田文文 ， 楊 斐， 田雙亮

(西北民族大學(xué) a.數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院；b.中國民族信息技術(shù)研究院 蘭州 730030)

五邊形鏈的Hosoya指標(biāo)*

田文文a， 楊 斐b， 田雙亮c

(西北民族大學(xué) a.數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院；b.中國民族信息技術(shù)研究院 蘭州 730030)

Hosoya指標(biāo)是化學(xué)分子圖論研究中較為流行和重要的拓?fù)渲笜?biāo)之一,主要對五邊形鏈在不同構(gòu)聯(lián)接位下的Hosoya指標(biāo)進行了研究，并給出了更為一般的計算公式.

五邊形鏈；Hosoya指標(biāo)；計算公式

0 引 言

Hosoya指標(biāo)是由日本化學(xué)家Haruo Hosoya于1971年在文獻[2]中提出并進行研究的，它表示圖G中所有匹配的數(shù)目，記為μ(G).該指標(biāo)與物質(zhì)的沸點、熵、化學(xué)鍵的計算和化學(xué)結(jié)構(gòu)等有著密切的聯(lián)系，且有著較為廣泛的應(yīng)用，相關(guān)的應(yīng)用參見文獻[3-5].文獻[7]中研究了五角鏈關(guān)于k-匹配的極端情形，并得出了相應(yīng)的極圖.本文通過n個五邊形在不同構(gòu)聯(lián)接位下構(gòu)造了兩類特殊的五邊形鏈，并且研究了這兩類五邊形鏈的Hosoya指標(biāo)，給出了具體表達式.

設(shè)G=(V，E)是一個簡單圖，它的點集和邊集分別為V(G)和E(G).令e和x分別為圖G的一條邊和一個頂點，用G-e表示圖G刪去邊e得到的圖，用G-x表示圖G刪去頂點x(及關(guān)聯(lián)的邊)得到的圖.若B?E(G)，對任意的兩條邊e1，e2∈B，且e1與e2無公共頂點，則稱B為圖G的一個匹配，其中空集為任何圖的一個匹配.本文中Fn表示Fibonacci數(shù)，即滿足：Fn=Fn-1+Fn-2，n≥2，且F0=0，F(xiàn)1=1.文中未加說明的符號及術(shù)語參見文獻[1].

定義1 設(shè)Q1，Q2，…，Qn為n個五邊形構(gòu)成的序列.則稱該序列為五邊形鏈，記為Wn，如果滿足：

(i) 對任意的1≤s

(ii) 每個正方形與割邊的頂點都為3度頂點.

用Φn表示含有n個五邊形構(gòu)成的五邊形鏈的全體.設(shè)Wn∈Φn，則五邊形鏈Wn(n≥2)可由Wn-1再聯(lián)接一個五邊形得到，而每個鏈中的五邊形都有4個可聯(lián)接位，其中與接點距離相等的兩個可聯(lián)接位是同構(gòu)的，所以只有兩種非同構(gòu)的聯(lián)接方式：Wn-1→[Wn-1]k=Wn，其中k=1，2，分別稱為1-位聯(lián)接和2-位聯(lián)接，如圖1所示。

圖1 兩種聯(lián)接方式

圖2 五邊形鏈和

在證明主要結(jié)論之前，先給出文獻[4]中的幾個相關(guān)引理如下：

引理1 設(shè)G是一個簡單圖，對任意的u，v∈V(G)，uv∈E(G)，有μ(G)=μ(G-uv)+μ(G-u-v).

引理3 對于n階的路Pn，有μ(Pn)=Fn+1.

引理4 對于n階的圈Cn，有μ(Cn)=Fn+1+Fn-1.

1 主要結(jié)論及其證明

定理1 對任意的正整數(shù)n≥2，有：

證明(i) 如圖2所示，根據(jù)引理1可得：

改革開放40年，隨著社會主義市場經(jīng)濟的確立和經(jīng)濟的快速發(fā)展，今日之中國已成為世界第二大經(jīng)濟體，與此相適應(yīng)的社會變遷正在使轉(zhuǎn)型中的中國社會處于深刻變革之中。為適應(yīng)新形勢下全面深化改革的需要，中共十八屆三中全會通過對以往創(chuàng)新社會管理實踐探索的理論提升，對創(chuàng)新社會治理、改進社會治理方式提出了新的要求。從創(chuàng)新管理到創(chuàng)新治理，意味著黨的治國理政方略在處理國家與社會之關(guān)系上的重大轉(zhuǎn)變，即由自上而下政府一元主導(dǎo)的社會管理向政府主導(dǎo)多元主體協(xié)同共建共治的系統(tǒng)治理的轉(zhuǎn)變。

所以

從而

(ii) 如圖2所示，根據(jù)引理1可得：

所以

從而

3 進一步的結(jié)果

定理2 對任意的正整數(shù)n≥2，有：

從而

[1] BONDY J A，MURTY U S R.Graph theory with applications[M].New York：The Macmillan Press，1976.

[2] HOSOYA H.Topological index[J].Bull Chem Soc Japan，1971，44：2332-2339.

[3] MERRFIELD R E，SIMMONS H E.Topological Methods in Chemistry[M].New York：Wiley，1989.

[4] GUTMAN I，POLANSKY O E.Mathematical Concepts in Organic Chemistry[M].Berlin：Springer，1986.

[5] GUTMAN I，CYVIN S J.Introduction to the Theory of Benzenoid Hydrocarbons[M].Berlin：Springer，1989.

[6] WAGNER S，GUTMAN I.Maxima and minima of the Hosoya Index and the Merrifield-Simmons index[J].Acta Appl Math.2010，112：323-346.

[7] 曹月芬，張?；?基于k-匹配的極值五角鏈[J].廈門大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，47(4)：471- 474.

Hosoya Index of Pentagon Chains

TIANWen-wen1,YANGFei2,TIANShuang-liang1

(1.School of Mathematics and Computer Science, Northwest University for Nationalities, Lanzhou 730030, China；2. China Minorities Information Technology Institute, Northwest University for Nationalities, Lanzhou 730030, China)

Hosoya index is one of the popular important topological indexes in the study of Chemistry molecular graph theory. This paper studies Hosoya index under different isomorphically connected positions of pentagon chains and gives more general computation formula.

pentagon chain；Hosoya index；computation formula

1672-058X(2013)09-0029-05

2013-04-17；

2013-05-17.

國家自然科學(xué)基金資助項目(11161041)；西北民族大學(xué)中央高?？蒲袑ｍ椯Y金資助研究生項目(ycx13160)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金項目(zyz2012077).

田文文(1987-)，男，甘肅天水人，碩士生，從事圖論與組合優(yōu)化研究.

O157.5

A

責(zé)任編輯：代小紅