劉家保，陳中華，余 蔓

（1.安徽新華學院公共課教學部，安徽 合肥 230088；2.安徽新華學院商學院，安徽 合肥 230088）

1 問題的基本假設

一個實際問題不經(jīng)過簡化假設就很難翻譯成數(shù)學問題，即使可能也會很難求解，不同的假設會得到不同的模型，假設過分簡單，會導致模型的失敗或部分失敗，假設過分詳細，將使問題過分復雜，可能很難甚至無法繼續(xù)下一步的工作。在本文中，問題已經(jīng)初步數(shù)學化，因此不需要很多的假設過程。為了方便建立數(shù)學模型，認為以下假設是必要而且是合理的：

（1）假設問題中的蜘蛛個體種類和大小均相近相同；

（2）假設蜘蛛們織網(wǎng)的基本方法和網(wǎng)結構相近相同；

（3）假設問題中的蜘蛛個體所處的理想自然環(huán)境相近相同，所處的理想自然環(huán)境不會有很大的改變，蜘蛛個體在理想自然環(huán)境下只考慮織網(wǎng)而不考慮其他環(huán)境和生物因素。

2 模型的建立與求解

2.1 數(shù)學模型實驗數(shù)據(jù)獲取及其處理

在實驗室中，稱出蜘蛛的重量后 （研究中用100只相同蜘蛛的平均體重作為蜘蛛的體重），將42只蜘蛛 （其中體重小于200mg的27只，體重大于200mg的15只）置于大的紗布籠內(nèi)，讓其自由結網(wǎng)。獲取的數(shù)據(jù)有捕食面的上、下半徑 （網(wǎng)垂直線上的半徑）和內(nèi)圈補絲的上、下半徑，網(wǎng)上、下半面捕絲的圈數(shù)和半徑絲的根數(shù)，對于具有支持帶的網(wǎng)，還收集了各條支持帶的長度以及寬度 （取支持帶長度四等分點上寬度的平均值）［1］。在收集蛛網(wǎng)數(shù)據(jù)后，將網(wǎng)收掉，以便蜘蛛在較短的時間內(nèi)結新網(wǎng)。對每只蜘蛛連續(xù)觀測3張網(wǎng)，并將每只蜘蛛的3張網(wǎng)視為3個重復，對體重0.15mg的蜘蛛采集兩張網(wǎng)的數(shù)據(jù)。在實驗觀測期間，仍如上述所述進行喂食。

將網(wǎng)捕食面近似地看成上下兩個不同半徑的半圓環(huán)組合，則有：

使用變異系數(shù)來描述各指標（捕絲總長度、捕食面面積和平均捕絲間距）的變化程度：

本研究的數(shù)據(jù)均采用SPSS 11.0軟件進行Pearson相關分析［2－4］（雙尾假設實驗）。

2.2 模型的分析及其結果

2.2.1 不同類型蜘蛛網(wǎng)之間的比較

由實驗數(shù)據(jù)觀察可知，蜘蛛的重量對蜘蛛網(wǎng)的結構有不同程度的影響，假設所取蜘蛛的重量相同并且該蜘蛛能結不同類型的正多邊形網(wǎng)，為使問題簡化只研究網(wǎng)的一環(huán)，即一個正多邊形 （圖1所示），然后進行計算比較，由此假設可以得到以下結果：

圖1 正多邊形網(wǎng)和圓網(wǎng)數(shù)學模型圖

其外接圓的周長和面積分別為：

2.2.2 圓形蜘蛛網(wǎng)的最優(yōu)說明

由Cyclosa mulmeinensis實驗［5－7］得出的蜘蛛網(wǎng)幾何模型進行分析。

（如圖2、圖3所示）

圖2 蜘蛛圓網(wǎng)的模式結構

圖3 蜘蛛圓網(wǎng)的數(shù)學模型圖

在實驗室中，搜集了大量資料并觀察了137只蜘蛛和它們所結的網(wǎng)，并用卡尺和量角器測出蛛網(wǎng)網(wǎng)格尺寸［8］（其中網(wǎng)格角度測量線與地面平行），分析數(shù)據(jù)得到如下公式：

進一步實驗，用立體顯微鏡測出被捕食者的長度，蛛網(wǎng)的捕食數(shù)量用一個對數(shù)線性模型來比較 （使用R統(tǒng)計軟件包統(tǒng)計分析），公式如下：）

2.2.3 圓形蜘蛛網(wǎng)角度對圓形蜘蛛網(wǎng)相關變量的影響

如果將蛛網(wǎng)傾斜與地面成0°（0°，90°分別表示水平和垂直），設立四個組討論有支持帶或沒有支持帶的效用：沒有支持帶的水平圓網(wǎng)和有支持帶的水平圓網(wǎng)；沒有支持帶的垂直圓網(wǎng)和有支持帶的垂直圓網(wǎng)。

通過蛛網(wǎng)的捕獲數(shù)據(jù)分析得到，傾斜度是主要的影響，支持帶的影響可以忽略不計，但它們之間是相互影響的。以上表明不論蛛網(wǎng)水平或垂直放置，有支持帶的蛛網(wǎng)面積大小是差不多的，但是沒有支持帶垂直放置的蛛網(wǎng)面積通常比較大。不論蛛網(wǎng)是怎么放置的，有支持帶的蛛網(wǎng)網(wǎng)格比較狹小，但是對于蛛網(wǎng)網(wǎng)格的傾斜度和有無支持帶之間沒有相互影響的作用。蛛網(wǎng)有偏離度ABW （即蛛網(wǎng)的下部比上部大）［9，10］對捕食是不利的。雖然對于蛛網(wǎng)網(wǎng)格的傾斜度和有無支持帶之間沒有相互影響的關系，但是有支持帶的蛛網(wǎng)比沒有支持帶的蛛網(wǎng)的偏離度要大。

圖4 蛛網(wǎng)的角度與捕獲面面積之間的關系

圖5 捕獲面面積CA，網(wǎng)格寬度MW，偏離度ABW

2.2.4 問題模型的相關結論

由以上問題建立的數(shù)學模型可以得到如下主要結論：

（1）當蜘蛛絲的長度一定時，圓網(wǎng)的捕食面面積比正n邊形的面積大，所以圓網(wǎng)的捕獲概率大于正n邊形網(wǎng)；

（2）當捕食面面積相同時，圓網(wǎng)的用料比正n邊形網(wǎng)用料要少；

（3）當蜘蛛網(wǎng)的結構是呈垂直放置時，蜘蛛網(wǎng)的結構最優(yōu)；

（4）蜘蛛網(wǎng)支持帶的量要適度 （影響蛛網(wǎng)的大小和偏離度）。

3 模型優(yōu)缺點及改進方向

3.1 問題模型的優(yōu)點

（1）本文建立的問題模型是在現(xiàn)實實驗的基礎上建立而成的，有一定的合理性和真實性；

（2）問題模型中的相關結論探究也都是建立在問題的實際模型基礎上，具有一定的科學合理性；

（3）問題建立的數(shù)學模型能夠比較直觀地反映出圓形蜘蛛網(wǎng)各個方面的優(yōu)化因素及其影響比重，通過問題的數(shù)學模型計算提供出的圖表能夠充分為本文得出的結論提供理論支撐。

圖6 改進后的圓形蛛網(wǎng)模型結構

3.2 問題模型的缺點

（1）由于時間、團隊研究能力等方面的原因和限制，本文建立的模型仍然比較模糊，并且只是著重建立了圓形蜘蛛網(wǎng)的相關數(shù)學模型結構，沒有對其他規(guī)則或不規(guī)則蜘蛛網(wǎng)模型進行相關的研究討論，導致論文結論比較單調(diào)、不全面。

（2）由于實驗數(shù)據(jù)的不足，無法驗證所建立模型的準確性。又由于本文實驗數(shù)據(jù)的取材和處理都比較單一，所得出的結論具有比較大的地理、個體等條件的局限性。

3.3 問題模型的改進方向

當蜘蛛絲的長度一定時，改進后的圓網(wǎng)的捕食面面積比上述討論的圓網(wǎng)的面積更大；當捕食面面積相同時，改進后的圓網(wǎng)的用料比上述討論的圓網(wǎng)用料更少。從以上的相關結論中可以推導出上述圓形蛛網(wǎng)的更優(yōu)化數(shù)學模型如圖6所示。

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