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        旋轉(zhuǎn)對稱布爾函數(shù)線性結(jié)構(gòu)的2個公開問題

        2013-10-29 08:25:16趙亞群李旭
        通信學(xué)報(bào) 2013年3期
        關(guān)鍵詞:單項(xiàng)式布爾代數(shù)

        趙亞群,李旭

        (1. 信息工程大學(xué) 四院,河南 鄭州 450002;2. 信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)工程與先進(jìn)計(jì)算國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河南 鄭州 450002)

        1 引言

        旋轉(zhuǎn)對稱布爾函數(shù)(RSBF, rotation symmetric boolean function)是一類具有特殊代數(shù)結(jié)構(gòu)的布爾函數(shù),由Pieprzyk和Qu[1]最先提出并應(yīng)用于散列算法中。由于其良好的結(jié)構(gòu)特性和在散列算法中廣泛的應(yīng)用,RSBF受到了極大的關(guān)注,RSBF的密碼學(xué)性質(zhì)一直是研究的熱點(diǎn)問題[2~6]。其中,線性結(jié)構(gòu)是度量布爾函數(shù)安全性的一個重要指標(biāo),具有非零線性結(jié)構(gòu)的布爾函數(shù)是密碼學(xué)中的一類“弱函數(shù)”。因此,研究RSBF的線性結(jié)構(gòu)對于密碼算法的安全性設(shè)計(jì)是很有意義的。

        Elsheh在文獻(xiàn)[7]中系統(tǒng)地研究了RSBF的線性結(jié)構(gòu),證明了 1n- 次RSBF不存在除全0和全1的線性結(jié)構(gòu),并提出了2個公開問題:對任意的 3n> ,n-1次偶變元平衡 RSBF和 n - 2次奇變元 RSBF均不存在非零線性結(jié)構(gòu)。當(dāng) n ≤ 1 0時,Elsheh通過計(jì)算機(jī)驗(yàn)證了這2個公開問題的正確性。在此基礎(chǔ)上,本文進(jìn)一步研究了RSBF的線性結(jié)構(gòu),完全證明了公開問題1,給出了公開問題2成立的充分條件以及不成立的必要條件。

        2 預(yù)備知識

        12n1x2,… ,xn)∈F2。記Bn為所有n變元布爾函數(shù)構(gòu)成的集合。

        任意一個 Bn中的布爾函數(shù) f ( x)都可以唯一地表示成 F2上的多變元多項(xiàng)式。

        其中,aI∈F2,式(1)稱為f( x)的代數(shù)正規(guī)型(ANF,algebraic normal form)。定義布爾函數(shù) f ( x)的代數(shù)次數(shù)deg f為ANF中系數(shù)非零次數(shù)最高的單項(xiàng)式次數(shù)。若deg f≤ 1,則稱 f ( x)為仿射函數(shù),An表示 Bn中的全體仿射函數(shù)。定義 f( x)∈ Bn的支撐集,那么 f ( x)的漢明重量表示集合M的元素個數(shù))。若wt( f) = 2n-1,則稱 f ( x)為平衡函數(shù)。對任意的x = (x1, x2, … , xn)∈,定義x的支撐集為 W S( x)=那么x的漢明重量 w t( x)=對任意的 I ? { 1, 2, … ,n } ,有

        關(guān)于彈性(相關(guān)免疫)函數(shù)的譜特征有如下定義。

        引理1[8]設(shè) f ( x)∈ Bn,f( x)具有m階彈性(相關(guān)免疫性),當(dāng)且僅當(dāng)對任意的 w ∈Fn且

        20 ≤ w t( w) ≤ m (1 ≤ w t( w) ≤ m )時,有 S(f)(w) = 0 。

        定義 2 設(shè) f ( x)∈ Bn,s∈,記Δsf( x)=f( x) ⊕ f ( x ⊕ s )。若對所有的 x ∈,都有Δf( x)=

        sΔsf ( 0)=常數(shù)(0或1),則稱s為 f ( x)的一個線性結(jié)構(gòu)。

        定義 3 設(shè) n為正整數(shù),對任意的 x = (x1,和0≤k≤n -1,定義,其中,

        3 2個關(guān)于RSBF線性結(jié)構(gòu)的公開問題

        首先,給出文獻(xiàn)[7]中關(guān)于RSBF的一些基本性質(zhì)。

        引理2 設(shè) f ( x)∈ Bn為RSBF,則有如下描述。

        1) 若 α ∈F2n為f( x)的一個線性結(jié)構(gòu),那么對任意的 β ∈Gn( α), β 仍為f( x)的線性結(jié)構(gòu)。

        2) 若deg f = n ,那么 f ( x)不存在非零線性結(jié)構(gòu)。

        3) 若deg f = n - 1 ,那么 f ( x)不存在除0和1以外的線性結(jié)構(gòu)。

        在文獻(xiàn)[7]的最后,Elsheh通過對n元RSBF的考察,提出了2個關(guān)于RSBF線性結(jié)構(gòu)的公開問題:對任意的 n > 3 ,1) 代數(shù)次數(shù)為 n -1的偶變元平衡RSBF不存在非零線性結(jié)構(gòu);2) 代數(shù)次數(shù)為 n - 2的奇變元RSBF不存在非零線性結(jié)構(gòu)。

        注:由于任意向量均為線性布爾函數(shù)的線性結(jié)構(gòu),因此,在討論布爾函數(shù)的線性結(jié)構(gòu)時,所涉及的布爾函數(shù)均默認(rèn)為非線性布爾函數(shù)。故文獻(xiàn)[7]提出的2個公開問題中,有 n > 3 的條件。

        首先,給出公開問題1的證明。

        引理 3[9]設(shè),那么(i=0或 1)的充分必要條件是對任意的 w ∈且ws= i⊕ 1,都有 S(f)(w)= 0 。

        引理4[9]設(shè) f ( x)∈ Bn具有m階相關(guān)免疫性,degf = k ,則k + m ≤ n 。若設(shè) f ( x) 是平衡的,且1≤m ≤ n -2,則 k +m≤n-1。

        定理1 設(shè) f ( x)∈ Bn為RSBF(n為偶數(shù)且n>3),若deg f = n -1, w t( f) = 2n-1,那么 f ( x)不存在非零線性結(jié)構(gòu)。

        證明 根據(jù)引理 2中的 3),只需證明 1不是f( x)的線性結(jié)構(gòu)。

        在討論公開問題2之前,先引入FP(fast point)的概念及其部分性質(zhì)。

        定義4[10]設(shè)< d eg f-1,則稱c為 f ( x)的一個FP。

        可見,非線性布爾函數(shù) f ( x)的任一線性結(jié)構(gòu)均為 f ( x)的一個FP。若c=0,則稱c為 f ( x)的平凡FP;否則,稱c為 f ( x)的非平凡FP。 f ( x)的全體FP構(gòu)成上的一個線性子空間,也就是說,若的2個FP,那么α⊕β仍為f( x)的FP。

        引理5[10]設(shè) f ( x)∈ Bn(n≥3),f( x)的ANF中只含有代數(shù)次數(shù)為 n - 2 的單項(xiàng)式,記其單項(xiàng)式的系數(shù)為存在Bn且 只含有n-2次 項(xiàng)}。對任意的f( x)∈F,f( x)有且只有3個非平凡FP,且其中任意的2個非平凡滿足:

        注:下文中出現(xiàn)的 ri,j均表示 n - 2 次單項(xiàng)式的系數(shù)。

        定理 2 設(shè) f ( x)∈ Bn,degf=k(k>1),令f( x) = g( x) ⊕ h ( x),其中, g ( x)為 f ( x)中所有代數(shù)次數(shù)為k的單項(xiàng)式之和,那么 f ( x)的任意非零線性結(jié)構(gòu)均為 g ( x)的非平凡FP。

        證明 deg f = d egg = k ,deg h ≤k-1。易知,對任意的,有

        設(shè) f(x) ∈ Bn為RSBF,degf = n - 2 ,令f( x) = g( x) ⊕ h ( x),其中, g ( x)為 f ( x)中所有代數(shù)次數(shù)為 n-2的單項(xiàng)式之和,那么 g ( x)和 h( x)均為RSBF,且deg g = n - 2 ,deg h ≤n-3。

        注:下文中出現(xiàn)的 g ( x)、 h ( x)和 f ( x)均具有如上關(guān)系。

        定理 3 設(shè) f ( x) ∈ Bn為RSBF(n為奇數(shù)且n> 3 ),若deg f = n - 2 ,那么:

        證明 首先,證明 1不是 f ( x)的線性結(jié)構(gòu)。g( x)為只含有代數(shù)次數(shù)為 n - 2 的單項(xiàng)式的RSBF,不妨設(shè) n - 2 次項(xiàng)出現(xiàn),又 n為奇數(shù),那么 n - 2 次項(xiàng)j≤n-1)均出現(xiàn),即r1+j,i+j=1 (0≤j≤n-1)。

        注:在不引起混淆的情況下,若i + j > n ,筆者仍然用i+ j表示(i+ j) modn。

        假設(shè)1是 f ( x)的線性結(jié)構(gòu),由定理2可知,1是 g ( x)的一個非平凡FP。由引理5可知 g ( x)存在其他2個非平凡FP,設(shè)其中的一個為 c ∈F2n,根據(jù)式(3)有

        2f( x)不存在非零線性結(jié)構(gòu)。

        n 1,1)k)={(0,1,1)k,(1,0,1)k,(1,1,0)k}。事實(shí)上,筆者知道,那么 α ∈Gn((0,0,1)k)或Gn((0,1,1)k)。若 α ∈Gn((0,0,1)k)={(0,0,1)k,(0,1,0)k, (1,0,0)k},有(0,0,1)k⊕ ( 0,1,0)k⊕ ( 1,0,0)k=1仍為 g ( x)的非平凡FP矛盾??芍?, α ∈Gn((1,0,0)k)不是f( x)的線性結(jié)構(gòu)。

        若 α ∈Gn((0,1,1)k)為f( x)的線性結(jié)構(gòu),那么Gn((0,1,1)k)為 g ( x)的非平凡 FP。根據(jù)式(3)可得:f( x)中代數(shù)次數(shù)為 n - 2 的單項(xiàng)式的系數(shù)滿足下式

        4 結(jié)束語

        本文利用了FP的一些性質(zhì),討論了文獻(xiàn)[7]提出的2個關(guān)于RSBF線性結(jié)構(gòu)的2個公開問題。非線性布爾函數(shù)的線性結(jié)構(gòu)必定為其FP,但布爾函數(shù)的非平凡 FP不一定是其非零線性結(jié)構(gòu)。討論線性結(jié)構(gòu)和FP之間的關(guān)系以及對公開問題2的完全證明將是下一步需要進(jìn)行的工作。

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