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        J-Boolean like環(huán)

        2013-10-28 06:34:19
        關(guān)鍵詞:杭州定義

        秦 蕊

        (杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州 310036)

        J-Boolean like環(huán)

        秦 蕊

        (杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州 310036)

        首先給出相關(guān)定義:

        定義1設(shè)D是一個(gè)環(huán),C是D的一個(gè)子環(huán),而且1D∈C,

        R[D,C]中加法和乘法分別定義為對(duì)應(yīng)分量的加法和乘法,則R[D,C]關(guān)于所定義的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán).

        定義2稱環(huán)R為Boolean-like環(huán),如果R是特征為2的交換環(huán)并且對(duì)所有a,b∈R都有ab(1-a)(1-b)=0.[3]

        下面把Boolean-like環(huán)推廣到一般結(jié)合環(huán)上,并引入一個(gè)新的定義:

        定義3如果對(duì)任意環(huán)R中元素a,b都有(a-a2)(b-b2)∈J(R),那么R稱為J-Boolean like環(huán).

        引理1若S=R[D,C],則J(S)=R[J(D),J(D)∩J(C)].

        定理1設(shè)D是一個(gè)環(huán),C是D的一個(gè)子環(huán),則R[D,C]是一個(gè)J-Boolean like環(huán)的充要條件為(a)C,D是J-Boolean like環(huán),(b)J2(C)?J(D).

        證明(?)對(duì)任意的a,b∈D,設(shè)x=(a,0,0,0,…),y=(b,0,0,0…)有

        (x-x2)(y-y2)=((a-a2)(b-b2),0,0,0…).

        因?yàn)镽[D,C]是一個(gè)J-Boolean like環(huán),由引理1知(a-a2)(b-b2)∈J(D),所以D是一個(gè)J-Boolean like環(huán).

        對(duì)任意的a,b∈C,設(shè)x=(a,a,…,a),y=(b,b,…,b),于是

        (x-x2)(y-y2)=((a-a2)(b-b2),(a-a2)(b-b2),…,(a-a2)(b-b2))∈J(R[D,C]),

        這樣(a-a2)(b-b2)∈J(D)∩J(C),也就是(a-a2)(b-b2)∈J(C),所以C是一個(gè)J-Boolean like環(huán).

        對(duì)任意的x,y∈J(C),下證xy∈J(D).設(shè)x=(a,a,…,a),y=(b,b,…,b),則

        (x-x2)(y-y2)=((a-a2)(b-b2),(a-a2)(b-b2),…,

        (a-a2)(b-b2))∈J(S)=R[J(D),J(D)∩J(C)],

        所以(x-x2)(y-y2)∈J(D),即為(1-x)xy(1-y)∈J(D).

        因?yàn)閤,y∈J(C),所以1-x,1-y∈U(C)?U(D),這樣就存在r,s∈D使

        r(1-x)=1,(1-y)s=1,

        并且r(1-x)xy(1-y)s∈J(D),所以xy∈J(D),即證J2(C)?J(D).

        (?)對(duì)任意的R[D,C]中x=(a1,a2,…,an,a,a…),y=(b1,b2,…,bn,b,b…),r=(r1,r2,…,rn,s,s…),有

        1-[(x-x2)(y-y2)r]2∈U(S).

        因此,1-(x-x2)(y-y2)r∈U(S),所以(x-x2)(y-y2)∈J(R),即是R[D,C]是一個(gè)J-Boolean like環(huán).

        所以J2(C)?J(D).

        由定理1知,R[D,C]是J-Boolean like環(huán).

        這樣有J2(C)?J(D).

        顯然,D,C都是J-Boolean like環(huán),且C?D,由定理1知,R[D,C]是J-Boolean like環(huán).

        引理2設(shè)B為一個(gè)環(huán),對(duì)任意a,b∈J(B)有ab≡ba(modJ(B)).

        引理3如果B[i]是J-Boolean like環(huán),那么2i3-i2≡i4(modJ(B[i]).)

        證明由于(i-i2)2=i2-2i3+i4∈J(B[i]),所以2i3-i2≡i4(modJ(B[i]).

        引理4如果B/J(B)是Boolean環(huán),那么2∈J(B),即2≡0(modJ(B)).

        證明因?yàn)閍∈J(B),所以1+a∈U(B).這樣x+(1+a)-1by=(1+a)-1,

        進(jìn)而cx+c(1+a-1)by=c(1+a)-1.與第二個(gè)方程作差得,

        [c(1+a)-1b-1-a]y=c(1+a)-1,

        令d=c(1+a)-1b-a,由于a,b,c∈J(B),所以d∈J(B),可以得到d-1可逆,最后解得

        y=(d-1)-1c(1+a)-1.

        將其代入原方程組可得x=-c-1(1+a)(d-1)-1c(1+a)-1.

        證明(?)由i2=ui+η,知i4=u2i2+uηi+ηui+η2.而

        u≡u(píng)2(modJ(B),η≡η2(modJ(B),uη≡ηu(modJ(B)),

        所以i4≡u(píng)i2+η(modJ(B),進(jìn)而i4≡u(píng)(ui+η)+η=ui+uη+η(modJ(B)).

        由引理3,i4≡2i3-i2(modJ(B)),也就是

        i4≡(2i-1)(ui+η)≡2ui2+(2η-u)i-η≡2u(ui+η)+(2η-u)i-η

        ≡2ui+2uη+(2η-u)i-η≡u(píng)i+2uη+2ηi-η(modJ(B)),

        這樣i4≡u(píng)i+uη+η≡u(píng)i+2uη+2ηi-η(modJ(B)),即為

        uη≡-2ηi+2η,

        所以u(píng)η∈J(B[i])+J(B).

        下證J(B)[i]∈J(B[i]),即證對(duì)任取的B[i]中元素m+ni,e+fi有

        1-(m+ni)(e+fi)∈U(B[i]).

        那么在B[i]中存在x+yi,使得[1-(m+ni)(e+fi)](x+yi)=1.因?yàn)?/p>

        1-(m+ni)(e+fi)=(1-me-nfη)-(mf+ne-nfu)i,

        所以

        由于me+nfη,(mf+ne-nfu)η,(me+nfη)+(mf+ne-nfu)η∈J(B[i]),

        所以由引理6知此方程組有解,也就證得

        1-(m+ni)(e+fi)∈U(B[i]).

        所以J(B)[i]∈J(B[i]).而J(B)?J(B)[i]?J(B[i]),所以

        uη∈J(B[i])

        任取r∈B?B[i],有1-uηr∈U(B[i]),這樣

        (1-uηr)(a+bi)=1,

        也就是 (1-uηr)a+(1-uη)rbi=1,

        可以看出 1-uηr∈U(B),

        最后uη∈J(B).

        (?)任取B[i]中元素a+bi,x+yi,設(shè)

        A=(a+bi)-(a+bi)2≡b(i-i2)(modJ(B)),

        同理B=(x+yi)-(x+yi)2≡y(i-i2)(modJ(B)).

        因此AB=by(i-i2)2.

        由于 (i-i2)2=i2-2i3+i4≡i2+i4≡u(píng)i+u2i+uη+η≡u(píng)η(modJ(B)),

        所以AB≡byuη(modJ(B)),即證得AB∈J(B[i])+J(B)[i],

        因?yàn)镴(B)[i]∈J(B[i]),

        所以AB∈J(B[i]),所以B[i]是J-Boolean like環(huán).

        證明(?)首先B為J-Boolean like環(huán)知,對(duì)B中任意元素a有

        (a-a2)2∈J(B).

        因?yàn)镴(B)是所有極大理想的交,那么對(duì)任意極大理想M,(a-a2)2∈M(見(jiàn)[1]),

        進(jìn)而a-a2∈∩M=J(B),所以

        a-a2∈J(B).

        由定理2知,如果B[i]是J-Boolean like環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)uη∈J(B).

        證明(?)由于B[i]是J-Boolean like環(huán),所以(i-i2)(i-i2)∈J(B[i]),即

        i2+i4∈J(B[i]).

        設(shè)i2+i4=a,則a∈J(B[i]),由于B是Boolean環(huán),i2=ui+η,所以

        ui2=u(ui+η)=u2i+uη=ui+uη

        i4=(ui+η)2=u2+2uiη+η2=ui2+η=ui+uη+η

        而a-i2=i4,故a-ui-η=ui+uη+η.

        因?yàn)閡,η均為Boolean環(huán)B中元素,進(jìn)而a=uη∈J(B).

        反之顯然成立,這樣定理得證.

        證明由于B為Boolean環(huán),那么對(duì)于B中元素u,η有(1-uη)2=1-uη.

        因?yàn)閡η∈J(B[i]),所以存在B中元素c,使(1-uη)2c=(1-uη)c=1,

        進(jìn)而1-uη=1,也就是uη=0,即B[i]為Boolean-like環(huán),反之顯然.

        參考文獻(xiàn):

        [1] Foster A L. The idempolent elements of a commutative ring form a Boolean algebra ring duality and transformation theory [J]. Duke Math,1945,12(1):143-152.

        [2] Foster A L. The theory of Boolean-like rings [J]. Transactions of the American Mathematical Society,1946,59(1):166-187.

        [3] Swaminathan V. On Foster’s Boolean like rings [J]. Math Seminar Note,1980,8(2):347-367.

        [4] Samuel Bourne. The Jacobson radical of a semiring [J]. Proc Natl Acad Sci USA,1951,37(3):163-170.

        [5] Swaminathan V. Injective and projective Boolean-like rings [J]. Journal of the Australian Mathematical Society,1982,33(1):40-49.

        [6] Cheng Gongpin. The structure of ringR[D,C] and its characterizations [D]. Nanjing: Southeast University,2006:4-13.

        2012-11-07

        秦 蕊(1987—),女,基礎(chǔ)數(shù)學(xué)碩士研究生,從事代數(shù)研究.E-mail: bhqinrui@126.com

        Boolean環(huán);Boolean-like環(huán);J-Boolean like環(huán);Jacobson根;R[D,C]環(huán)

        O153.3MSC201013M05

        A

        1674-232X(2013)05-0413-05

        [2].

        J-BooleanLikeRing

        QIN Rui

        (College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

        10.3969/j.issn.1674-232X.2013.05.006

        Booleanring;Boolean-likering;J-Booleanlikering;Jacobsonradical; R[D,C]ring

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