陳向陽

（黃山學院 生命與環(huán)境科學學院，安徽 黃山245041）

1 引 言

學生學習成績是衡量學生學習情況的重要指標，是教師教學效果的重要反映。[1]如何準確、客觀、全面、科學地評價學生的學業(yè)綜合成績對學生和教師都是非常重要的。目前大部分高校主要采用總平均學分績點或平均分作為評價學生綜合成績的手段，但方法能否全面反映學生的綜合成績，這個問題一直讓許多高校和學者產(chǎn)生疑問，本文采用主成分分析法來對學生成績進行科學的評價和學科間具體的優(yōu)勢、劣勢的度量。[2]

2 主成分分析法

2.1 主成分分析法

主成分分析是把多個指標化為少數(shù)幾個綜合指標的一種統(tǒng)計方法，去解釋原來資料中的大部分變異。在實際問題研究中，為了全面、系統(tǒng)地分析問題，往往要考慮眾多影響因素，這些涉及的因素一般稱為指標或者變量。因為每個變量都在不同程度上反映了所研究問題的某些信息，并且變量之間彼此也存在一定的相關性，即所得的統(tǒng)計數(shù)據(jù)反映的信息在一定程度上會有重疊。因此，人們會很自然地想到，能否在相關分析的基礎上，用較少的新變量代替原來較多的變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來變量所反映的信息？主成分分析法就能解決這一問題，即在眾多的因素中不損失或很少損失原有信息的基礎上，將原始的多個彼此存在相關性的變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個彼此不相關或彼此獨立的，能綜合評價學生成績的一種多因素方法。從數(shù)學角度來看，這是一種降維處理技術(shù)。[3]

2.2 主成分分析法的步驟

1.建立觀測數(shù)據(jù)矩陣。設有n 個樣本，每個樣本有m 個指標：x1，x2，…，xm，將所有樣本寫成矩陣形式記為X=(xij)n×m

2.對原始數(shù)據(jù)進行標準化處理，得

式中xij——原始數(shù)據(jù)；

x′ij——標準化后的數(shù)據(jù)；

n—樣本容量；

m—指標變量數(shù)。標準化后的數(shù)據(jù)矩陣仍然記為X=(xij)n×m。

3.計算相關系數(shù)矩陣R=(rij)n×m的特征值λ 與對應的特征向量αj(j=1,2,…,m)。

4.計算主成分載荷lij，即主成分中xi的系數(shù)lij=。

5.依據(jù)特征值和累積貢獻率確定所需主成分的個數(shù)p，使p 滿足：

6.計算得出主成分分值，解釋主成分含義，對影響學生公共必修課和專業(yè)必修課成績的諸多因素進行分析和評價。[4]

3 結(jié)果與分析

以黃山學院生命與環(huán)境科學學院生物科學專業(yè)09 級學生在大一-大三的3 學年的考試課成績?yōu)槔?，運用主成分分析法對學生的綜合學習效果和綜合能力進行評價。該班總共有78 名學生，隨機抽取25 名同學的考試科目成績作為樣本，即研究對象。該專業(yè)3年總共開設了30 多門課程，經(jīng)過生物科學專業(yè)視角的初步遴選，確定以15 門主干課程成績作為指標（或稱變量），所選課程為B1（大學體育）、B2（大學物理）、B3（C 語言程序設計）、B4（馬克思主義基本原理概論）、B5（大學英語）、B6（高等數(shù)學）、B7（有機化學）、B8（動物學）、B9（植物學）、B10（生物化學）、B11（微生物學）、B12（細胞生物學）、B13（遺傳學）、B14（植物生理學）、B15（分子生物學），其中B1-B6為公共必修課，B7-B15為專業(yè)必修課，以上15 門課程對應的成績用x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11、x12、x13、x14、x15來表示，這樣即可得到一個25×15 的數(shù)據(jù)矩陣，使用DPS 進行主成分分析可得到相關系數(shù)矩陣、特征值及貢獻率表以及主成分的特征向量與相應的載荷值表，見表1-表3。

由表1 可以看出，在被進行統(tǒng)計的15 門課程中，有14 門課程成績間的相關系數(shù)為正值，即正相關，只有大學體育與多門課程之間的相關系數(shù)為負值，即負相關，并且多數(shù)課程之間的相關系數(shù)都達到了顯著或極顯著，這表示多數(shù)課程成績間具有較強的可比性，即某門課程的成績高低，可由另外一門課程成績的高低分布規(guī)律大致推斷。以有機化學（B7）和分子生物學（B15）為例，二者之間的相關系數(shù)最高（0.827），這表明有機化學掌握較好的同學，其分子生物學掌握的也較好。此外，對于生物科學專業(yè)開設的公共必修課和專業(yè)必修課對大學物理（B2）的依賴性較重，而高等數(shù)學（B6）和有機化學（B7）與絕大多數(shù)課程的相關系數(shù)都在0.4 以上，這充分地說明了在大學一年級時學好這兩門課對生物科學專業(yè)本科生具有重要的影響。動物學（B8）、植物學（B9）和生物化學（B10）與所有的專業(yè)必修課之間的相關系數(shù)都在0.4 以上，達到了顯著相關，這3 門課程也是生物類專業(yè)重要的專業(yè)基礎課，這有力地驗證了學好這3 門課程對專業(yè)知識的掌握至關重要。大學體育（B1）與多數(shù)課程的相關系數(shù)較小，甚至與多數(shù)課程出現(xiàn)了負相關，這可能是課程性質(zhì)的緣故，這就要求教師合理引導學生轉(zhuǎn)變思維方式，尤其是班級輔導員要在這方面進行充分分析，更加重視大學體育。

表1 公共必修課指標間相關系數(shù)

由表2 可以看出，前第一主成分的方差貢獻率高達53.410%，即第一主成分可以反映原指標53.410%的信息量，表示第一主成分承載了學生成績的主要綜合信息。前5 個主成分的累積方差貢獻率以高達82.935%，若按照80%的判斷標準，只需選取前5 個主成分就可以代表原來15 個指標所包含信息量的82.935%。

表2 主成分的特征值、方差貢獻率和累計貢獻率

表3 給出了前5 個主成分的特征向量和相應的載荷值。第一主成分對應的特征向量和載荷值均為正值，數(shù)值上也相差較小，即第一主成分可以反映學生的綜合學習成績。第一主成分在有機化學、動物學、植物學和植物生理學專業(yè)基礎課程上的載荷值較大，可以認為這4 門課程在第一主成分中起作用較大，因此在大一和大二這幾門課學得怎樣就直接影響學生的綜合專業(yè)素質(zhì)。第二主成分的方差貢獻率只有9.832%，且在各門課程上的載荷值有正有負，在評價學生綜合成績?nèi)菀讓Y(jié)果產(chǎn)生偏差，剩下的3 個主成分與第二主成分的情況類似，因此直接可以利用第一主成分對學生綜合成績進行合理的評價。依據(jù)表3 可以計算25 名學生的選定數(shù)量主成分上的得分。

表3 5 個主成分的特征向量和相應的載荷值

第一主成分：

y1=0.007x1+0.287x2+0.228x3+0.211xx4+0.240x5+0.237x6+0.299x7+0.303x8+0.313x9+0.262x10+0.235x11+0.219x12+0.277x13+0.310x14+0.289x15

以此類推，通過表3 還可以寫出其余4 個主成分的得分表達式。對于學習綜合成績的優(yōu)劣也可以通過綜合評價得分體現(xiàn)，其表達式為：

Y=8.011y1+1.475y2+1.157y3+0.986y4+0.811y5

將學生成績標準化后的數(shù)據(jù)代入y1、y2、y3、y4、y5和Y的表達式中，就可以得到每位同學的主成分得分、綜合得分，進而對25 同學3年來的學習效果進行綜合排序（表4）。從表4 可以看出，第一主成分得分給出的排名與5 個主成分的綜合得分提供的排名十分接近，平均分排名與主成分得分排名差距較大。從表4 中每名同學的綜合成績得分、總成績平均分以及在5 個主成分方面的得分情況，可以進一步判斷學生在綜合素質(zhì)和學科上的優(yōu)劣。

表4 綜合排序

4 結(jié) 論

學生成績可以反映學生的學習能力和綜合素質(zhì)，但是通過15 門課程來評價學生的學習能力又是一個復雜的問題，本文采用主成分分析的思想與實際教學情況相結(jié)合，從枯燥的各科目成績中挖掘出很多信息，如各門課程成績之間具有較強的相關性，學好后續(xù)專業(yè)必修課對動物學、植物學和生物化學等科目的依賴性，高等數(shù)學作為公共必修課對專業(yè)課學習的基礎性作用，如何從主成分得分情況客觀綜合評價每位學生，體育課與理論課的關系該如何處理，等。

本文只是選擇公共必修課和專業(yè)必修課進行統(tǒng)計分析，沒有考慮公共選修課、專業(yè)限選課對學生學習成績的影響，可能在分析綜合成績方面存在偏差。但是通過以上的數(shù)據(jù)分析，還是能發(fā)現(xiàn)教學的一些規(guī)律，旨在為生物科學專業(yè)教育教學改革提供科學的方法和理論依據(jù)。

[1]宮一博，魏軍．多元統(tǒng)計分析在體育成績評價中的應用[J]．吉林師范大學學報，2011，（2）：149-151．

[2]陳忠維，惠淑榮，董建國．主成分分析法在專業(yè)基礎課成績分析中的應用[J]．高等農(nóng)業(yè)教育，2011，（6）：42-44．

[3]唐啟義．實用統(tǒng)計分析及其DPS 數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)[M]．北京：科學出版社，2009：761-771．

[4]羅雙華，王芬玲．多元統(tǒng)計在研究專業(yè)課成績影響因素中的應用[J]．桂林電子工業(yè)學院學報，2005,25，（2）：41-44．