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(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院教育碩士 浙江金華 321004)

一道解析幾何題的教學(xué)實(shí)踐

●金東平

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院教育碩士 浙江金華 321004)

解析幾何綜合問題中涉及字母符號較多，計(jì)算繁瑣，是學(xué)生正確解答此類試題的攔路虎.“如何清除攔路虎，如何提升學(xué)生的解題能力，如何培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力”是一線教師要思考的問題.

1 一道解析幾何題的考情

圖1

(1)求橢圓C1的方程;

(2)求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程.

筆者任教的2個(gè)班級總?cè)藬?shù)為105,從學(xué)生的解答情況來看：第(1)小題答對的有86人；第(2)小題有42人空白，55人沒有答全，只有18人給出了正確答案.大多數(shù)學(xué)生覺得例1很常規(guī)、很平淡、很容易入手，但做完整卻非常困難.從答題情況看，學(xué)生主要有2個(gè)困惑.

困惑1如何整體把握圖形之間內(nèi)在的幾何關(guān)系

解題片段1將直線l:y=kx-1代入x2+y2=4，得

(k2+1)x2-2kx-3=0,

從而

分析該學(xué)生呈現(xiàn)的答案是正確的，解題思路傾向于用代數(shù)運(yùn)算，計(jì)算量大，容易出現(xiàn)計(jì)算上的錯(cuò)誤.例1涉及字母符號較多，運(yùn)算過程復(fù)雜，該解法的欠缺是：沒有整體把握圖形內(nèi)在的幾何關(guān)系，沒有挖掘出幾何的特征.

困惑2如何求面積的最值

解題片段2易求得

從而

接下來，很多學(xué)生不知道如何求S△ABD的最大值.

2 困惑的探究

解答解析幾何問題最大的困難是計(jì)算，其主觀原因是：(1)不會從幾何圖形、所給的方程中挖掘幾何特征，導(dǎo)致計(jì)算量大；(2)對算理不清楚.為了更好地引導(dǎo)學(xué)生走出困惑，筆者設(shè)計(jì)了如下的問題和變式.

問題1S△ABD如何表示？

問題2如何設(shè)點(diǎn)A,B,D,P的坐標(biāo)和直線l1,l2的方程？

問題3如何求|AB|的長？

思路1|AB|為一般曲線弦長.將直線l1:y=kx-1代入x2+y2=4，得

(k2+1)x2-2kx-3=0，

從而

思路2|AB|為圓C2的弦長.由

注思路1是常規(guī)的解題方法，大多數(shù)學(xué)生會想到;另一方面學(xué)生容易思維定勢，很難想到思路2.由此，學(xué)生感觸：根據(jù)圖形特點(diǎn)，從不同的角度看弦長|AB|，需要平時(shí)多留意研究對象在不同圖形中的不同角色.

問題4如何求|DP|的長？

思路1|DP|為橢圓C1的弦長.由

思路2|DP|是△ABD的高，即點(diǎn)D到直線l1的距離.從方程的角度求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)D到直線l1的距離公式求出距離，這里的計(jì)算量非常大.

注學(xué)生深深地感觸到解析幾何一定要關(guān)注圖形之間的內(nèi)在幾何關(guān)系，并恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系.若對這方面的關(guān)注比較少，則容易出現(xiàn)計(jì)算量大等問題.

問題5如何求S△ABD的最大值？

在分析講評以上問題時(shí)，有學(xué)生站起來問：“老師，你是怎么想到換元，利用基本不等式來解決，我怎么想不到呢？”該學(xué)生的提問需要教師充分暴露整個(gè)思維過程.為此，筆者引導(dǎo)學(xué)生對該題的解法追根尋源，設(shè)計(jì)了如下變式.

3 拓展延伸

講授完該題，學(xué)生對如何清除這個(gè)攔路虎有了初步的認(rèn)識.筆者從該題的圖形特點(diǎn)進(jìn)行了改編，進(jìn)一步提升學(xué)生的解題能力和培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力.

圖2

(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0，

于是

由PA⊥PB知kPA·kPB=-1,從而

即

4b2-1+(b-1)2=0，

該題還可以進(jìn)一步拓展如下：

(1)kPA·kPB=m，直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)，此時(shí)△PAB的面積是多少？

(2)在雙曲線和拋物線中有沒有這樣的結(jié)論？

4 思考

在平時(shí)的課堂教學(xué)中，教師可從題目的圖形特點(diǎn)和解答過程得到的結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生去探究一些未知的結(jié)論，這有助于提高學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力.

在解析幾何教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生知難而上，多關(guān)注圖形的幾何特點(diǎn)，處理好幾何問題代數(shù)化；多關(guān)注代數(shù)式的特點(diǎn)，處理好代數(shù)結(jié)果幾何化；多關(guān)注圖形的內(nèi)在聯(lián)系，尋找更多的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，進(jìn)而解決問題.

[1] 李金興.講清數(shù)學(xué)道理 揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2013(1)：7-8.

[2] 夏繁軍.解析幾何綜合問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2012(1/2)：103-104.

[3] 褚人統(tǒng).讓高考試題在問題探究中盡放光芒[J].數(shù)學(xué)通訊,2011(2):50-52.