翟 峰， 汪 娟

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

基于石墨烯塊材料的谷過濾器*

翟 峰， 汪 娟

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

綜述了石墨烯谷電子學(xué)的部分研究進(jìn)展；探討了在二端石墨烯塊材料中產(chǎn)生谷極化電流的可能性.在塊材料中，有2種與谷自由度直接耦合的勢能：應(yīng)變產(chǎn)生的贗矢量勢和依賴于子晶格的靜電勢(交錯勢能).對稱性分析表明，僅靠這2種勢能的作用不能產(chǎn)生谷極化的輸出電流.若將這2種勢能分別和普通的磁電壘聯(lián)合，就能獲得顯著的谷過濾效應(yīng).利用交錯勢能和磁電壘聯(lián)合調(diào)制產(chǎn)生的谷電流可通過逆谷Hall效應(yīng)測量.

石墨烯；谷電子學(xué)；谷過濾器；應(yīng)變；交錯勢能

0 引 言

石墨烯中的電子具有多個內(nèi)稟自由度，除了通常的自旋和電荷自由度外，還包括谷自由度(源于2個不等價的Dirac點(diǎn))和贗自旋自由度(源于2套不等價的子晶格).借鑒半導(dǎo)體電子學(xué)中對電子自旋自由度的研究思路[1]，石墨烯能帶的二重谷簡并特性已被用于設(shè)計電子器件,谷電子學(xué)應(yīng)運(yùn)而生.石墨烯的2個谷(K和K′ 谷)由時間反演操作聯(lián)系在一起.石墨烯塊材料中“谷”間散射源于短程無序勢(附加原子、點(diǎn)缺陷等)，其平均自由程可達(dá)到1 μm.谷電子學(xué)的基本問題之一是如何產(chǎn)生谷極化的電子分布.基于具有zigzag邊界的石墨烯條帶和靜電調(diào)制，Beenakker研究小組[2]設(shè)計了一種只允許某個谷的電子通過的器件.2個平行排列的“谷”過濾器則構(gòu)成1個“谷”閥門.“谷”閥門的電流抑制源于zigzag型石墨烯條帶中電子隧穿的宇稱效應(yīng).K和K′谷在zigzag型條帶中是獨(dú)立的，在armchair型條帶中混合在一起.2種納米條帶的雜合提供了一種調(diào)制谷極化的可能途徑[3].這些設(shè)計方案需要精確控制石墨烯條帶的邊界,很難得到廣泛應(yīng)用.在遠(yuǎn)離Dirac點(diǎn)處，由于石墨烯能譜的三角彎曲效應(yīng)，電子的群速度依賴于谷自由度.這個特性可用于產(chǎn)生高度谷極化的電子束[4].

以上這些研究都側(cè)重于谷極化的電場控制.本文將基于石墨烯塊材料，探討谷極化的磁場調(diào)控.這種研究思路可移植到硅烯、MoS2等新興材料中.

1 模型和公式

磁場在自旋電子學(xué)[1]和谷電子學(xué)中扮演的角色不同.在自旋電子學(xué)中,磁場是控制自旋的常用手段.外磁場可通過塞曼效應(yīng)極化電子自旋，在具有大因子的半導(dǎo)體中,這種自旋-磁場耦合作用表現(xiàn)更為明顯.對于方向隨空間變化的非均勻磁場，電子的不同自旋分量還會發(fā)生混合.相比之下，石墨烯中的谷間散射和能級的谷劈裂即使在磁場達(dá)到104T時也可以忽略.自旋電子學(xué)中的自旋軌道耦合提供了一種通過改變載流子的軌道運(yùn)動來調(diào)節(jié)其自旋態(tài)的途徑.當(dāng)二端波導(dǎo)體系的輸出端處于單通道輸運(yùn)區(qū)時，由于時間反演對稱，單獨(dú)靠自旋軌道耦合不能在波導(dǎo)體系中產(chǎn)生自旋極化[5].在谷電子學(xué)中，有2種機(jī)制類似于自旋電子學(xué)中的自旋軌道耦合，它們是平面應(yīng)變和子晶格依賴的靜電勢UAB.

由哈密頓 (1) 配合適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件可構(gòu)成一個散射問題.它的求解通常比較復(fù)雜.本文只考慮體系沿某個方向平移不變的簡單情形.若將這個方向取為y軸，則動量分量py=?ky守恒.對位于τ谷、能量為E、橫向波矢為ky的電子，其波函數(shù)可寫為[11]

式(2)中：旋量ψτ(x,ky)滿足Hτ(ky)ψτ(x,ky)=Eψτ(x,ky)；τ谷電子的哈密頓量Hτ為

對此散射問題，電子的透射幾率T=Tτ(E,ky)可通過散射矩陣的數(shù)值方法[12]來計算.對于給定的費(fèi)米能EF，在低溫TK(絕對溫度的單位為E0/kB)下，谷相關(guān)的電導(dǎo)表達(dá)式為

式(4)中:f(E)={1+exp[(E-EF)/TK]}-1是費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù);Tτ(E,ky)=|tτ(E,ky)|2為透射幾率;Ly是樣品沿y方向的尺寸.以下數(shù)值計算中將電導(dǎo)單位取為G0=e2Ly/(2π2?).體系的總電導(dǎo)和谷極化的表達(dá)式為

2 對稱性分析

當(dāng)磁壘不存在時，哈密頓量(3)滿足對稱性[13]

這意味著Tτ(E,ky)=T-τ(E,-ky)，即K′谷電子的透射譜可由K谷電子的透射譜經(jīng)過相對ky=0 的鏡像對稱操作得到.結(jié)合式(4)～式(5)，給出谷極化P=0.因此，對我們考慮的體系，磁壘是產(chǎn)生谷極化的必要條件，僅靠彈性形變和交錯勢不能夠在二端石墨烯器件中產(chǎn)生谷極化.值得指出的是，若不施加局域磁場和應(yīng)變場，則τ谷電子的透射譜自身相對ky=0具有鏡像對稱[14]，即

當(dāng)磁壘和襯底應(yīng)變同時作用到石墨烯薄膜上時，K谷和K′谷在倒空間將發(fā)生大小不相等的位移.這足以產(chǎn)生谷過濾.不施加應(yīng)變，僅靠磁壘和均勻的交錯勢UAB能否產(chǎn)生谷極化?為了回答這個問題，筆者寫出ψτ=(ψτ+,ψτ-)T的2個分量在ASy≡0時滿足的微分方程[13]

當(dāng)?xUAB=?xU=0時，F(xiàn)±τ=0，方程(10)與谷指標(biāo)無關(guān).因此,這種情形不能產(chǎn)生谷極化.若想利用磁壘和均勻的交錯勢產(chǎn)生谷極化，還需靜電調(diào)制(?xU≠0).

3 數(shù)值結(jié)果和討論

以2個簡單的體系為例，說明利用應(yīng)變場與局域磁場的組合、交錯勢能與局域磁場的組合來產(chǎn)生谷過濾的可行性.

圖1 給出了第1個體系的結(jié)構(gòu)示意圖,應(yīng)變發(fā)生在寬度為LS的區(qū)域.寬度為LS的鐵磁條沉積在介電層(圖中的灰色層)上，產(chǎn)生局域磁場.這是一個應(yīng)變石墨烯谷過濾器，局域磁場由磁化強(qiáng)度沿x軸的鐵磁條產(chǎn)生.為簡單起見，相應(yīng)的磁矢勢以及應(yīng)變產(chǎn)生的規(guī)范勢近似取為

式(11)中:AM和LM分別表示磁勢壘的強(qiáng)度和寬度;xM=LS+D;D是磁勢壘和應(yīng)力區(qū)間的距離;Θ(x)是Heaviside臺階函數(shù).標(biāo)量勢U在應(yīng)力區(qū)和磁壘區(qū)的高度均為US，在其他區(qū)域?yàn)榱?為了減少可調(diào)參數(shù)的數(shù)目，統(tǒng)一選取結(jié)構(gòu)參數(shù)為LM=LS=D=1，設(shè)定磁壘高度AM=2.

圖1 應(yīng)變石墨烯谷過濾器

圖2 電子透射幾率隨入射能量和入射角的變化

圖2給出了谷相關(guān)的透射幾率Tτ隨入射角θ=arcsin(ky/E)和入射能量E的變化.圖2中,US= 3，應(yīng)變強(qiáng)度AS從上到下分別取值4，2，1.從圖2中觀察到透射幾率的角各向異性和共振隧穿.這可從磁壘和應(yīng)力區(qū)域存在的衰減模來理解[15].由于這種情況對矢勢分布有很強(qiáng)的依賴性，所以K和K′谷的電子透射譜會有很大的差異.實(shí)際上，在圖2中也看到,入射能量E在某些范圍內(nèi)，K谷的電子能夠在很寬的θ區(qū)域內(nèi)透射穿過系統(tǒng)，而K′谷的電子卻在所有的θ區(qū)域內(nèi)全部反射回去.電子傳輸也可以由應(yīng)變強(qiáng)度AS來調(diào)制.AM遠(yuǎn)大于AS的情況下，傳輸?shù)母飨虍愋灾饕纱艅菀?當(dāng)AS遠(yuǎn)大于AM時，傳輸?shù)母飨虍愋詣t主要由應(yīng)變引起.這種特征可由E<0的傳輸譜看出.在給定的參數(shù)條件下，對正能量入射，AS=AM時,K谷和K′谷的電子傳輸差別最顯著.

圖3 谷相關(guān)的電導(dǎo)和谷極化隨費(fèi)米 能量EF 的變化(溫度TK = 0.5)

圖3是針對圖1中的體系計算谷相關(guān)的電導(dǎo)和谷極化隨費(fèi)米能量EF的變化.K谷和K′谷的電子傳輸差異在電導(dǎo)上也可以反映出來.圖3給出了谷相關(guān)的電導(dǎo)和相應(yīng)的谷極化曲線.共振傳輸?shù)拇嬖谑沽銣仉妼?dǎo)存在強(qiáng)烈的振蕩.這種振蕩在相對高的溫度TK= 0.5時就被消除了.由圖2可知,EF<0 時,電導(dǎo)主要決定于max(AS,AM)，而且對谷的依賴比較小.因此,主要集中討論EF>0的情況.EF>US時,K谷電子的電導(dǎo)普遍大于K′谷電子的電導(dǎo).這個現(xiàn)象可以從磁壘區(qū)和應(yīng)力區(qū)狄拉克點(diǎn)的位置移動(δkM和δkS)來理解.在K谷，狄拉克點(diǎn)的位移δkM和δkS是同方向的，而在K′谷，位移δkM和δkS是反方向的.δkM和δkS平行移動的情況比反平行移動的情況具有更多的傳播通道.當(dāng)傳播通道被矢勢耗盡時，電導(dǎo)Gτ受到抑制.注意到在很寬的能量區(qū)域中，電導(dǎo)G+1顯著不為零而電導(dǎo)G-1接近零.基于這個特征，筆者提出的器件能過濾出K′ 谷的電流而產(chǎn)生谷極化電流.在總電導(dǎo)比較顯著的某些區(qū)域可得到超過80%的谷極化.類似于自旋流，谷電流在線性響應(yīng)區(qū)可由ΔG=G+1-G-1表征.在費(fèi)米能較高的區(qū)域ΔG隨EF變化很小，而此時極化P單調(diào)減小.

上述模型計算表明，利用應(yīng)變場與局域磁場的組合可在石墨烯塊材料中產(chǎn)生具有顯著谷極化的電流.改變應(yīng)變AS的符號或反轉(zhuǎn)鐵磁條的磁化方向都會改變谷極化的極性.如何探測輸出電流的谷極化？目前提出的探測機(jī)制有2種：1)石墨烯在正常區(qū)/超導(dǎo)區(qū)的Andreev反射[16]；2)石墨烯空間反演破缺時的逆谷Hall效應(yīng)[9].若利用這2種機(jī)制來探測圖 1 中體系產(chǎn)生的谷極化，都需另行設(shè)計精巧的實(shí)驗(yàn)裝置.這也是目前多數(shù)谷過濾方案面臨的問題.對谷電子學(xué)而言，最好能在同一個體系中實(shí)現(xiàn)谷極化的產(chǎn)生和探測.為此,筆者考慮均勻的交錯勢能與局域磁場的組合,在石墨烯的絕緣層上沉積鐵磁金屬條或超導(dǎo)金屬條可獲得所需的局域磁場.圖4是基于交錯勢和局域磁場調(diào)制的石墨烯谷過濾器，陰影區(qū)域?yàn)榻殡妼?輸出電流的谷極化可用逆谷Hall效應(yīng)測量.靜電調(diào)制由在金屬柵極上施加電壓產(chǎn)生,在樣品的兩側(cè)接上電壓探針.當(dāng)右側(cè)的輸出端電流存在谷極化時，電壓探針將發(fā)生偏轉(zhuǎn)[9].

圖4 交錯勢和局域磁場調(diào)制的石墨烯谷過濾器

圖5 電子透射幾率隨橫向波矢ky的變化

對圖4的體系，在磁場和電勢都是矩形分布的情形下，即

筆者可給出透射幾率的解析表達(dá)式.式(12)中的BS,US都是常數(shù)，BS>0,UAB>0.在磁壘區(qū)0

對給定的入射能E>UAB或E<-UAB，波矢ki,k0實(shí)際上不依賴于谷指標(biāo)τ.引入符號

其中Dp(X)是p階拋物圓柱函數(shù).τ谷電子的透射幾率可寫為

式(18)中:k-i=ki-ikyi；k+0=k0+iky0.這個表達(dá)式對谷指標(biāo)τ的依賴來自參數(shù)γτ.當(dāng)US=0時，顯然有T+=T-.這和前面的對稱分析是一致的.

對矩形的磁電壘，圖5 畫出了透射幾率(式18)隨橫向波矢ky的變化曲線.圖5中交錯勢能取為UAB=4，入射能量取為E=7，結(jié)構(gòu)參數(shù)為L=2，US=±15.5,BS=0,1,2,3.透射曲線相對ky=0是鏡像對稱的.這是因?yàn)?，?dāng)矢勢Ay(x)關(guān)于某條中心線x=xc呈反對稱分布(同時電勢呈對稱分布)時，操作σzRx將Hτ(ky)變?yōu)镠τ(-ky).此處Rx是反射操作x→2xc-x.當(dāng)BS=0時,透射幾率不依賴于谷指標(biāo) ,見圖5(a).從圖5(a)還可看出，當(dāng)US>2UAB，即電子發(fā)生帶間隧穿時，透射曲線上可能出現(xiàn)顯著的Fabry-P′erot共振峰.對小的BS，透射幾率的谷簡并被解除，原來的共振峰將發(fā)生劈裂.隨著磁壘高度BS的增大,見圖5(b)～圖5(d)，一些共振峰向|ky|大的方向移動并最終消失，T+,T-的差別可能增大.相對帶內(nèi)隧穿(US<0)而言，帶間隧穿(US>2Δ)可導(dǎo)致更顯著的谷差異.這可從γ±對磁壘和電壘高度的依賴關(guān)系來理解.由于零溫電導(dǎo)G±正比于T±對ky的積分，圖5(b)～圖5(d)展示的透射幾率曲線意味著非零的谷極化.

4 結(jié) 論

本文基于二端石墨烯塊材料，討論了谷極化電流產(chǎn)生的可能性.筆者考慮了2種谷相關(guān)的勢能：應(yīng)變產(chǎn)生的贗矢量勢和依賴于子晶格的靜電勢(交錯勢能).對稱性分析給出了利用這2種勢能產(chǎn)生谷極化的必要條件.通過2個具體模型的計算，發(fā)現(xiàn)這2種勢能和局域磁場、靜電勢能的聯(lián)合可能產(chǎn)生顯著的谷過濾效應(yīng).利用交錯勢能與磁電壘聯(lián)合調(diào)制產(chǎn)生的谷極化可通過逆谷Hall效應(yīng)測量.

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(責(zé)任編輯 杜利民)

Valleyfiltersbasedonbulkgraphene

ZHAI Feng, WANG Juan

(CollegeofMathematics，PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was reviewed some progresses in graphene valleytronics. The feasibility of generating a valley-polarized current in two-terminal bulk graphene systems was discussed. It was showed that there existed two kinds of potentials coupling directly with the valley degree of freedom: strain-induced pseudo vector potential and sublattice-dependent electrostatic potential (staggered potential). It was found from the symmetry analysis that the two potentials alone could not produce a valley polarization in the output current. It was also found that remarkable valley filtering could be achieved when electrons in bulk graphene were modulated by the combination of a conventional magnetic-electric barrier with either of the two potentials. The valley current obtained from the combination of a staggered potential and a magnetic-electric barrier could be detected by means of the inverse valley Hall effect.

graphene; valleytronics; valley filter; strain; staggered potential

O488；O484

A

1001-5051(2013)04-0386-06

2013-05-30

國家自然科學(xué)基金資助項目(11174252)

翟 峰(1976-)，男，湖北應(yīng)城人，副教授，博士.研究方向：理論凝聚態(tài)物理.