周麗娜，李金其，鄭清月

(浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院，浙江 金華 321004)

π-余代數(shù)的楔積

周麗娜，李金其，鄭清月

(浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院，浙江 金華 321004)

給出了π-余代數(shù)C上的楔積XαΛYβ的概念，把余代數(shù)上楔積的相關性質(zhì)推廣到π-余代數(shù)上．研究了π-余代數(shù)C上π-子余代數(shù)、π-余理想的性質(zhì)，給出了XΛY與它們之間的聯(lián)系．

π-余代數(shù)；楔積；π-子余代數(shù)；π-余理想

本文中，設π是一個乘群，k是一個域，所有的空間都是k上線性空間，映射首先是k-線性映射，?是指?k．

定義1[1]一個π-余代數(shù)C=({Cα}α∈π,Δ,ε)是指一族空間C={Cα}α∈π以及一族映射Δ={Δα,β:Cαβ→Cα?Cβ}α,β∈π和映射ε:C1→k，滿足

1) (Δα,β?ΙCr)Δαβ,r=(ΙCα?Δβ,r)Δα,β r；

2) (ΙCα?ε)Δα,1=ΙCα=(ε?ΙCα)Δ1,α．

從定義知道(C1,Δ1,1,ε)是通常意義下的余代數(shù)．

定義2設C=({Cα}α∈π,Δ,ε)是π-余代數(shù)，X={Xα|Xα?Cα}α∈π和Y={Yβ|Yβ?Cβ}β∈π是C的子空間族，則XαΛYβ是指下列線性映射合成的核：

即XαΛYβ=ker(πXα?πYβ)Δα,β．

設V，W是線性空間，定義線性映射ρV,W:V*?W*→(V?W)*為對任意的v∈V，w∈W，v*∈V*，w*∈W*，ρV,W(v*?w*,v?w)=〈v*,v〉〈w*,w〉．則ρV,W為單線性映射．此時記V*?W*?(V?W)*．

因此，對任意的xαβ∈XαΛYβ，由(πXα?πYβ)Δα,β(xαβ)=0，得

Δα,β(xαβ)∈ker(πXα?πYβ)=Cα?Yβ+Xα?Cβ．

所以

定義4[1]一個π-代數(shù)A=({Aα}α∈π,m,μ)是指一族空間A={Aα}α∈π以及一族映射m={mα,β:Aα?Aβ→Aαβ}α,β∈π和映射μ:k→A1，滿足

1)mαβ,γ(mα,β?IAγ)=mα,βγ(IAα?mβ,γ)；

2)mα,1(IAα?μ)=m1,α(μ?IAα)．

從定義知道(A1,m1,1,μ)是通常意義下的代數(shù)．

證明根據(jù)定義3，可以得到：

命題4設X={Xα|Xα?Cα}α∈π，Y={Yβ|Yβ?Cβ}β∈π，Z={Zγ|Zγ?Cγ}γ∈π是π-余代數(shù)C的子空間族，則

(XαΛYβ)ΛZγ=XαΛ(YβΛZγ)=ker((πXα?πYβ?πΖγ)((Δα,β?ICγ)Δαβ,γ))．

證明由命題1可得

Δαβ,γ((XαΛYβ)ΛZγ)=(XαΛYβ)?Cγ+Cα,β?Zγ．

(1)

對式(1)兩邊同時作用Δα,β?ICγ，得

(Δα,β?ICγ)Δαβ,γ((XαΛYβ)ΛZγ)=Cα?Yβ?Cγ+Xα?Cβ?Cγ+Cα?Cβ?Zγ．

(2)

對式(2)兩邊同時作用πXα?πYβ?πΖγ，得

(πXα?πYβ?πΖγ)(Δα,β?ICγ)Δαβ,γ((XαΛYβ)ΛZγ)=0．

從而

((XαΛYβ)ΛZγ)=ker((πXα?πYβ?πΖγ)(Δα,β?ICγ)Δαβ,γ)．

同理，

(XαΛ(YβΛZγ))=ker((πXα?πYβ?πΖγ)(Δα,β?ICγ)Δαβ,γ)．

由(Δα,β?ICγ)Δαβ,γ=(ICα?Δβ,γ)Δα,βγ，得(XαΛYβ)ΛZγ=XαΛ(YβΛZγ)．

命題5設X={Xα|Xα?Cα}α∈π，V={Vα|Vα?Cα}α∈π，Y={Yβ|Yβ?Cβ}β∈π，W={Wβ|Wβ?Cβ}β∈π是π-余代數(shù)C的子空間族，且滿足對任意的α,β∈π，有Xα?Vα；Yβ?Wβ，則XαΛYβ?VαΛWβ．

證明對任意的xαβ∈XαΛYβ，則Δα,β(xαβ)∈Xα?Cβ+Cα?Yβ?Vα?Cβ+Cα?Wβ．從而xαβ∈ker((πνα?πwβ)Δα,β)．故XαΛYβ?VαΛWβ．

命題6設X={Xα|Xα?Cα}α∈π是π-余代數(shù)C的子空間族，則XαΛ(kerε)=Xα=(kerε)ΛXα．

證明

(3)

由

Cα/Xα?C1/kerε?Cα/Xα?k?Cα/Xα

,

則式(3)可以改寫為：

同理可得(kerε)ΛXα=Xα．從而XαΛ(kerε)=Xα=(kerε)ΛXα．

由命題5，6可得：

命題7設Y={Yβ|Yβ?Cβ}β∈π是π-余代數(shù)C的子空間族，若Y1?kerε，則XαΛY1?Xα，Y1ΛXα?Xα．

定義5[1]設C=({Cα}α∈π,Δ,ε)是π-余代數(shù)，X={Xα|Xα?Cα}α∈π是C的子空間族，若對任意的α,β∈π，有Δα,β(Xα,β)?Cα?Xβ+Xα?Cβ，且ε(X1)=0．稱X是C的π-余理想．若對任意的α,β∈π，Δα,β(Xα,β)?Cα?Xβ，稱X是C的左π-余理想．若對任意的α,β∈π，Δα,β(Xα,β)?Xα?Cβ，稱X是C的右π-余理想．

定理1若X={Xα|Xα?Cα}α∈π是π-余代數(shù)C的左(右)π-余理想，則XΛY={(XΛY)ν}ν∈π是C的左(右)π-余理想，且X?YΛX(X?XΛY)．

(4)

對式(4)兩邊同時作用(ΙCν?πXσβ-1?πYβ)，得到(ΙCν?πXσβ-1?πYβ)(ΙCν?Δσ)Δν,σ((XΛY)νσ)=0．即，對任意的ν,σ，有Δν,σ(XΛY)νσ?Cν?(XΛY)σ．因此，XΛY是C的左π-余理想．

同理可得，若X={Xα|Xα?Cα}α∈π是C的右π-余理想，則XΛY是C的右π-余理想，且X?XΛY．

定義6[1]設C=({Cα}α∈π,Δ,ε)是π-余代數(shù)，X={Xα|Xα?Cα}α∈π是C的子空間族，稱X是C的π-子余代數(shù)，若對任意的α,β∈π，有Δα,β(Xαβ)?Xα?Xβ．

定理2若X={Xα|Xα?Cα}α∈π是π-余代數(shù)C的左π-余理想，并且Y={Yβ|Yβ?Cβ}β∈π是π-余代數(shù)C的右π-余理想，則XΛY是C的π-子余代數(shù)．

證明由條件知，對任意的α,β∈π，有

Δα,β(Xαβ)?Cα?Xβ，Δα,β(Yαβ)?Yα?Cβ．

由定理1可得

Δν,σ(XΛY)νσ?Cν?(XΛY)σ，Δν,σ(XΛY)νσ?(XΛY)ν?Cσ．

從而

Δν,σ(XΛY)νσ?((XΛY)ν?Cσ)∩(Cν?(XΛY)σ)?(XΛY)ν?(XΛY)σ．

因此，對任意的ν,σ∈π，有

Δν,σ(XΛY)νσ?(XΛY)ν?(XΛY)σ．

即XΛY是C的π-子余代數(shù)．

定理3若X={Xα|Xα?Cα}α∈π，Y={Yβ|Yβ?Cβ}β∈π是π-余代數(shù)C的π-子余代數(shù)，則XΛY是C的π-子余代數(shù)，且X+Y?XΛY，其中X+Y={Xα+Yα}α∈π．

證明由條件知，X是C的左π-余理想，Y是C的右π-余理想．由定理2知，XΛY是C的π-子余代數(shù)．

由條件知，X是C的右π-余理想，Y是C的左π-余理想．由定理1知，X?XΛY；Y?XΛY．因此，X+Y?XΛY．

[1] Virelizier A．Hopf group-coalgebra[J]．Journal of Pure and Applied Algebra,2002，171：75-122．

[2] Sweedler M E．Hopf algebra[M]．New York：Benjiamin，1969．

[3] 方小利，李金其．關于π-余代數(shù)的幾個性質(zhì)[J]．紹興文理學院學報，2004,24(7)：41-44．

TheWedgeofπ-coalgebras

ZHOU Lina, LI Jinqi, ZHENG Qingyue

(College of Mathematics, Physics and Information Engineering, Zhejiang Normal University, Jinhua 321004, China)

This paper introduced the notion ofXαΛYβof π-coalgebras, generalized the properties of the wedge of coalgebras to the π-coalgebras, studied some properties ofC-π-subcoalgebras andC-π-coideals, and provided the relations betweenXΛYand them.

π-coalgebras；wedge；π-subcoalgebras；π-coideals

2013-05-12

國家自然科學基金項目(11271319).

李金其(1964—)，男，教授,主要從事Hopf代數(shù)等方面研究．E-mail：lijinqi@zjnu.cn

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.06.005

O153．3MSC201016T99

A

1674-232X(2013)06-0503-04