蔣永進， 徐 勇

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

若干介觀體系的散射矩陣對稱性質(zhì)的一些討論*

蔣永進， 徐 勇

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

散射矩陣是刻畫許多滿足量子相干性介觀體系的電子輸運性質(zhì)的重要理論工具.結(jié)合幾個介觀體系的量子力學散射問題，討論了體系的對稱性對散射矩陣對稱性的重要影響.幾個被討論的例子包括：1)滿足時間反演不變性的自旋軌道耦合體系；2)含單軸應(yīng)變的石墨烯(滿足中心反演對稱)體系；3)含有Majorana費米子(手征Majorana粒子的一維波導模式或Majorana束縛態(tài))的2個典型問題.從系統(tǒng)的對稱性推導散射矩陣的對稱性，進而對體系的輸運性質(zhì)得出一些定性的理解.在某些場合，依據(jù)散射矩陣的對稱性甚至可以對體系的電子結(jié)構(gòu)的拓撲性質(zhì)給出預(yù)言.

散射矩陣；對稱性；自旋軌道耦合；石墨烯；Majorana費米子

0 引 言

介于宏觀(μm尺度及以上)和微觀(原子尺度)之間的物理體系往往稱為介觀體系[1-3].一般地說，當一個實際的三維體系的3個尺度至少1個是介觀尺度的時候，即可以稱之為介觀體系.介觀體系的主要特點之一是電子在穿越體系時可以維持量子相干性.著名的Landauer-Buttiker理論[2]就是描述電子在介觀體系中的輸運過程的主要理論框架.在此理論中，導線被描述成無多體相互作用的半無限長的一維體系，在無限遠處與給定化學勢的電極相連.由無窮遠處的電極沿著導線入射的電子被介觀體系散射，經(jīng)由各導線至無窮遠處的各個電極，整個過程被描述成標準的量子力學散射問題.輸運過程的不可逆性完全在于各電極中的熱平衡效應(yīng)抹殺了入射到該電極的動量、相位和能量的信息[3].

對介觀體系的散射矩陣加以研究，是理解體系輸運性質(zhì)的中心問題.在很多研究工作中，人們往往把電導和各種非平衡物理量的計算用非平衡Green函數(shù)等理論工具來表達[2,4]，這樣可以幫助我們對較大的體系進行有效的疊代運算，甚至考慮體系的電子相互作用，而其缺點是可能掩蓋掉體系的某些對稱信息.在很多問題中，根據(jù)系統(tǒng)的對稱性直接導出散射矩陣的對稱性質(zhì)是很有幫助的[5-6]. 近年來，在對一些新材料，如石墨烯[7]、拓撲絕緣體的邊緣態(tài)[8-9]、含Majorana粒子的輸運性質(zhì)的研究中[10-11]，人們考慮的體系往往可以約化為一維散射問題.很多時候，這些問題中的散射矩陣本身可以嚴格求解出來，而對稱性的分析可以幫助我們更深地理解蘊含的物理內(nèi)容.最近的一些理論進展表明[12-13]，散射矩陣(往往是其反射子矩陣)的形式，甚至可以用來對體系的拓撲性質(zhì)進行一一的刻畫.

本文將結(jié)合筆者近些年的一些研究工作，以及文獻上的一些熱點問題，給出幾個體系的散射矩陣的對稱性分析，由此顯示，對散射矩陣的形式的研究，的確是我們認識各種介觀系統(tǒng)的一條重要途徑.

1 滿足時間反演不變性的自旋軌道耦合體系

1.1無自旋軌道耦合的普通導線[14]

考慮1個一維二端系統(tǒng).中間散射區(qū)域含有自旋軌道耦合相互作用，兩邊是理想的導線.在給定狀態(tài)的能量E下，在左右導線上，粒子的狀態(tài)可以一般地寫成本征態(tài)|dσ>的線性組合.其中，量子數(shù)d描述本征態(tài)(在坐標表象中為平面波形式)的速度方向，d=1表示右行波，而d=-1表示左行波；σ代表本征態(tài)的自旋量子數(shù)，在給定自旋z方向表象下，可取σ=1(記為↑)和σ=-1(記為↓).顯然，這些線性組合的系數(shù)就構(gòu)成(dσ)表象下的波函數(shù).在左右導線上，可分別將狀態(tài)波函數(shù)寫成如下形式:

式(1)～式(2)中:上標in或者out是散射過程的入射波和出射波;L和R則代表左右兩邊.筆者用a=(φinL↑,φinL↓,φinR↑,φinR↓)T作為入射波矢量，而用b=(φoutL↑,φoutL↓,φoutR↑,φoutR↓)T來構(gòu)成散射波矢量.根據(jù)散射矩陣的定義，散射矩陣S滿足

從而，

以上我們利用了S的幺正性.由式(3)，有

式(5)中：Θb=(-iσy)b*；Θa=(-iσy)a*.由于時間反演對稱性，ΘSΘ-1=S-1(注意Θ使入射波和出射波地位互換).從而

結(jié)合式(4)可得，

這就是Θ不變性對散射矩陣給出的對稱約束.為明確起見，以上筆者討論了只有左右2根導線的問題.其實對于存在任意根導線的體系(以及每根導線存在多個通道的情形)，照樣可以得到式(7).根據(jù)這個對稱性，可推得散射矩陣的一般形式[16]

式(8)中：Sαβ為散射矩陣在第α根導線和第β根導線之間的矩陣元；Uαβ為行列式等于1的二維方陣.對于體系只有2根單模導線的情形，可進一步證明Uαβ為SU(2)矩陣；rα,rβ和tαβ為散射和透射系數(shù).值得一提，上述的討論也可以推廣到導線本身含有自旋軌道耦合的情形,此外,對中間散射區(qū)沒有作任何幾何形狀、哈密頓量具體形式等的規(guī)定.

1.2導線為Helicalmetal的情形[8]

所謂一維Helical metal,就是指在一般的能量上只有1對互為時間反演的載流態(tài).最著名的例子就是二維自旋量子霍爾態(tài)(QSH)的邊界態(tài)[17].在無限長的QSH條帶的幾何結(jié)構(gòu)中，2個邊界距離較遠， 就可以分別看成是相互獨立的2根Helical導線.此外，普通的一維導線可以看成2根通向同一電極的Helical導線.這時，本質(zhì)上只是用不同的次序來標記載流態(tài)而已.

一般地，導線上的散射態(tài)波函數(shù)可寫為

定義a=(φinL,φinR)T和b=(φoutL,φoutR)T，可得式(3)和式(4),進一步對式(10)兩邊同時作用時間反演，可得

根據(jù)Θ不變性得

結(jié)合式(4)可得

以上推導依然可以直接地推廣到含有任意根Helical導線的情形.因此，在所有導線是Helical導線的散射問題中(普通導線亦可看成一對Helical導線)，散射矩陣是反對稱的.對奇數(shù)維的反對稱矩陣，有det(S)=0.結(jié)合散射矩陣的幺正性，可知|det(S)|=1.因此，可斷定含有奇數(shù)根Helical導線的散射問題是物理上不允許存在的.由此可得出一些重要的推論：二維和三維拓撲絕緣體的邊界/表面態(tài)必定是連通的[8].

2 單軸應(yīng)變的石墨烯納米力學共振體系中的散射問題

眾所周知，石墨烯的低能哈密頓量可由如下二維Dirac模型描述[18]：

x軸相對Zigzag方向轉(zhuǎn)動了θ角[18]圖1 懸掛在溝槽上的石墨烯的納米力學共振體系

考慮懸掛在溝槽上的石墨烯的納米力學共振體系(見圖1)[20].由于在高度方向的形變，低能下的有效模型[21]為

可以證明此時膺規(guī)范勢[20]為

可以證明此時體系具有中心反演對稱性

在x方向是無限的(x平移不變)幾何結(jié)構(gòu)中，可以對每個給定的kx求解一維散射問題.在兩端對稱的情況下，由式(18)可以證明

將振幅t,r代入絕熱泵浦電流的計算公式[22-23]，很容易得到如下對稱形式：

此即文獻[20]中的式(3).此處我們從中心反演對稱性得到這個結(jié)果，比文獻[20]中解析求解反射和透射系數(shù)的方法更加簡潔和直接.式(18)反映了中心反演對稱性對散射矩陣的約束.然而，在式b=Sa中，若對入射波和出射波各自作規(guī)范變換U和V(至少可以對不同的態(tài)做不同的U(1)規(guī)范),則S→VSU-1, 即可在表面上改變散射矩陣的對稱性.在文獻[20]中，有關(guān)散射系數(shù)的對稱性的式(16)并沒有直接體現(xiàn)中心反演對稱要求(注意若有rd(kx,θ)=r-d(kx,-θ)，結(jié)合文獻[20]中的式(10)，則可直接體現(xiàn)中心反演對稱性)，其原因正在于規(guī)范的選取(即波函數(shù)基的選取)沒有直接反映中心反演對稱性.

3 含Majorana費米子體系的輸運性質(zhì)

最近幾年，凝聚態(tài)物理學領(lǐng)域的一個最熱門話題之一是在凝聚態(tài)體系中制備和檢測Majorana費米子.在相對論量子力學中，Majorana費米子是滿足Dirac方程的實數(shù)解[24].從算符角度，它是一個電荷中性的厄米性粒子(其算符滿足γ+=γ,γ2=1).根據(jù)費米子代數(shù)，任一個費米子的產(chǎn)生/湮滅算符可以定義1對Majorana算符，分別對應(yīng)費米子算符的實部和虛部：f=(γ1+iγ2)/2.反過來，也可用

來定義1對Majorana算符.進而有iγ1γ2=2f+f-1.因此,由2個Majorana粒子總可以構(gòu)造一個普通的費米子.研究表明，在滿足粒子數(shù)不守恒的非常規(guī)超導(或超流)體系，有可能在體系的邊界、界面或渦旋中心等處存在零能的Majorana束縛態(tài).這種非常規(guī)超導體可稱為拓撲超導體[ 25-26].最近也有許多不同的方案，通過常規(guī)超導體與拓撲絕緣體的鄰近效應(yīng)[27-30]及超導體與處在外磁場中有自旋軌道耦合的半導體體系的鄰近效應(yīng)[31]等復合結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)Majorana費米子.

當一維Helical金屬(x<0)與拓撲超導體(x>0)接觸時，界面處可存在Majorana束縛態(tài)[10，30,32].下面筆者研究此時體系典型的輸運性質(zhì).體系的哈密頓量為H=H0+δH，其中δH描述接觸點(x=0)的耦合項.而H0描述Helical導線的有效哈密頓量,即

引入新的單向運動的無自旋費米子算符

式(22)亦可寫成

在小于超導體體能隙的能量范圍，超導體只通過接觸點的Majorana算子(若超導體處在拓撲相時)與Helical導體耦合，能量為E的準粒子激發(fā)算符一般可寫成

式(24)中：PE和HE分別是準粒子的粒子和空穴成分；γ為界面處的Majorana束縛態(tài).為描述體系的遂穿性質(zhì)，可定義如下散射矩陣形式：

由于BDG方程的粒子空穴對稱性，再加上Helical metal的費米子自由度為1的特點(因此沒有冗余的簡并自由度)，有Γ+(E)=Γ(-E),進而可以得到S(E)=τxS*(-E)τx.進一步考慮S矩陣的幺正性，可推得零能處S的2種標準形式：

(27)

圖2 單向運動的電子/空穴模式與2個Majorana模式的散射示意圖

此外，基于二維拓撲超導體邊緣的手征Majorana模式的輸運性質(zhì)也被廣泛研究[27-29].其中一個典型的問題是,一個單向?qū)ǖ氖终鲗щ娔Ｊ?用BDG的語言，即一對單向?qū)ǖ牡牧Ｗ?空穴模式)與2個手征Majoranna模式接觸于一點而形成的散射問題(見圖2).在三維拓撲絕緣體的表面，通過超導和鐵磁體材料的接觸作用可形成的各種準一維通道，即可構(gòu)成圖2中的各種單向運動模式[27-29].在超導和鐵磁體之間就可產(chǎn)生手征Majorana模式，其運動方向可由鐵磁體的磁化方向來控制.2塊反向的鐵磁體之間形成的波導通道，可存在手征導電模式(如量子霍爾效應(yīng)的邊緣態(tài)).如圖2所示，假設(shè)準粒子由兩鐵磁體間的波導通道入射，并由2個Majorana模式出射，此問題的散射態(tài)準粒子算符可寫成

式(28)中:γ1(E),γ2(E),e(E),h(E)分別是手征Majorana模式以及電子和空穴模式對應(yīng)的算符，可以用如下方式定義散射矩陣：

式(29)中，a,b,c,d分別是準粒子中2個Majorana模式的成分以及電子、空穴成分.考慮到粒子空穴對稱性引起的Γ-E=Γ+E(一般體系無其他的簡并的一維模式)，以及γ1,2(E)+=γ1,2(-E)和e(E)+=h(-E),h(E)+=e(-E)，可推得

再加上SS+=1，可推得零能下散射矩陣的一般形式[29]:

這個形式在準粒子單向通道通過2條Majoiran路線到達另一側(cè)的單向通道輸運性質(zhì)的研究中起到了核心的作用[10-11,28-29].

2012年，人們在實驗上通過輸運性質(zhì)的測量看到了Majorana粒子存在的若干實驗證據(jù)[33-35].

4 結(jié) 論

在本文中，筆者結(jié)合了近些年自己的一些研究工作，以及最近的一些前沿問題，對幾個介觀體系中的散射矩陣形式作了有關(guān)對稱性分析的介紹.在我們討論的問題中，除了準粒子數(shù)守恒要求導致散射矩陣的幺正性，體系的對稱性(如時間反演、中心反演、粒子空穴對稱性等),對散射矩陣也給出一些重要的限制.在某些情況下，我們就能通過這些條件確定散射矩陣的解析形式,這對理解體系的輸運性質(zhì)是非常重要的.在有些情況下，我們甚至因此可以得到體系電子結(jié)構(gòu)的拓撲性約束(如拓撲絕緣體的表面態(tài)/邊界態(tài)的連通性證明[8]).在文獻上，散射矩陣的研究還被推廣到對系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)的理論分類上.總之，散射矩陣的對稱性質(zhì)分析的確是關(guān)于介觀體系的一個重要研究工具.

[1]閻守勝,甘子釗.介觀物理[M].北京：北京大學出版社，2000.

[2]Datta S.Electronic transport in mesoscopic systems[M].Cambridge:Cambridge University Press,1997.

[3]Buttiker M.Four-terminal-phase-coherent conductance[J].Phys Rev Lett,1986，57(14)：1761-1764.

[4]Nikolic′ B K,Souma S,Zrbo L P,et al.Nonequilibrium spin hall accumulation in ballistic semiconductor nanostructures[J].Phys Rev Lett,2005,95(4):046601.

[5]Jiang Yongjin,Hu Liangbin.Symmetry properties of spin currents and spin polarizations in multiterminal mesoscopic spin-orbit-coupled systems[J].Phys Rev B,2007,75(19):195343.

[6]張俊杰,張艷娜,邱宇,等.從散射波函數(shù)方法中導出的非平衡格林函數(shù)公式[J].浙江師范大學學報:自然科學版,2009,32(1):59-64.

[7]Katsnelson M I,Novoselov K S,Geim A K.Chiral tunnelling and the Klein paradox in graphene[J].Nature Physics,2006，2:620-625.

[8]Jiang Yongjin,Lu Feng,Zhaifeng,et al.Connectivity of edge and surface states in topological insulators[J].Phys Rev B,2011,84(20): 205324.

[9]Sen D,Deb O.Junction between surfaces of two topological insulators[J].Phys Rev B,2012,85(24)：245402.

[10]Alicea J.New directions in the pursuit of Majorana fermions in solid state systems[J].Rep Prog Phys,2012，75(7)：076501 .

[11] Beenakker C W J.Search for Majorana fermions in superconductors[J].Annu Rev Con Mat Phys,2013，4:113-117.

[12]Meidan D,Micklitz T,Brouwer P W.Topological classification of adiabatic processes[J].Phys Rev B,2011,84(19):195410.

[13] Fulg I C,Hassler F,Akhmerov A R.Scattering theory of topological insulators and superconductors[J].Phys Rev B,2012,85(16):165409.

[14]Roland Winkler.Spin-orbit coupling effects in two-dimensional electron and hole systems[M].Berlin:Springer-Verlag,2003.

[15]常凱，楊文.半導體中自旋軌道耦合及自旋霍爾效應(yīng)[J].物理學進展，2008,28(9)：236-262.

[16]Jiang Yongjin,Lu Xiaoli,Zhai Feng.Standard form of the scattering matrix for time reversal symmetric system[J/OL].[2013-10-15].http://www.arxiv.org/abs/1310.1733.

[17]Wu Congjun,Bernevig B A,Zhang Shoucheng.Helical liquid and the edge of quantum spin hall systems[J].Phys Rev Lett,2006,96(10):106401.

[18] Castro Neto A H，Guinea F,Peres N M R，et al.The electronic properties of graphene[J].Rev Mod Phys,2009,81(1):109-162.

[19] Beenakker C W J.Colloquium:Andreev reflection and Klein tunneling in graphene[J].Rev Mod Phys,2008,80(4):1337-1354.

[20]Jiang Yongjin,Low T,Chang Kai,et al.Generation of pure bulk valley current in graphene[J].Phys Rev Lett,2013，110(4):046601.

[21]Vozmediano M A H,Katsnelson M I,Guinea F.Gauge fields in graphene[J].Phys Rep,2010,496(4/5):109-148.

[22]Brouwer P W.Scattering approach to parametric pumping[J].Phys Rev B,1998,58(16):R10135-R10138.

[23]Moskalets M,Buttiker M.Floquet scattering theory of quantum pumps[J].Phys Rev B,2002，66(20)：205320.

[24]Pal P B.Dirac,Majorana and Weyl fermions[J].Am J Phys,2011,79(5):485-498.

[25]Kitaev A Y.Fault-tolerant quantum computation by anyons[J].Ann Phys(N.Y.),2003，303(1):2-30.

[26]Nayak C,Simon S H,Stern A,et al.Non-Abelian anyons and topological quantum computation[J].Rev Mod Phys,2008,80(3):1083-1159.

[27]Fu Liang,Kane C L.Superconducting proximity effect and Majorana Fermions at the surface of a topological insulato[J].Phys Rev Lett,2008,100(9):096407.

[28]Fu Liang,Kane C L.Probing neutral Majorana Fermion edge modes with charge transport[J].Phys Rev Lett,2009,102(21):216403 .

[29]Akhmerov A R,Nilsson J,Beenakker C W J.Electrically detected interferometry of Majorana Fermions in a topological insulator[J].Phys Rev Lett,2009,102(21):216404.

[30]Law K T,Lee P A,Ng T K.Majorana Fermion induced resonant andreev reflection[J].Phys Rev Lett,2009,103(23):237001.

[31]Lutchyn R M,Sau J D,Sarma S D.Majorana Fermions and a topological phase transition in semiconductor-superconductor Heterostructures[J].Phys Rev Lett,2010,105(7):077001.

[32] Fidkowski L,Alicea J,Lindner N H,et al.Universal transport signatures of Majorana fermions in superconductor-Luttinger liquid junctions[J].Phys Rev B,2012,85(24):245121.

[33]Mourik V,Zuo K,Frolov S M,et al.Signatures of Majorana fermions in hybrid superconductor-semiconductor nanowire devices[J].Science,2012,336(6084):1003-1007.

[34]Deng M T,Yu C L,Huang G Y,et al.Observation of Majorana Fermions in a Nb-InSb nanowire-Nb hybrid quantum device[J/OL].[2013-10-15].http://www.arxiv.org/abs/1204.4130.

[35]Rokhinson P L,Liu Xinyu,Furdyna J K.Observation of the fractional ac Josephson effect:the signature of Majorana particles[J].Nature Physics，2012,8(11):795-799.

(責任編輯 杜利民)

Discussiononthesymmetrypropertiesofscatteringmatrixofsomemesoscopicsystems

JIANG Yongjin, XU Yong

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

Taking scattering matrix as an important theoretical tool for characterizing the transport property of mesoscopic systems with quantum coherence, it was discussed the quantum scattering problem for several mesoscopic systems, which included: 1)spin-orbital coupled systems with time reversal symmetry; 2)graphene with uniaxial strain which preserves inversion symmetry; 3)two typical problems related to Majorana Fermion(Chiral Majorana Fermion and Majorana bound states). The symmetry property of scattering matrix from the symmetry of the system was deduced, and some qualitative understanding of the transport property were obtained. It was also pointed out that in some cases, even topological properties of electronic structure of the system could be predicted.

scattering matrix; symmetry; spin-orbital coupling; graphene; Majorana Fermion

O488

A

1001-5051(2013)04-0379-07

2013-06-08

國家自然科學基金資助項目(11004174)

蔣永進(1975-)，浙江東陽人，教授，博士.研究方向：凝聚態(tài)物理和理論物理.