高先龍, 陳 捷， 陳阿海

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

一維費米原子系統(tǒng)中的拓?fù)涑骱蚆ajorana費米子*

高先龍, 陳 捷， 陳阿海

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

通過數(shù)值求解Bogoliubov de Gennes方程，研究了具有自旋軌道耦合作用的一維費米晶格系統(tǒng)的性質(zhì).結(jié)果表明:在有限的自旋軌道耦合下和一定的磁場強(qiáng)度時，系統(tǒng)具有零能,此時的準(zhǔn)粒子即為Majorana費米子.準(zhǔn)無序效應(yīng)研究表明，Majorana費米子不會被弱準(zhǔn)無序所破壞.

拓?fù)涑?；光晶格；Majorana費米子;零能；準(zhǔn)無序

0 引 言

自1995年超冷原子的玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)實現(xiàn)以來,原子冷卻、捕獲和操縱的技術(shù)得到進(jìn)一步的發(fā)展.目前,實驗人員利用光學(xué)晶格可以很“干凈”地模擬和仿真出凝聚態(tài)物理系統(tǒng)中的許多模型,例如強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的Hubbard模型[1]和無序體系中的Anderson模型等[2].如今,在冷原子實驗中可以實現(xiàn)單原子分辨技術(shù),可以對幾乎全部實驗參數(shù)進(jìn)行大范圍調(diào)節(jié),可以人造規(guī)范場,實現(xiàn)有效磁場[3]、自旋-軌道耦合等等[4].這些技術(shù)的發(fā)展也給理論工作者提出了更多的機(jī)遇和更大的挑戰(zhàn),由此引發(fā)了更深更廣的探索.本文的主要目的就是利用冷原子實驗中實現(xiàn)的自旋軌道耦合效應(yīng),討論可能出現(xiàn)的拓?fù)涑骱蚆ajorana費米子,以及其中的無序效應(yīng).在論述主要研究內(nèi)容之前,先介紹一下拓?fù)涑?、Majorana費米子、p-波超導(dǎo)及其研究背景.

隨著2005-2006年量子自旋霍爾效應(yīng)的理論預(yù)言[5]及隨后的實驗觀察[6],一類能夠?qū)崿F(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng)的量子拓?fù)鋺B(tài)——拓?fù)浣^緣體開始受到廣泛關(guān)注,并在理論與實驗兩方面都取得了重要突破.拓?fù)浣^緣體從本質(zhì)上區(qū)別于任何已知的物態(tài),是一種新的量子物態(tài),擁有重要的科學(xué)意義.它的體元激發(fā)由于能隙的存在而沒有載流子運動,屬于絕緣體,但在系統(tǒng)的邊緣處具有受拓?fù)浔Ｗo(hù)的無能隙邊緣激發(fā),導(dǎo)致載流子得以在樣品的邊界處傳導(dǎo).無能隙邊緣激發(fā)是具有非阿貝爾統(tǒng)計的任意子(anyons),類似于填充υ=5/2分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的Pfaffian態(tài).后者的產(chǎn)生需要外加磁場,破壞了時間反演對稱性,而拓?fù)浣^緣體中的表面電子結(jié)構(gòu)源于體材料中非常強(qiáng)的自旋軌道耦合效應(yīng),受到時間反演對稱性的保護(hù),是一種拓?fù)湫驊B(tài).因而,它的表面態(tài)與表面的具體結(jié)構(gòu)無關(guān),完全是由材料的體電子態(tài)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所決定.拓?fù)鋺B(tài)的分類可由拓?fù)淞孔訑?shù)決定[7],其方式不同于Landau對稱破缺的范式.

具有非零拓?fù)鋽?shù)的邊界態(tài)的存在對有限體系來說是非常重要的[8].當(dāng)向拓?fù)湫驊B(tài)引入某種對稱性破缺時,就有可能激發(fā)出新奇量子現(xiàn)象,并導(dǎo)致與之相關(guān)的量子器件的問世[9].2008年,Fu等[10]論證了拓?fù)浣^緣體和普通的s-波超導(dǎo)體的結(jié)合體,利用鄰近效應(yīng)(proximity effect)產(chǎn)生s-波超導(dǎo)配對電子,其界面電子的性質(zhì)類似于p-波超導(dǎo)體,因此也可以有Majorana 費米子:一種反粒子就是它本身的粒子(由意大利物理學(xué)家Ettore Majorana于1937年提出).在此類體系中產(chǎn)生Majorana 費米子的關(guān)鍵是拓?fù)浣^緣體表面態(tài)的強(qiáng)自旋軌道耦合作用,以及表面態(tài)處Kramer簡并的破壞.也可進(jìn)一步把拓?fù)浣^緣體和磁性薄膜結(jié)合,如最近的實驗,在超導(dǎo)材料——NbSe2單晶表面,以分子束外延法生長出拓?fù)浣^緣體薄膜——Bi2Se3,從而形成了Bi2Se3/NbSe2復(fù)合材料體系.此體系具有超導(dǎo)態(tài)與拓?fù)湫驊B(tài)共存的特點,為探尋Majorana費米子和進(jìn)一步調(diào)控拓?fù)浣^緣體的拓?fù)潆娮討B(tài)找到了重要的突破口[11-12].2000年,Read等[13]指出二維體系中無自旋的費米子通過p-波超導(dǎo)耦合的低能激發(fā)(所謂Bogoliubov準(zhǔn)粒子)是Majorana費米子.Kitaev[12]進(jìn)一步論證了一維p-波超導(dǎo)體的兩端也會出現(xiàn)Majorana費米子,但是在如今的實驗材料中,穩(wěn)定的p-波超導(dǎo)體很難找到.2010年,Sau的研究團(tuán)隊[14]意識到半導(dǎo)體二維電子氣中也有強(qiáng)自旋軌道耦合,所以他們進(jìn)一步簡化Fu等的模型,不用拓?fù)浣^緣體,代之以更常見的半導(dǎo)體材料,并通過磁場破壞時間反演對稱性,從而也得到類似于p-波超導(dǎo)體的Majorana費米子模型.結(jié)合Kitaev的工作,一個自然的想法就是用半導(dǎo)體量子線加上超導(dǎo)體來實現(xiàn)一維的p-波超導(dǎo)體,而其邊界就會出現(xiàn)要尋找的Majorana費米子.很快在實驗中[15]把一根半導(dǎo)體量子線放在一塊s-波超導(dǎo)體上,通過鄰近效應(yīng)在量子線中誘導(dǎo)出s-波配對,然后加上一個平行于量子線的塞曼磁場來破壞時間反演.實驗上能夠調(diào)節(jié)的參數(shù)是磁場的強(qiáng)度和半導(dǎo)體線中的費米能.當(dāng)這2個參數(shù)滿足一定的條件時,量子線的兩端就會出現(xiàn)零能量的Majorana費米子.

目前實現(xiàn)Majorana費米子的方案有:1)一維p-波超導(dǎo)體;2)二維px+ipy體系;3)拓?fù)浣^緣體和超導(dǎo)體組成的異質(zhì)結(jié);4)自旋軌道耦合的半導(dǎo)體和超導(dǎo)體組成的異質(zhì)結(jié).那么，還可以在哪些材料或系統(tǒng)中找到Majorana費米子呢?近來，隨著人造規(guī)范場的誕生,人們開始對冷原子體系中的自旋軌道耦合產(chǎn)生了興趣[4].在冷原子體系中,利用拉曼光實現(xiàn)人造規(guī)范場,隨時間變化的人造規(guī)范場可以模擬電場,隨空間變化的人造規(guī)范場可以模擬磁場[3].有學(xué)者利用人造規(guī)范場在玻色系統(tǒng)中通過非Abelian人造規(guī)范場產(chǎn)生了自旋軌道耦合效應(yīng)[3].文獻(xiàn)[16]用40K和文獻(xiàn)[17]用6Li在費米體系中也實現(xiàn)了等權(quán)的Rashba-Dresselhaus自旋軌道耦合效應(yīng).這樣人們不僅可以在冷原子體系中量子模擬具有自旋軌道耦合的固態(tài)系統(tǒng),還可以在冷原子實驗中實現(xiàn)和操縱更多固態(tài)體系中不存在的結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)[18].

由上所述,不用固體系統(tǒng)中的納米線結(jié)構(gòu),也可以用一維具有自旋軌道耦合的費米原子氣,加上誘導(dǎo)出的s-波超流和改變不同精細(xì)結(jié)構(gòu)粒子數(shù)目引入的有效磁場就可以實現(xiàn)對一維拓?fù)涑骱蚆ajorana配對的模擬.早期有用二維冷原子產(chǎn)生Majorana費米子的方案[19]。近期,文獻(xiàn)[20]提出利用光捕獲的一維費米原子氣來產(chǎn)生:通過光子反沖的光學(xué)拉曼躍遷耦合原子的2個態(tài),并誘導(dǎo)出有效自旋軌道耦合和有效磁場,再加上三維分子BEC背景誘導(dǎo)的s-波配對,從而得到一個類似于半導(dǎo)體量子線的模型;而Majorana費米子的檢測可用空間分辨的射頻譜(radio-frequency spectroscopy)測量局域態(tài)密度,類似于凝聚態(tài)體系中的掃描隧道顯微鏡技術(shù).最近，理論物理學(xué)家設(shè)計用二維具有自旋軌道耦合和超流的費米系統(tǒng)實現(xiàn)Majorana費米子[21-22],討論了準(zhǔn)一維體系帶來的新的物理[23];利用二維體系中拓?fù)涑飨嘀械臏u旋激發(fā)產(chǎn)生Majorana零模[24-28],用一維具有d-波超流的自旋軌道耦合系統(tǒng)操縱Majorana費米子[29],另外也討論了相互作用對一維費米體系中拓?fù)湎嗟挠绊慬30].目前，對于拓?fù)湫院蜔o序關(guān)系等方面及拓?fù)浔砻鎽B(tài)的弱局域化和反局域化的研究也已開展[31-32].通過討論一維p-波超導(dǎo)下準(zhǔn)無序強(qiáng)度驅(qū)動的拓?fù)涑骱蚆ajorana配對[31],發(fā)現(xiàn)了通過調(diào)節(jié)相移及密度調(diào)制的p-波超導(dǎo)線可出現(xiàn)零模的Majorana邊界態(tài).研究表明:拓?fù)涑鞯倪吔鐟B(tài)由于其非局域的拓?fù)湫圆皇芫钟蛉鯚o序所干擾,強(qiáng)局域無序可導(dǎo)致拓?fù)浞瞧椒驳慕^緣行為,稱為拓?fù)銩nderson絕緣體[33],冷原子中產(chǎn)生的speckle無序具有空間關(guān)聯(lián)性,為長程無序,長程無序的體系具有不同的拓?fù)銩nderson絕緣體性質(zhì)[34〗[35],是個重要的課題.

相比于凝聚態(tài)體系,冷原子系統(tǒng)具有一些優(yōu)勢,如:可產(chǎn)生長量子線,從而實現(xiàn)空間上分離的具有長距離量子關(guān)聯(lián)的Majorana費米子對,這樣就保證量子計算中的比特數(shù)據(jù)不受外界的干擾;對三維空間的1個或2個維度進(jìn)行強(qiáng)束縛可以實現(xiàn)二維或一維系統(tǒng);相互作用可調(diào);雜質(zhì)可控:單雜質(zhì),準(zhǔn)無序,以及speckle無序等在實驗上的實現(xiàn)都很成熟.本文通過對具有自旋軌道耦合的一維晶格系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值研究,結(jié)果表明:在磁場強(qiáng)度滿足一定條件時,系統(tǒng)可以出現(xiàn)Majorana費米子,此Majorana費米子對無序具有較強(qiáng)的免疫力.

1 理論模型

筆者將主要考慮受限的具有自旋軌道耦合作用的費米氣,如進(jìn)一步在y-z平面方向加上強(qiáng)二維光晶格,就會形成很多沿x方向的一維束叢,在其中的一束,原子運動可看成一維的,此方向運動的原子可以用諧振勢、量子環(huán)或hard-wall來束縛.如在此方向再加光晶格則可形成一維的晶格系統(tǒng).自旋軌道耦合可由一對耦合2個自旋態(tài)且方向相反的拉曼光來產(chǎn)生,拉曼光沿x方向.以連續(xù)體系為例,這樣的準(zhǔn)一維體系可由單通道的模型哈密頓量

來描述.式(1)中:

Hint=gdxΨ+↑(x)Ψ+↓(x)Ψ↓(x)Ψ↑(x).

(3)

式(1)和式(2)中：σ=↑,↓表示2個超精細(xì)態(tài);Ψσ(x)為x方向質(zhì)量為m、自旋為σ的費米場消滅算符;ΩR是拉比頻率，描述兩光子拉曼光的耦合強(qiáng)度;kR=(2π)/λR由2束激光的波長λR確定,因此,2?kR為散射中的動量轉(zhuǎn)移;μ(x)用于描述相應(yīng)的化學(xué)勢,雜質(zhì)或無序(可為x的函數(shù));Vtrap(x)=(mω2x2)/2描述軸向的諧振束縛勢.為了進(jìn)一步明確兩光子拉曼散射帶來的自旋軌道耦合,引入局域規(guī)范變換以消除拉曼耦合項中的空間依賴性,

這樣原哈密頓量則變?yōu)?/p>

哈密頓量(5)變?yōu)?/p>

若在x方向加一足夠深的光晶格,并用Wannier函數(shù)展開,則可得到相應(yīng)具有自旋軌道耦合的晶格體系的模型哈密頓量,

具體每一項為

式(10)中的4項分別描述格點間的動能躍遷同格點的相互作用,自旋軌道耦合和Zeeman場、強(qiáng)度分別為t,U,αR,h.這里的μi可用于描述化學(xué)勢、雜質(zhì)、無序或束縛勢.

對于光晶格中的雜質(zhì)問題,在實驗中有很多辦法可以操控,如用去共振的渦旋激光場或另一種原子或離子來產(chǎn)生單個雜質(zhì),利用激光照射到擴(kuò)散板上產(chǎn)生隨機(jī)分布的speckle無序或通過另一對激光產(chǎn)生準(zhǔn)無序.一維體系由在橫向的y-z方向上加很強(qiáng)的二維光晶格來產(chǎn)生,此時可在x方向加額外的諧振束縛原子,或加一光晶格,從而分別實現(xiàn)連續(xù)空間和離散空間的準(zhǔn)一維Fermi體系.自旋軌道耦合可用前面提到的非Abelian人造規(guī)范場技術(shù)來產(chǎn)生.所以,在目前的冷原子實驗中實現(xiàn)Hcom0,Hdis0這2種體系是可行的.

本文主要研究光晶格體系所描述的具有自旋軌道耦合的低維混合費米冷原子氣系統(tǒng),探討其中的拓?fù)涑餍?Majorana費米子的形成和操縱,準(zhǔn)無序?qū)w系量子相的影響,特別是拓?fù)湎嗟挠绊?

2 數(shù)值結(jié)果及討論

首先研究方程(10)在配對超流的近似下,

系統(tǒng)的能譜特征,其中Δi描述了格點i處吸引相互作用誘導(dǎo)的s-波配對強(qiáng)度.引入Bogoliubov de Gennes (BdG)變換,可得到BdG方程:

式(12)中,

圖1是均勻配對強(qiáng)度下系統(tǒng)的能譜隨磁場的變化圖,系統(tǒng)具有hard-wall,其他的參數(shù)為Δ=0.5,μ=-1,αR=1,L=100(在計算中取能量單位t=1,晶格常數(shù)a=1).從圖1中可以看出,系統(tǒng)的能譜具有粒子-空穴對稱性.在有限的s-波配對能隙假設(shè)下,能量中正的部分在hc1=1.2處下降到零,并在hc2=3處再次上升,即系統(tǒng)在hc1≤h≤hc2處出現(xiàn)零能,零能的出現(xiàn)意味著系統(tǒng)中的準(zhǔn)粒子可能是Majorana費米子,筆者將畫出其波函數(shù),并數(shù)值證明其即為Majorana費米子.

在這個系統(tǒng)中,可能的Majorana費米子的出現(xiàn)需要2個條件:存在自旋軌道耦合和磁場,自旋軌道耦合消除Kramer簡并,而磁場則破壞了時間反演對稱性.其中自旋軌道耦合強(qiáng)度的大小對Majorana費米子的出現(xiàn)并沒有太大的影響,如圖2所示,αR=1,2,3,5對應(yīng)著相同的臨界磁場強(qiáng)度.

圖1 均勻配對強(qiáng)度下系統(tǒng)的能譜隨磁場的變化圖 圖2 能隙和磁場的變化關(guān)系

為了驗證零能對應(yīng)著Majorana費米子的出現(xiàn),筆者引入Majorana算符,

滿足γA+iσ=γAiσ,γB+iσ=γBiσ.以此可得到相應(yīng)Majorana費米子的波函數(shù),其與BdG方程本征態(tài)的關(guān)系為

圖3給出了最低能態(tài)n=1對應(yīng)的自旋向上(圖3(a))和向下(圖3(b))的一對Majorana費米子的波函數(shù),可以看出它們分別局域在系統(tǒng)的左邊界和右邊界處.

Majorana費米子對無序有很強(qiáng)的抵抗力.這里討論冷原子實驗中可以實現(xiàn)的準(zhǔn)無序效應(yīng),

3 結(jié) 論

本文系統(tǒng)介紹了量子自旋霍爾效應(yīng)、Majorana費米子、拓?fù)浣^緣體、p-波超導(dǎo)體和s-波超流的Majorana費米子等概念以及自旋軌道耦合作用對拓?fù)淞孔佑嬎愕闹匾饬x.

通過對具有自旋軌道耦合的一維s-波超流費米體系的研究,表明體系在2個臨界的磁場范圍內(nèi)存在零能區(qū),其對應(yīng)的準(zhǔn)粒子是Majorana費米子,自旋軌道耦合的強(qiáng)度對出現(xiàn)Majorana費米子的參數(shù)范圍影響較小,Majorana費米子對準(zhǔn)無序具有很強(qiáng)的免疫力.所以,具有自旋軌道耦合的冷原子系統(tǒng)可以用來驗證Majorana費米子的存在,從而提供一個進(jìn)行量子計算的可操作體系.

今后的研究將涉及到態(tài)密度分布、無序參與度等的計算并以此確定準(zhǔn)無序的V0-h相圖.其他有意義的研究還包括:不同無序如長程無序和磁雜質(zhì)或無序?qū)ο鄨D的影響;一維體系中的邊界遷移率問題;相互作用對Majorana費米子的影響等等.

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(責(zé)任編輯 杜利民)

TopologicalsuperfluidandMajoranafermionsinone-dimensionalfermionicatomicsystems

GAO Xianlong， CHEN Jie, CHEN Ahai

(CollegeofMathematics，PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was studied the properties of one-dimensional fermionic atomic systems of spin-orbital couplings by means of numerically solving the Bogoliubov de Gennes equations. It was showed that, under the finite spin-orbital coupling strength and strong enough magnetic field, the system would be of zero energy, which behaved as the Majorana fermions. The effects of the quasi-disorder on the Majorana wave functions were also studied, which had little influence on the localization of the Majorana fermions.

topological superfluid; optical lattice; Majorana fermions; zero energy; quasi-disorder

O562.4

A

1001-5051(2013)04-0372-07

2013-06-03

國家自然科學(xué)基金資助項目(11174253)

高先龍(1973-),男,安徽肥西人,教授,博士.研究方向:低維強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系.