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        賦p-Amemiya范數(shù)的Musielak-Orlicz函數(shù)空間的復(fù)凸性*

        2013-10-24 10:17:28崔云安牛金玲陳麗麗
        關(guān)鍵詞:云安凸性奇數(shù)

        崔云安,牛金玲,陳麗麗

        (哈爾濱理工大學(xué))

        0 引言

        1967 年,Thorp E 與 Whitley R[1]首次引入復(fù)端點(diǎn)的概念,1987年,吳從炘、孫慧穎[2-4]討論了矢值Musielak-Orlicz函數(shù)空間的復(fù)端點(diǎn)的刻畫(huà)問(wèn)題,并給出該空間中復(fù)嚴(yán)格凸性和復(fù)一致凸性的充要判據(jù).2008年,崔云安等[5]在Orlicz空間中引入了p-Amemiya范數(shù)的定義,證明了它與經(jīng)典的Orlicz范數(shù)和Luxemburg范數(shù)是等價(jià)的,并給出賦p-Amemiya范數(shù)的Orlicz空間中端點(diǎn)的刻畫(huà).2009年,崔云安,Hudzik H 等[6]繼續(xù)研究了賦p-Amemiya范數(shù)的Orlicz空間的強(qiáng)端點(diǎn)的充要判據(jù)問(wèn)題.

        1 預(yù)備知識(shí)

        (X,‖·‖X)表示定義在復(fù)數(shù)域C上的復(fù)Banach空間,B(X)和S(X)分別表示該空間的閉單位球和單位球面.

        定義1.1[7](T,∑,μ)表示非原子完備的測(cè)度空間,μ(T)<∞.Φ是Musielak-Orlicz函數(shù)是指 Φ:T×[0,+∞)→[0,+∞]滿(mǎn)足:

        (1)對(duì)μ-a.e.t∈T,Φ(t,u)是μ-可測(cè)函數(shù),對(duì)任意的u∈[0,+∞);

        (3)Φ(t,u)關(guān)于 u是[0,∞)上的凸函數(shù).

        令 e(t)=sup{u ≥0:Φ(t,u)=0},

        E(t)=sup{u ≥0;Φ(t,u)< ∞}則e(t)和E(t)都是μ-可測(cè)函數(shù).

        定義1.2[7](X,‖·‖)表示復(fù)Banach空間,記XT表示所有從T到X的μ-可測(cè)函數(shù)的全體,對(duì)任意的x∈XT,定義如下模函數(shù):

        由它生成相應(yīng)的Musielak-Orlicz函數(shù)空間

        對(duì)Musielak-Orlicz函數(shù)空間LΦ賦予如下范數(shù)p-Amemiya范數(shù)

        即為一個(gè) Banach 空間,記為 LΦ,p=(LΦ,‖·‖Φ,p).

        定義1.3x∈S(X)為B(X)的復(fù)端點(diǎn)是指對(duì)?y∈X{0},有

        定義1.4[8]設(shè)(X,‖·‖X)是復(fù)Banach空間,x∈S(X)是B(X)的復(fù)強(qiáng)端點(diǎn)是指對(duì)任意的 ε > 0,Δc(x,ε)> 0,其中

        引理1.5[7]對(duì)任意的 ε > 0,存在 δ∈使得若 u,v∈ C,且

        2 主要結(jié)果

        定理2.1 設(shè)1≤ p<∞,p是奇數(shù),x∈S(LΦ,p),則如下結(jié)論等價(jià):

        (i)x是 B(LΦ,p)的復(fù)強(qiáng)端點(diǎn);

        (ii)x是 B(LΦ,p)的復(fù)端點(diǎn);

        (iii)對(duì)?k∈Kp(x),有μ{t∈T:k|x(t)|<e(t)}=0.

        證明 (i)?(ii)是顯然的.

        (ii)?(iii)設(shè) x∈S(LΦ,p)是 B(LΦ,P)的復(fù)端點(diǎn),且存在?k0∈Kp(x)使得μ{t∈T:k0|x(t)|<e(t)}>0.易知可找到公共的d>0及T0∈∑滿(mǎn)足μ(T0)>0且使得

        這與假設(shè)的x是B(LΦ,p)的復(fù)端點(diǎn)矛盾.

        (iii)?(i)假設(shè) x0不是B(LΦ,p)的復(fù)強(qiáng)端點(diǎn),由定義1.4知存在ε0>0使得

        即存在 λn∈ C,| λn|→ 1,yn∈ LΦ,p,滿(mǎn)足‖yn‖Φ,p≥ ε0使得

        ‖λnx0± yn‖Φ,p≤1,‖λnx0± iyn‖Φ,p≤1由此可知

        對(duì)上述的ε0>0,由引理1.5知,存在,使得若 u,v∈ C,

        對(duì)每個(gè)n∈N,令

        由于|λn|→1(n→∞),可知對(duì)充分大的n有下式成立:

        這說(shuō)明An≠?.從而,對(duì)任意t∈An,有

        為完成證明,考慮如下兩種情形:

        (Ⅰ)kn→∞(n→∞),這里

        則對(duì)每個(gè)n∈N,

        注意到

        由于kn→∞(n→∞),可知對(duì)充分大的n,有

        考慮到p是奇數(shù),可推出如下矛盾:

        (Ⅱ)kn→k0(n→∞),這里

        則對(duì)每個(gè)n∈N,有

        令n→∞,可知

        利用(Ⅰ),知

        因?yàn)閗n→k0(n→∞),故對(duì)充分大的n有如下不等式成立:

        可知

        又因p是奇數(shù),得到如下矛盾:

        定理證畢.

        3 結(jié)束語(yǔ)

        通過(guò)該文的研究,得到了賦p-Amemiya范數(shù)的Musielak-Orlicz函數(shù)空間中1≤p<∞且p是奇數(shù)時(shí),該空間中單位球的復(fù)端點(diǎn)和復(fù)強(qiáng)端點(diǎn)的判別準(zhǔn)則.但是,當(dāng)p為偶數(shù)的情況下,該空間中單位球的復(fù)端點(diǎn)和復(fù)強(qiáng)端點(diǎn)的判別準(zhǔn)則尚未得出,這部分結(jié)果正在研究當(dāng)中.

        [1] Thorp E,Whitley R.The Strong Maximum Modulus Theorem for Analytic Functions into a Banach Space[J].Proc Amer Math Soc,1967,18(4):640-646.

        [2] 吳從炘,孫慧穎.關(guān)于Musielak-Orlicz空間的復(fù)端點(diǎn)與復(fù)嚴(yán)格凸[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),1987,7:7-13.

        [3] 吳從炘,孫慧穎.Musielak-Orlicz空間的復(fù)一致凸性[J].東北數(shù)學(xué),1988,4:389–396.

        [4] Wu C,Sun H.On the Complex Convexity of Musielak-Orlicz Spaces[J].Comment.Math,1989,28:397-408.

        [5] Cui Y,Duan L,Hudzik H,et al.Basic Theory of p-Amemiya Norm in Orlicz Spaces(1≤p≤∞):Extreme Points and Rotundity in Orlicz Spaces Equipped with These Norms[J].Nonlinear Anal,2008,69(5-6):1796-1816.

        [6] Cui Y,Hudzik H,Li J,et al.Strongly Extreme Points in Orlicz Spaces Equipped with the p-Amemiya Norm[J].Nonlinear Anal,2009,71(12):6343-6364.

        [7] Chen S T.Geometry of Orlicz spaces,Dissertations Math.Warszawa,1996.

        [8] Chen Lili,Cui Yunan,Hudzik Henrik.Criteria for Complex Strongly Extreme Points of Musielak-Orlicz Function Spaces[J].Nonlinear Anal,2009,70(6):2270-2276.

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