郝鴻雁，黃志亮

（1.浙江海洋學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，浙江 舟山 316000；2.三一集團(tuán)有限公司研究總院，湖南 長(zhǎng)沙 410100）

0 引 言

由于蜂窩板具有重量輕、強(qiáng)度高、剛性大、穩(wěn)定性好、隔熱隔聲等優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用在航空航天、機(jī)車、船舶、汽車和建筑等領(lǐng)域[1-3]。蜂窩板結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)力學(xué)分析計(jì)算成為現(xiàn)階段力學(xué)領(lǐng)域研究的一大熱點(diǎn)。以往的研究大多數(shù)采用數(shù)值解析法進(jìn)行分析，但其不適用于復(fù)雜的蜂窩板結(jié)構(gòu)，利用ANSYS等通用有限元軟件對(duì)蜂窩板結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)分析時(shí)，由于沒(méi)有蜂窩結(jié)構(gòu)單元，使得計(jì)算只能采用等效的方式進(jìn)行。蜂窩板的等效參數(shù)可以通過(guò)理論方法[4]或?qū)嶒?yàn)方法確定。

理論方法確定等效彈性模量計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，文獻(xiàn)[5]采用三點(diǎn)彎曲線載荷兩端簡(jiǎn)支板的撓度測(cè)試方法，得到蜂窩板的等效彈性模量。這種方法后續(xù)的計(jì)算過(guò)程相當(dāng)繁瑣，并且它是一種靜態(tài)的方法。本文提出利用動(dòng)力學(xué)的方法來(lái)測(cè)試蜂窩板的等效彈性模量的新方法。采用LMS Test.lab聲振試驗(yàn)系統(tǒng)對(duì)某型蜂窩板結(jié)構(gòu)樣件進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，獲取了結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。用ANSYS Workbench有限元軟件對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行調(diào)參，尋求結(jié)構(gòu)的等效彈性模量。

1 蜂窩板結(jié)構(gòu)樣件模態(tài)試驗(yàn)

試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析是一種系統(tǒng)辨識(shí)的方法，是在滿足實(shí)際結(jié)構(gòu)可以運(yùn)用“模態(tài)模型”來(lái)描述其動(dòng)態(tài)特性的條件下，通過(guò)對(duì)振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)的處理和分析，尋求其模態(tài)參數(shù)，包括頻率、阻尼和模態(tài)振型[6]。

實(shí)際工程中，需根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康倪x擇不同的模態(tài)參數(shù)估計(jì)方法。多參考點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域法（PolyMAX）是比利時(shí)LMS公司開發(fā)的一種全新的模態(tài)參數(shù)頻域識(shí)別方法[7]。PolyMAX法既適用于弱阻尼也適用于強(qiáng)阻尼密集模態(tài)系統(tǒng)，即便是未得到充分激勵(lì)的模態(tài)也能良好的識(shí)別出來(lái)。

PolyMAX法是以頻響函數(shù)矩陣H作為擬合函數(shù)，H的頻域矩陣分式表達(dá)為

式中：m——輸入（激勵(lì)）參考通道總數(shù)；

l——輸出（響應(yīng)）通道總數(shù)。

將分子、分母定義成多項(xiàng)式的形式為

式中：Zr（ω）——多項(xiàng)式基本項(xiàng)，表達(dá)式為=e-jωΔt；

βr——l×m階分子多項(xiàng)式系數(shù)矩陣；

αr——m×m階分母多項(xiàng)式系數(shù)矩陣；

p——數(shù)學(xué)模型設(shè)定的階次；

Δt——采樣時(shí)間。

將式（2）代入式（1）得到的頻響函數(shù)矩陣為

在PolyMAX法中一般設(shè)定αr、βr中的元素均為實(shí)值系數(shù)，于是可表示為

對(duì)于頻響函數(shù)FRF數(shù)據(jù)頻率軸上任意頻率ωk，由實(shí)測(cè)頻響函數(shù)可以列出式（3），取不同的頻率列出足夠數(shù)量的方程。最后利用最小二乘法估計(jì)便可求得待定的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)矩陣βr、αr（r=0，1，…，p），通常取 αp=Ⅰ。

在求得分母多項(xiàng)式系數(shù)矩陣αr的基礎(chǔ)上，將其擴(kuò)展成友矩陣的形式；再對(duì)友矩陣進(jìn)行特征值分解，就能得出系統(tǒng)的極點(diǎn)和模態(tài)參與因子

其中，Λ為友矩陣的特征值矩陣（對(duì)角陣），其對(duì)角線元素（特征值）為λi=e-piΔt（i=1，2，…，mp），它們總是以共軛復(fù)數(shù)形式成對(duì)出現(xiàn)的，且

由特征值分解得到的特征向量 V（mp×mp），取其最下面m行構(gòu)成的矩陣即為模態(tài)參與因子矩陣L（m×mp）；其每一列向量li代表各個(gè)輸入對(duì)相應(yīng)模態(tài)的比例貢獻(xiàn)。

PolyMAX法采用一種比較簡(jiǎn)便的方法，即采用最小二乘頻域法（LSFD）求模態(tài)振型，其擬合函數(shù)為

Ψi（l×1）——待求的第i階模態(tài)振型列向量；

liT（1×m）——模態(tài)參與因子行向量；

liH（1×m）——li的共軛轉(zhuǎn)置；

LR、UR（l×m）——分析頻帶有外模態(tài)影響的下殘余項(xiàng)和上殘余項(xiàng)。

由于極點(diǎn)pi和模態(tài)參與因子向量都已求得，于是可由測(cè)量的頻響函數(shù)（ω）按不同頻率列出式（7），然后用線性最小二乘法求出式中未知的模態(tài)振型Ψi以及上、下殘余項(xiàng)LR、UR。

1.1 模態(tài)試驗(yàn)方法及其測(cè)試系統(tǒng)

本實(shí)驗(yàn)利用多點(diǎn)激勵(lì)單點(diǎn)拾振的方法對(duì)蜂窩板在自由約束狀態(tài)下進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)分析。實(shí)驗(yàn)使用300mm×300mm×3mm、345g的蜂窩板樣件，總計(jì)布置了36個(gè)測(cè)點(diǎn)，試驗(yàn)?zāi)Ｐ图皽y(cè)點(diǎn)布置如圖1所示。實(shí)驗(yàn)中將蜂窩板4個(gè)角用軟海綿墊支撐以模擬其自由約束狀態(tài)。

圖1 蜂窩板試驗(yàn)樣件幾何測(cè)點(diǎn)布置

在LMS Test.lab聲振試驗(yàn)系統(tǒng)中，利用錘擊法對(duì)蜂窩板試驗(yàn)樣件進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析。模態(tài)試驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)框圖見圖2。

圖2 基于LMS Test.lab蜂窩板結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗(yàn)系統(tǒng)框圖

模態(tài)試驗(yàn)時(shí)，將一個(gè)PCB 333B30單向加速度傳感器（質(zhì)量約為4g）固定于10#測(cè)點(diǎn)，移動(dòng)脈沖錘依次進(jìn)行頻響函數(shù)的測(cè)量。根據(jù)板殼振動(dòng)理論[8]可知，其相對(duì)質(zhì)量ζ近似等于零；因此，附加傳感器的質(zhì)量對(duì)模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果的影響可以忽略不計(jì)。

式中：m——附加質(zhì)量；

M——板的質(zhì)量。

1.2 模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果

采用PolyMAX模態(tài)參數(shù)識(shí)別法[7]對(duì)頻響函數(shù)從100～400Hz進(jìn)行模態(tài)分析，得到的穩(wěn)定性分析圖如圖3所示。

圖3 PolyMAX法模態(tài)穩(wěn)定性圖

從圖3中可以看出：有模態(tài)的位置出現(xiàn)一系列s標(biāo)識(shí)，這說(shuō)明利用PolyMAX法分析得到的頻率、阻尼和模態(tài)參與因子全部穩(wěn)定。

采用PolyMAX法識(shí)別出來(lái)的蜂窩板樣件模態(tài)參數(shù)見表1。自由約束狀態(tài)下的模態(tài)振型如圖4所示。

表1 自由約束狀態(tài)下蜂窩板試驗(yàn)樣件模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果

圖4 蜂窩板試驗(yàn)樣件前4階模態(tài)振型

模態(tài)試驗(yàn)完成后，為防止引入虛假模態(tài)和丟失真實(shí)模態(tài)，需要對(duì)模態(tài)進(jìn)行驗(yàn)證。而模態(tài)判定準(zhǔn)則（modal assurance criteria，MAC）不僅可以檢驗(yàn)?zāi)B(tài)的真實(shí)性，更廣義地說(shuō)它是衡量模態(tài)有效性的尺度。其中模態(tài)判定準(zhǔn)則通過(guò)比較不同模態(tài)向量間的線性相關(guān)性來(lái)判斷各階模態(tài)的置信度。在工程分析中，兩個(gè)模態(tài)振型向量Ψi和Ψs之間的模態(tài)判定準(zhǔn)則定義為

MAC取值從0到100%。若MAC取值越接近100%，則兩個(gè)模態(tài)振型向量是同一個(gè)物理振型的估計(jì)；若兩個(gè)模態(tài)振型向量是不同物理振型的估計(jì)，則MAC取值應(yīng)該接近0。即取值為100%說(shuō)明兩者是同一物理振型且具有一致的相關(guān)性，同時(shí)也說(shuō)明了模態(tài)參與因子的有效性；反之，若MAC取值為0，則說(shuō)明兩個(gè)模態(tài)振型向量是不同的物理振型且沒(méi)有一致的相關(guān)關(guān)系，它們是相互獨(dú)立的。

從模態(tài)置信分析圖5中可以看出，由PolyMAX模態(tài)參數(shù)識(shí)別法識(shí)別出的蜂窩板各階模態(tài)之間滿足模態(tài)正交性原理；同一物理振型具有比較好的一致性，不同物理振型基本上是相互獨(dú)立的。因此，本次模態(tài)試驗(yàn)所得到的蜂窩板結(jié)構(gòu)模態(tài)真實(shí)可靠，不存在虛假模態(tài)。

2 蜂窩板等效彈性模量的確定

2.1 蜂窩板的等效方法

本文試驗(yàn)的蜂窩板是在假定空間體積和厚度不變的情況下，將其等效成一個(gè)等厚度的實(shí)心板。等效實(shí)心板的密度就可以由蜂窩板試驗(yàn)樣件的重量除以實(shí)心板的體積得到。

圖5 蜂窩板結(jié)構(gòu)模態(tài)置信分析圖

式中：M——板的質(zhì)量；

V——板的空間體積。

通過(guò)計(jì)算蜂窩板等效密度ρ=1278.11kg/m3。

2.2 基于ANSYS Workbench調(diào)參確定等效彈性模量

經(jīng)過(guò)多次調(diào)參試湊，使有限元分析得到的固有頻率和振型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果趨于一致，從而得到蜂窩板等效模型彈性模量的確定值E=55GPa。

在等效彈性模量E=55GPa的情況下，蜂窩板等效模型結(jié)構(gòu)模態(tài)有限元分析結(jié)果見表2，前4階模態(tài)振型如圖6所示。

通過(guò)對(duì)比蜂窩板等效模型模態(tài)有限元分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，各階模態(tài)振型非常一致，模態(tài)振型分別為：第1階模態(tài)為對(duì)邊節(jié)線四角局部振動(dòng)，第2階模態(tài)為對(duì)角節(jié)線四邊局部振動(dòng)，第3階模態(tài)為環(huán)形節(jié)線局部振動(dòng)，第4階模態(tài)為對(duì)邊1節(jié)線和對(duì)邊2節(jié)線局部振動(dòng)；且各階模態(tài)振型對(duì)應(yīng)固有頻率非常接近，誤差在5%以內(nèi)。說(shuō)明通過(guò)試驗(yàn)調(diào)參得到的蜂窩板結(jié)構(gòu)的等效彈性模量，在動(dòng)力學(xué)仿真分析中能夠準(zhǔn)確反映蜂窩板實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。

表2 自由約束狀態(tài)下蜂窩板等效模型模態(tài)有限元分析結(jié)果

圖6 蜂窩板等效模型前4階模態(tài)振型

3 結(jié)束語(yǔ)

本文所采用的蜂窩板等效模型以及調(diào)參確定的等效彈性模量，在動(dòng)力學(xué)分析時(shí)能夠真實(shí)反映蜂窩板實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。在等厚度等效方法的情況下，所確定的等效彈性模量真實(shí)可靠。同時(shí)該等效模型及其等效彈性模量也適用于靜力的有限元分析。

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