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(杭州第十一中學(xué) 浙江杭州 310014)

玩好題：數(shù)學(xué)教師的幸福與追求

●蔡小雄

(杭州第十一中學(xué) 浙江杭州 310014)

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，引領(lǐng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)教師的基本職責(zé)．而“題”是中學(xué)階段“數(shù)學(xué)問題”的主要形式，因此，“玩好題”是數(shù)學(xué)教師的責(zé)任、追求，也是數(shù)學(xué)教師的幸福之一．那么，什么是“玩好題”呢？筆者認(rèn)為，“玩好題”包含3個(gè)層面的意思：一是把題玩好，二是玩好的題，三是讓題好玩．“玩好題”能使數(shù)學(xué)教師在業(yè)務(wù)上如虎添翼，課堂上更加得心應(yīng)手，“玩好題”也能使教師情感豐富，精神專注．羅素曾用以下華麗的語言描繪數(shù)學(xué)推理的超然性和客觀性所帶來的魅力：“遠(yuǎn)遠(yuǎn)離開人的情感，甚至遠(yuǎn)遠(yuǎn)離開自然的可憐的事實(shí)，世世代代逐漸創(chuàng)造了一個(gè)秩序井然的宇宙．純正的思想在這個(gè)宇宙就好像是住在自己的家園．在這個(gè)家園里，至少我們的一種更高尚的沖動(dòng)，能夠逃避現(xiàn)實(shí)世界的凄清的流浪．”

1 把題玩好：數(shù)學(xué)教師的責(zé)任

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開“題”，能把“題”玩好的數(shù)學(xué)教師才是一位優(yōu)秀的教師．然而，“題”中有乾坤，“題”中有日月，從日常的觀察與了解中，我們不難發(fā)現(xiàn)并不是每個(gè)數(shù)學(xué)教師都能“把題玩好”．也正因?yàn)橛行r(shí)候我們教師沒有“把題玩好”，致使數(shù)學(xué)這一門充滿魅力的學(xué)科被誤解，被視作是一門枯燥、乏味、無休止計(jì)算的學(xué)科．也正因?yàn)槲覀冇行┙處煕]有“把題玩好”，使得有些學(xué)生進(jìn)入高中后，面對(duì)千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)題，只能望“題”興嘆．那么，怎樣“把題玩好”呢？筆者認(rèn)為，關(guān)鍵在“善選題、好做題、能編題與會(huì)品題”這4個(gè)環(huán)節(jié)．

1.1 眾里尋它千百度——善選題

我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝曾說：“夫?qū)W算者，題從法取，法將題驗(yàn)，凡欲明一法，必設(shè)一題．”在我們?nèi)粘＝虒W(xué)中也是一樣，選擇一道合適的“題”能夠幫助學(xué)生明晰概念、掌握方法．選題一般以教學(xué)大綱、教材要求及符合學(xué)生實(shí)際情況為原則，要有利于學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí),培養(yǎng)分析和解決問題的能力，有利于教師捕捉課堂教學(xué)的生發(fā)點(diǎn)，并以此為教學(xué)突破口，讓學(xué)生充分參與，體驗(yàn)感受，動(dòng)態(tài)生成．我們都有這樣的體會(huì)，有時(shí)抓住一道典型習(xí)題,讓學(xué)生尋求多種解題途徑,促使學(xué)生的思維向多方位、多層次發(fā)散,比解答多道題更為有效，正所謂“一題可破萬題山”．

當(dāng)然，“善選題”非一日之功．教師選題時(shí)要有“大海撈針”的決心與毅力，所選的題要能“針鋒相對(duì)”甚至“一針見血”．也就是說所選的題不僅要具備直指教學(xué)重難點(diǎn)的“針”，最好還要讓學(xué)生能感受到題中豐富的內(nèi)涵，從而舉一反三，提高分析問題和解決問題的能力．

1.2 不畏浮云遮望眼——好做題

該題表述簡(jiǎn)潔清晰，靈活地考查了平面向量基本定理、坐標(biāo)表示、數(shù)量積、幾何意義等知識(shí)，滲透了多種數(shù)學(xué)思想方法．可以引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)視角來解決：

視角1從坐標(biāo)入手，借助配方法求最值．

當(dāng)x≠0時(shí)，

視角2從方程的角度，運(yùn)用判別式法．

當(dāng)x≠0時(shí)，

由

解得t∈[0,2]．

視角3從點(diǎn)到直線的距離這一角度入手．

視角4也可直接求解．

在日常教學(xué)中，只要有心，這樣的案例比比皆是，它們都是我們課堂教學(xué)的重要素材．用好這些素材，定會(huì)給課堂添風(fēng)采，為教師添魅力！

1.3 接天蓮葉無窮碧——能編題

編題是數(shù)學(xué)知識(shí)在較高層次上的運(yùn)用，一般來說，會(huì)做題的不一定會(huì)編題.編題也是教師的基本素質(zhì)之一．眾所周知，每年的高考總是牽動(dòng)著千家萬戶的心，高考試題“源于教材,又略高于教材”，因此，從教學(xué)的角度就要求我們不能孤立地、靜止地去講課本上的例題,甚至運(yùn)用“題海戰(zhàn)術(shù)”引進(jìn)大量的課外題讓學(xué)生盲目、機(jī)械地解題，而要學(xué)會(huì)對(duì)課本上的例題、習(xí)題做適當(dāng)?shù)母木帲?xí)題的改編有許多途徑,如變換圖形位置，改變條件和結(jié)論，增加新條件或改變解題要求，重新組合或分解，推廣或拓展，也可以縱橫聯(lián)系，將孤立問題串起來等．編題也有很多種方法，如推廣引申法、逆向思維法、極端原理法、知識(shí)重組法等．從教以來，筆者也為各級(jí)各類競(jìng)賽、統(tǒng)考、會(huì)考等編過許多試題，其中被多次引用的，如：

1.4 萬紫千紅總是春——會(huì)品題

會(huì)品題，就是會(huì)欣賞題．好題就像千里馬，沒有伯樂，再好的千里馬也會(huì)被埋沒．教師與學(xué)生的一個(gè)主要區(qū)別是：學(xué)生也許只要會(huì)做題就行，而教師除了會(huì)做題外還要會(huì)“品”題，“品”出題中真諦，“品”出題中精彩．

2 玩好的題：數(shù)學(xué)教師的幸福

在實(shí)際教學(xué)中，我們會(huì)遇到這樣的題：有的題目不是考查學(xué)生的認(rèn)知障礙，而是考查學(xué)生的“合理”錯(cuò)誤；有的題不是讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)、方法、思想和理性精神，而是教學(xué)生如何去防陷阱、防小人、防“邊界”；有的題不是教學(xué)生大膽地去創(chuàng)新、探究，而是引導(dǎo)學(xué)生去“循規(guī)蹈矩”，找題型、找原型、找關(guān)系、找技巧．這樣的題做多了，人會(huì)變笨，會(huì)更討厭數(shù)學(xué)．那么，什么是“好的題”？評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)很多，說法也很多．簡(jiǎn)言之，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力有幫助的題就是“好的題”．如果再補(bǔ)充點(diǎn)，筆者認(rèn)為好題應(yīng)有簡(jiǎn)捷抽象、啟迪思維與值得玩味的特征．

2.1 映日荷花別樣紅——好的題的特征

(1)好的題簡(jiǎn)捷抽象.

數(shù)學(xué)之美在于其簡(jiǎn)捷和嚴(yán)謹(jǐn)．?dāng)?shù)學(xué)問題的簡(jiǎn)捷性在很大的程度上是源自數(shù)學(xué)的抽象性．?dāng)?shù)學(xué)概念正是從眾多事物的共同屬性中抽象出來的，而在對(duì)日益擴(kuò)展的數(shù)學(xué)知識(shí)總體進(jìn)行簡(jiǎn)化、廓清和統(tǒng)一化時(shí)，抽象更是必不可少的．浙江省每年的高考試題在這方面堪稱表率．限于篇幅，在此不做贅述．

(2)好的題啟迪思維.

數(shù)學(xué)是思維的體操，創(chuàng)設(shè)情境、啟迪思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心．好題往往可以從多個(gè)角度入手，設(shè)問形式靈活，解題方法多種，富含數(shù)學(xué)思想，有利于啟迪思維．筆者認(rèn)為，是否有利于啟迪思維是評(píng)判一道數(shù)學(xué)題好壞最重要的指標(biāo)．

(3)好的題值得玩味.

一個(gè)好的問題值得探究，值得玩味．可以從一題多解中玩味，可以從一題多變中玩味，也可以從一題多用中玩味．以下是筆者最近“玩”的一道題，寫出來以饗讀者．

圖2

探究1(定點(diǎn))以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)F．

解法1設(shè)M(x1,y1)，直線AM:

直線MB:

以PQ為直徑的圓的方程為

同理

也可得結(jié)論．

推廣1將點(diǎn)A改為橢圓上任一動(dòng)點(diǎn)，結(jié)論仍成立．

推廣2將問題中的橢圓推廣為圓錐曲線，結(jié)論仍成立．

證明略，以下同．

探究3(點(diǎn)共線)設(shè)MF交橢圓于點(diǎn)N，則點(diǎn)A,N,Q共線．

探究4(平分角)(1)PF平分∠MFB；

(2)設(shè)PQ與右準(zhǔn)線交于點(diǎn)A1，則FA1平分∠MA1N．

探究5(平行性)設(shè)MN的中點(diǎn)為G，則MA1∥GN1．

圓錐曲線中蘊(yùn)含著復(fù)雜多變的關(guān)系，對(duì)其進(jìn)行分析與研究，往往收獲良多，其樂無窮！

2.2 柳絮飛來片片紅——玩好的題的收獲

(1)玩好的題能加深對(duì)概念內(nèi)涵的理解.

好的數(shù)學(xué)題往往能緊扣數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，學(xué)生通過對(duì)該問題的解決能夠加深對(duì)概念的理解．有時(shí)，我們也可將原問題進(jìn)行變式，通過變式，多角度、全方位挖掘概念內(nèi)涵，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、改善學(xué)生思維品質(zhì)的目的．

(2)玩好的題能增添課堂教學(xué)的魅力.

數(shù)學(xué)是思維的助推器，數(shù)學(xué)是思維的點(diǎn)金石．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)以教師創(chuàng)造性地教與學(xué)生探究性地學(xué)為雙主體，以有效的數(shù)學(xué)問題為其中的橋梁與紐帶．課堂上，教師通過對(duì)一道好題的玩味，創(chuàng)設(shè)一個(gè)良好的課堂氛圍，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心與探究欲，把學(xué)生帶入發(fā)現(xiàn)、探究的旅途．波利亞說：“一個(gè)認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”

(3)玩好的題能提升教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科固有的特征，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是通過數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)活動(dòng)才能賦予的一種心理品質(zhì)，是在人的先天生理基礎(chǔ)上通過后天嚴(yán)格的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)獲得的、融于身心的一種比較穩(wěn)定的狀態(tài)．玩好的題對(duì)提高教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，尤其是提高教師解決問題的能力大有裨益．一般來說，每年的高考試題是“好的題”，對(duì)其進(jìn)行及時(shí)有效的研究是教師的必修課．

數(shù)學(xué)在古希臘輝煌時(shí)期是貴族的游戲，貴族們用數(shù)學(xué)來展示自己的智慧．在現(xiàn)代教學(xué)中，數(shù)學(xué)應(yīng)成為教師好玩的“游戲”，教師在這個(gè)特殊的游戲里，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，提高數(shù)學(xué)意識(shí)，享受幸福、享受快樂！

3 讓題好玩：數(shù)學(xué)教師的追求

題好玩不好玩完全取決于人的心態(tài)．一個(gè)熱愛數(shù)學(xué)、熱愛教育的教師，他會(huì)覺得數(shù)學(xué)的一切都是充滿樂趣的，都是好玩的．正如當(dāng)代數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家克萊因所說：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，而數(shù)學(xué)能給予以上的一切．”

簡(jiǎn)證如下：

于是，所證式等價(jià)于

由Cauchy不等式，得

高斯說：“給我最大快樂的，不是已懂的知識(shí)，而是不斷學(xué)習(xí)；不是已有的東西，而是不斷獲?。徊皇且堰_(dá)到的高度，而是不斷攀登．”在數(shù)學(xué)教學(xué)這座風(fēng)景秀麗的山峰上，讓我們共同努力，朝著一個(gè)目標(biāo)攀登，攀登，再攀登！

[1] 張乃達(dá).數(shù)學(xué)思維教育學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，1990.

[2] 皮連生.學(xué)與教的心理學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2009.

[3] 羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2006.

[4] 蔡小雄.習(xí)題教學(xué)應(yīng)注意跨越簡(jiǎn)單的線性思維模式[J].教學(xué)月刊，2007(7):45-47.

[5] 蔡小雄.習(xí)題教學(xué)中思維定勢(shì)負(fù)效應(yīng)的校正[J].現(xiàn)代中小學(xué)教育，2008(3):51-52.

[6] 蔡小雄.啟迪思維是數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的首要[J].中學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2013(8):8-10.

蔡小雄，男，1971年出生，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克高級(jí)教練，浙江省特級(jí)教師，浙派“名師名校長(zhǎng)”培養(yǎng)對(duì)象，浙江省教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)分會(huì)常務(wù)理事，浙江省教材審查委員會(huì)委員，《中學(xué)教研(數(shù)學(xué))》特聘編委,杭州市優(yōu)秀教師，曾擔(dān)任杭州第二中學(xué)副校長(zhǎng)，現(xiàn)任杭州第十一中學(xué)校長(zhǎng)．

2000年獲全國(guó)首屆高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比一等獎(jiǎng)．曾擔(dān)任杭州第二中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽主教練、浙江省數(shù)學(xué)會(huì)競(jìng)賽教練、全國(guó)數(shù)學(xué)決賽浙江省領(lǐng)隊(duì)．據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，近年來，他任教過的學(xué)生中，被清華、北大、香港大學(xué)錄取的有100多位，獲得全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽一等獎(jiǎng)24人，其中7人進(jìn)省隊(duì)并獲中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽獎(jiǎng)牌．擔(dān)任班主任的2006屆學(xué)生中有50%保送或考取北大、清華，其中盧毅為省高考理科狀元．先后應(yīng)邀在全國(guó)各地作學(xué)術(shù)報(bào)告50多場(chǎng)，近年來在全國(guó)27家省級(jí)以上刊物發(fā)表近百篇論文，著有《更高更妙的高中數(shù)學(xué)思想與方法》、《代數(shù)變形》等．