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(柯城區(qū)石梁鎮(zhèn)中學(xué) 浙江衢州 324000)

玩轉(zhuǎn)三角板——中考復(fù)習(xí)研討“K字型全等到相似”的遐想

●余利英

(柯城區(qū)石梁鎮(zhèn)中學(xué) 浙江衢州 324000)

圖1

浙教版八年級教材《數(shù)學(xué)》上冊有一道習(xí)題如下：

題目如圖1，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD上一點，且AP=PC，AP⊥PC,則△ABP≌△PDC，請說明理由.

2013年1月，浙江省衢州市的中考復(fù)習(xí)研討課“一組直角三角形”以該題為起點，逐步展開并揭示出問題的基本圖形—K字型基本圖形.在中考第一輪復(fù)習(xí)課中，教師應(yīng)從課本習(xí)題出發(fā)，讓學(xué)生明白在中考復(fù)習(xí)中不能脫離課本，要重視課本中的例題和習(xí)題，并進行適當(dāng)?shù)淖兪酵卣?，以提高?fù)習(xí)功效.

縱觀歷年中考，試題中出現(xiàn)的基本模型常與全等三角形、相似三角形、函數(shù)等知識相結(jié)合.這類試題能很好地考查學(xué)生分析、探究問題的能力，因而備受命題者的青睞，常將其設(shè)計成填空、選擇、解答題.筆者從自身的教學(xué)經(jīng)驗出發(fā)，對這類問題進行了以下思考.

1 加強動手操作，構(gòu)建基本模型

K字型全等三角形基本圖形構(gòu)成的條件是3組相等的角，1組相等的對應(yīng)邊，最終是引領(lǐng)學(xué)生得到的是其余2組對應(yīng)邊相等.條件與結(jié)論都非常簡單，關(guān)鍵是如何讓學(xué)生從復(fù)雜的題目背景下抽象出這類基本模型.因為學(xué)生都備有三角板、直尺等學(xué)具，這道課本習(xí)題可以用三角板來演示，讓學(xué)生在動手操作中發(fā)現(xiàn)、并解決問題.操作學(xué)具既可以把抽象的知識變成眼前形象的幾何圖形，又可以很好地發(fā)展學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生深切感受到這個基本模型原來就在自己的手上.

例1如圖2，把45°三角板直角頂點始終放在直尺的邊上，如果轉(zhuǎn)動這個三角板，哪些角的大小發(fā)生變化？這些變化的角之間是否存在等量關(guān)系？如果存在，請指出并說明理由.

設(shè)計意圖學(xué)生直接動手操作，轉(zhuǎn)動三角板，容易發(fā)現(xiàn)頂點C處的2個銳角大小改變，但始終保持互余的關(guān)系.發(fā)現(xiàn)并理解這一結(jié)論，為后面證明K字型全等奠定了堅實的基礎(chǔ).

圖2 圖3

例2如圖3，當(dāng)45°的直角三角板的直角頂點在直尺邊上時，如果過直角三角板的斜邊的2個端點向直尺邊所在的直線作垂線段，當(dāng)轉(zhuǎn)動三角板時，圖3中有哪些線段的長度發(fā)生變化？在這些長度發(fā)生變化的線段中是否存在長度相等的線段？如果存在，請指出并說明理由.

設(shè)計意圖發(fā)現(xiàn)圖1中互余的2個角，為在長度發(fā)生變化的線段中尋找相等線段提供了方向，因為它們是K字型全等三角形的對應(yīng)角.而說明理由的過程，就是對K字型全等三角形的一個認識過程.

揭示課題K字型全等三角形，從中抽象出K字型基本圖形(橫向的英文字母K)，如圖4所示.

圖4 圖5

2 K字型全等

2.1 K字型全等圖形的識記

條件如圖5，∠AEC=∠ACB=∠BFC=90°,且這3個直角都在同一直線上；AC=BC.

結(jié)論△ACE≌△BCF，從而EC=BF，AE=CF.

練習(xí)1如圖6，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的頂點在相互平行的3條直線l1，l2，l3上，且l1和l2之間的距離為2，l2和l3之間的距離為3，則AC的長是______，點B到邊AC的距離是______.

(2009年浙江省麗水市數(shù)學(xué)中考試題)

圖6 圖7

設(shè)計意圖如圖7，因為∠ABC的直角頂點B在直線l3上，所以過點A,C向直線l3作垂線段，即可構(gòu)造K字型全等基本圖形，從而得到△ADB≌△EBC,故DB=CE=5,再利用勾股定理，問題得以解決.

2.2 K字型全等基本圖形的變式

(1)變式1：中間的等腰直角三角形變換為正方形，如圖8所示.

圖8 圖9

練習(xí)2如圖9，直線l上有3個正方形a,b,c，若a,c的面積分別是5和11，則b的面積是______.

(2007年江蘇省連云港市數(shù)學(xué)中考試題)

設(shè)計意圖K字型基本圖形處于中間位置的三角形可以是等腰直角三角形，也可以是正方形，它們的作用都是為2側(cè)直角三角形全等提供了直角和一組相等的斜邊.因此只要具備同一直線上的3個直角及一組相等的對應(yīng)邊，就能得到K字型全等基本圖形.可見，從中找到K字型全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.

(2)變式2：置K字型全等基本圖形于直角坐標(biāo)系中.

分析雖然∠ACB的直角頂點C在直線CN上，直接過點A,B向CN作垂線段構(gòu)成K字型全等的基本圖形(如圖11)，不利于求點B的坐標(biāo).若先過點C作直線CL平行于x軸，再過點A,B作直線CL的垂線段(如圖12)，構(gòu)成K字型基本圖形，對應(yīng)邊AK=CL,KC=BL，則與點A,B,C的坐標(biāo)聯(lián)系起來.又已知點A,B的坐標(biāo)，構(gòu)造如圖12所示的K字型全等圖形，很容易求出第3個頂點C的坐標(biāo).

圖10 圖11 圖12

設(shè)計意圖把K字型基本圖形放置于直角坐標(biāo)系中，已知等腰直角三角形2個頂點的坐標(biāo)，就可以求出第3個頂點的坐標(biāo).值得注意的是一線3個直角中的“一線”盡可能是水平線或豎直線，這樣構(gòu)建K字型全等圖形后，聯(lián)合三角形的頂點坐標(biāo)，列方程求解即可.

練習(xí)題3如圖13，已知在矩形ABCO中，O為坐標(biāo)原點，點B的坐標(biāo)為(8，6)，點A,C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上的動點.設(shè)PC=m,點D在第一象限，且是直線y=2x+6，y=2x-6中某條直線上的一點.若△APD為等腰直角三角形，則點D的坐標(biāo)為______.

(2010年浙江省義烏市數(shù)學(xué)中考試題)

圖13 圖14 圖15

設(shè)計意圖如圖14，∠DAP的直角頂點A在直線AD上，點A同時也在y軸上，為了方便求點D坐標(biāo)，把“一線”選擇為y軸，即過點D,P做y軸的垂線段，構(gòu)成K字型全等基本圖形.如圖15，當(dāng)點D在直線y=2x-6上時，選擇過點D1的水平線l1來做為基本圖形中的“一線”，構(gòu)造K字型基本圖形.通過此題多種情況的討論，運用多種不同方法的構(gòu)造K字型全等三角形，進一步增強學(xué)生構(gòu)造K字型全等圖形在綜合題中的應(yīng)用.

3 K字型相似

3.1 一線3個直角

如圖16，將含30°角的直角三角板的直角頂點C落在直尺的邊上，旋轉(zhuǎn)三角板，并保證直角頂點C在直尺邊上，在轉(zhuǎn)動的過程中，直角頂點C的左、右2側(cè)互余的那對銳角還存在嗎？

如果從斜邊的2個端點A,B向直尺的邊所在的直線作垂線段，是否還存在一對相等的斜邊？所構(gòu)成的Rt△AEC與Rt△BFC還全等嗎？如果不全等，它們又是什么關(guān)系？

圖16 圖17

如圖17，通過旋轉(zhuǎn)另一塊直角三角形，即只提供3個直角，削弱了斜邊對應(yīng)相等的條件，從而由K字型全等自然的過渡到K字型相似的基本圖形.

條件∠AEC=∠ACB=∠BCF= 90°，且3個直角都在同一直線上.

小型緊湊化是高功率脈沖驅(qū)動源的一個重要發(fā)展方向[1-4]，能夠產(chǎn)生近似方波脈沖的Marx發(fā)生器受到了廣泛關(guān)注[5-8]。一般將傳統(tǒng)Marx發(fā)生器中的電容器改為脈沖形成網(wǎng)絡(luò)，可使發(fā)生器輸出近似方波脈沖，再將各級脈沖形成網(wǎng)絡(luò)以Marx發(fā)生器的形式進行疊加，即可達到增加輸出功率、大幅減小脈沖驅(qū)動源體積的目的。

練習(xí)4如圖18，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO為矩形，點B的坐標(biāo)為(8，4)，把△OBC沿著對角線OB翻折，求點C的對應(yīng)點C′的坐標(biāo).

圖18 圖19

解得

3.2 一線3個等角

如圖20，如果把直角三角板45°角的頂點C放在直尺的邊上，轉(zhuǎn)動三角板，并保證45°角的頂點C始終在直尺邊上，請問∠ACB左、右2側(cè)的2個角之和是多少？在三角板轉(zhuǎn)動的過程中，這個值是否會發(fā)生變化？

圖20 圖21

如圖21，2塊等腰直角三角板疊放，使得點D,C,E都在直尺邊上，∠FDC,∠ACB∠GEC這3個角在大小上有什么關(guān)系？△FDC與△GEC有什么關(guān)系？

分析有了前面的鋪墊，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)由∠GCE=∠DFC，∠FDC=∠GEC，得△FDC∽△GEC.

請學(xué)生整理圖21中的條件、結(jié)論(寫成已知、求證的形式)及相應(yīng)的證明過程.

條件∠FDC=∠FCG=∠GEC=45°，且這3個角的頂點在同一直線上.

思考如果把這同一直線上的3個角換成60°或30°，那么還能得到如上的K字型相似三角形嗎？如果換成其他銳角呢？

若教師只是停留在實踐的層面，而未能引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中建構(gòu)起相應(yīng)的數(shù)學(xué)對象的心理表征，則很難發(fā)展真正的數(shù)學(xué)思維.因此，在動手操作過程中，相對于具體的實物操作活動，教師更應(yīng)強調(diào)“操作活動的內(nèi)化”，用操作活化、深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一般性的數(shù)學(xué)規(guī)律，才能真正發(fā)揮實踐的價值.

練習(xí)5如圖22，在等邊△ABC中，D為BC上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，則△ABC的邊長為______.

(2010年遼寧省沈陽市數(shù)學(xué)中考試題)

此題在等邊三角形的背景下滿足“一線：BC，3個等角：∠ABD=∠ADE=∠EDC=60°”，得到△BAD∽△CDE.學(xué)生運用相似性質(zhì)進行推理和計算不難得出結(jié)果.

圖22 圖23

練習(xí)6如圖23，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，D是BC上一個動點(不與點B,C重合)，在AC上取點E，使∠ADE=45°.

(1)求證：△ABD∽△DCE；

(2)設(shè)BD=x，CE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)x為何值時，△ADE是等腰三角形？

(2005年湖南省岳陽市數(shù)學(xué)中考試題)

此題的3個小題各有特點，卻又緊密相聯(lián)：第(1)小題學(xué)生只要能識別“一線：BC,3個等角：∠ABD=∠ADE=∠ECD=45°”,得到△BAD∽△CDE的K字型相似即可；第(2)小題與第(1)小題緊密相聯(lián)，運用第(1)小題中的對應(yīng)邊成比例即可解決；第(3)小題的關(guān)鍵是分類討論，要考慮等腰的幾種不同情況.

設(shè)計意圖在實際操作中，學(xué)生容易將三角板的其他頂點放在直尺的邊上，很自然地從直角遷移到45°，30°，60°的情形，繼而推廣到更一般角的情形，體現(xiàn)了特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.通過類比探究，把K字型基本圖形由全等推廣到相似,再到普通相似.

4 辨別真?zhèn)?/h2>

在課本中利用相似三角形測量樹高的例子中，雖然最后也能抽取出如圖24所示的英文字母K，但是通過與K字型相似基本圖形的比較，發(fā)現(xiàn)兩者的構(gòu)成條件不同，結(jié)論也不同.

練習(xí)7圖25是小明設(shè)計用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖，點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處.已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB=1.2 m，BP=1.8 m，PD=12 m，那么該古城墻的高度是______m.

(2008年浙江省金華市數(shù)學(xué)中考試題)

圖24 圖25

與測量樹高相似，只是一對相等的直角，一對相等的銳角，邊的對應(yīng)是平行對應(yīng).

思考這個相似圖形與前面我們說的K字型相似有什么異同點呢？

共同點：△ABP∽△CDP都處在直線BD的同側(cè).

設(shè)計意圖此題意在讓學(xué)生進一步明確，K字型相似圖形中邊的對應(yīng)性，與測量樹高、利用光的反射得到相似三角形邊的對應(yīng)性不同.而這個測量樹高也來源于課本，與本節(jié)課的起點也來源于課本遙相呼應(yīng)，再次引導(dǎo)學(xué)生挖掘課本例題和習(xí)題，玩好手中的學(xué)具，多思考、多探索問題的本質(zhì).

總之，教師在復(fù)習(xí)課中揭示一般性的規(guī)律時，不妨從學(xué)生的身邊實際出發(fā)，從學(xué)生熟悉的學(xué)具出發(fā)，從學(xué)生感興趣的游戲出發(fā)，讓實踐給枯燥的復(fù)習(xí)課注入鮮活的元素，把實踐與學(xué)生的思維活動、語言表達有機地結(jié)合起來，同時注重實踐的“內(nèi)化”，重視“動態(tài)”實踐后“靜態(tài)”的數(shù)學(xué)思考.尤其在數(shù)學(xué)教學(xué)中要把握學(xué)生動手實踐的契機，并由此延伸開來，既把握內(nèi)涵，又涵蓋外延，這樣才能保證實踐的效果，才能提高復(fù)習(xí)課教學(xué)的有效性.

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