洽性

基爾霍夫選格林函數(shù)G(P0)為由P點(diǎn)向外發(fā)散的單位振幅的球面波，S面為包圍觀察點(diǎn)P的任意封閉曲面，在任意點(diǎn)P0上G的表示為:

r為觀察點(diǎn)P到P0的距離，為了排除P點(diǎn)的不連續(xù)性，必須把P點(diǎn)從討論的V內(nèi)“挖出”，這樣G才能滿足格林定理的要求.為此我們作一以P點(diǎn)為中心，半徑為ε的小球面Sε，由格林定理和亥姆霍茲方程得到

(3)式稱為基爾霍夫積分公式.但由于邊界條件的不可知性，其實(shí)用性也受到了限制［3］.

研究無(wú)限大不透明平面上的小孔Σ所引起的衍射問(wèn)題時(shí)，(3)式可以化簡(jiǎn)為:

S1表示緊靠屏幕后的平面.要從(4)式中求出u(p)需要對(duì)邊界條件作如下假設(shè):

(1)在Σ上各點(diǎn)，u和?u/?n的分布與屏不存在同時(shí)相同，即完全由入射光波在這里的光場(chǎng)決定;

(2)在不透明的屏表面上各點(diǎn)，u和?u/?n都等于0.

這時(shí)(4)式可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為:

(5)式表明，光波穿過(guò)具有透光孔Σ的無(wú)限大屏后，屏后空間任意點(diǎn)p的光波復(fù)振幅u(p)可以由孔上Σ的光場(chǎng)復(fù)振幅u(p0)及其法線方向的偏導(dǎo)數(shù)來(lái)表示.

雖然基爾霍夫衍射積分公式對(duì)于一般的衍射問(wèn)題可以給出與實(shí)際符合得非常好的結(jié)果，但是，基爾霍夫理論本身存在明顯的不自洽性［4］.基爾霍夫邊界條件明確指出［1］，在屏后光場(chǎng)的復(fù)振幅及其法向?qū)?shù)均為0，但由電動(dòng)力學(xué)中場(chǎng)論的基本原理可以證明，如果波動(dòng)方程的一個(gè)解在任意非無(wú)限小的面元上光場(chǎng)的復(fù)振幅和它的法向?qū)?shù)都為0，則這個(gè)解在整個(gè)空間都為0，這個(gè)結(jié)論與實(shí)際情況相矛盾.

2 對(duì)基爾霍夫衍射理論不自洽性的修正

基爾霍夫衍射理論能夠給出與實(shí)驗(yàn)符合較好的結(jié)果，但理論本身存在嚴(yán)重的不自洽性.而基爾霍夫衍射理論的不自洽性主要來(lái)自于同時(shí)對(duì)邊界上光場(chǎng)的復(fù)振幅及其法向?qū)?shù)施加邊界條件.為了克服基爾霍夫理論的不自洽性，可以通過(guò)提出格林函數(shù)的另一種選擇的方法，使得不必同時(shí)對(duì)邊界上光場(chǎng)的復(fù)振幅及其法向?qū)?shù)施加邊界條件，從而克服了基爾霍夫理論本身的不自洽性［5］.

選擇一種新的格林函數(shù)

對(duì)于無(wú)限大不透明屏上一個(gè)小孔的衍射問(wèn)題，格林函數(shù)由p點(diǎn)和p'點(diǎn)的函數(shù)共同產(chǎn)生.

代入格林定理和亥姆霍茲方程，得到:

因此只需在積分面上對(duì)u(p0)施加邊界條件:

(1)屏后表面的u處處為0;

(2)孔Σ上的u與沒(méi)有衍射屏?xí)r相同.

于是(9)式簡(jiǎn)化為:

G也可以有另一種選擇方式:

此式由兩個(gè)振動(dòng)同向的格林函數(shù)線性組合而成，除此以外與G無(wú)異.對(duì)于無(wú)限大不透光屏上的小孔衍射，由格林定理和亥姆霍茲方程得到:

施加邊界條件:

與無(wú)屏相同.

此時(shí)僅u的導(dǎo)數(shù)消除了不自洽性:

3 修正后的基爾霍夫衍射理論對(duì)雙縫衍射的應(yīng)用

假如衍射孔徑位于x0y0平面，觀察點(diǎn)位于xy平面，觀察平面與孔徑平面的距離為z遠(yuǎn)大于孔徑線度，單位振幅的平行光垂直入射衍射孔徑，孔徑上光場(chǎng)分布為

在傍軸近似下

把(13)(14)式代入(10)式得:

在傍軸近似下(10)式分母中r≈z.觀察面上光強(qiáng)分布為

這也正是基爾霍夫衍射理論應(yīng)用于雙縫衍射的結(jié)果.

4 結(jié)語(yǔ)

［1］Born M，Wolf E.Principles of Optics［M］.London:Cambridge University Press，1999.430.

［2］郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，1997.101.

［3］鄧小玖，高峰，劉彩霞，等.標(biāo)量衍射理論的非傍軸近似及其有效性［J］.光子學(xué)報(bào)，2006，35(6):898.

［4］梅妍.衍射理論中的佯謬［J］.遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1996，19(1):36－39.

［5］劉春香，程傳福，任曉榮，等.隨機(jī)表面散射光場(chǎng)的格林函數(shù)法與基爾霍夫近似的比較［J］.物理學(xué)報(bào)，2004，53(2):427－435.