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(海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

2013年浙江省數(shù)學(xué)高考試題中的基本交匯

●沈順良

(海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》在實施建議中提出，要強調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握，重視基本技能的訓(xùn)練，掌握它們所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法.2013年浙江省數(shù)學(xué)高考試題較多地以基本知識的交匯形式來考查，突出了對基礎(chǔ)的要求.

1 基本知識交匯，理解概念

圖1

( )

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

分析本題是雙曲線和橢圓的交匯，可以將它們的關(guān)鍵點構(gòu)成的矩形轉(zhuǎn)化為直角三角形.由橢圓定義和勾股定理得

|AF1|2+(4-|AF1|)2=12，

從而

另外，理科卷的第3題是對數(shù)和指數(shù)2個基本運算性質(zhì)的小綜合，由于知識點的交匯能夠更多地創(chuàng)設(shè)陌生的情境，因此更能有效地考查學(xué)生對知識的理解程度.

2 基本圖形組合，突出化歸

圖2

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科

試題第16題)

分析這是2個共直角頂點的直角三角形的組合.

3 基本數(shù)形結(jié)合，運用思想

例3已知a,b,c∈R，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1)，則

( )

A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0

C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第7題)

圖3

分析本題是基本的一元二次函數(shù)問題，根據(jù)f(0)=f(4)>f(1)可得拋物線的對稱軸為x=2且開口向上，即得答案為A.

例4已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖像如圖3所示，則該函數(shù)的圖像是

( )

A. B. C. D.

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第8題)

分析觀察y=f′(x)的圖像，得到函數(shù)y=f(x)在(-1，1)內(nèi)是單調(diào)遞增的，由導(dǎo)函數(shù)的正值大小得到函數(shù)遞增的速度是慢—快—慢.故選B.

類似的還有理科卷的第8題，通過導(dǎo)函數(shù)的正負值和0得到函數(shù)增減性，從而確定何時取到極大或極小值.理科卷的第22題和文科卷的第21題中，導(dǎo)函數(shù)都是二次函數(shù)，利用其圖像可輔助解題.

4 基本圖形與基本函數(shù)交匯，自然轉(zhuǎn)換

( )

A．∠ABC=90° B．∠BAC=90°

C．AB=ACD．AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

分析本題是關(guān)于向量數(shù)量積的最值問題，可以通過添輔助線(點)，轉(zhuǎn)化為基本直角三角形或向量加法基本圖形來簡化向量數(shù)量積運算，從而化為求基本函數(shù)的最值.

思路1如圖4，作CO⊥AB，垂足為O，顯然點P在線段BO上,從而

圖4 圖5

思路2如圖5，取BC中點O，則

5 基本方法交匯，靈活運用

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

分析此向量題的背景為一個基本平行四邊形圖形的邊長和夾角問題:一是運用解三角形或平行四邊形的方法(余弦定理或平行四邊形性質(zhì))；二是化為基本函數(shù)求最值的方法.它們都是通用的基本方法.

另外本題也可以建立直角坐標系，

利用向量坐標運算方法求解.

圖6 圖7

(1)求橢圓C1的方程;

(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程.

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

6 立體與平面的交匯，清晰轉(zhuǎn)化

例8在空間中，過點A作平面π的垂線，垂足為B，記B=fπ(A).設(shè)α,β是2個不同的平面，對空間任意一點P，Q1=fβ[fα(P)]，Q2=fα[fβ(P)]，恒有PQ1=PQ2，則

( )

A.平面α與平面β垂直

B.平面α與平面β所成的(銳)二面角為45°

C.平面α與平面β平行

D.平面α與平面β所成的(銳)二面角為60°

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

分析按照定義的對應(yīng)，點P,fα(P),fβ(P),Q1,Q2都在過點P且垂直于α,β交線的同一平面內(nèi)，且點P,fα(P),fβ(P),O構(gòu)成一對角為直角的平面四邊形(如圖8所示).易得當四邊形為矩形時，Q1,Q2重合滿足條件.故選A.

圖8 圖9

(1)證明：PQ∥平面BCD;

(2)若二面角C-BM-D的大小為60°，求∠BDC的大小.

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

分析第(1)小題可以根據(jù)點P,Q的特殊位置條件，利用平行四邊形找到平面BCD內(nèi)和PQ平行的直線(分別過點P,Q作PO⊥BD，QF⊥CD，聯(lián)結(jié)OF).第(2)小題則通過作出二面角C-BM-D的平面角，化為平面三角形求解，作CG⊥BD，GH⊥BM，聯(lián)結(jié)CH，因為CG⊥AD，所以CG⊥面ABD，得到CG⊥BM，于是BM⊥面CGH，故∠CHG就是二面角C-BM-D的平面角.而其中三角形各邊長也都可以利用各自所在的直角三角形由面積法來求.

基本的交匯能給試題帶來新穎，也能更好地考查學(xué)生對基本知識的理解、對基本技能的掌握、對基本思想方法的運用程度.日常教學(xué)中我們要突出數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能和數(shù)學(xué)的通性通法，讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)對象的基本性質(zhì)、處理數(shù)學(xué)問題基本常用的思想方法.