吳國帥， 王 棟

(西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，陜西 西安 710072)

0 引言

羅茨鼓風(fēng)機(jī)是一種使用范圍很廣的機(jī)械設(shè)備，被廣泛使用于污水處理、電力、化工及水產(chǎn)養(yǎng)殖等領(lǐng)域，作為一種重要的工業(yè)設(shè)備，它的主要做功部件是一對(duì)具有兩葉或三葉的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)[1]。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為羅茨風(fēng)機(jī)最主要的工作部件，由于設(shè)計(jì)不合理、材料質(zhì)地不均勻、加工組裝誤差以及運(yùn)行過程中集灰、磨損等原因使轉(zhuǎn)子在運(yùn)行過程中產(chǎn)生不平衡力，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子中心慣性力偏離其旋轉(zhuǎn)中軸線，這樣機(jī)器在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)出現(xiàn)附加慣性力，通過軸承傳遞到整個(gè)風(fēng)機(jī)箱體上。不平衡力的出現(xiàn)會(huì)給機(jī)器帶來振動(dòng)以及噪聲，降低軸承零部件的壽命。因此，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的平衡性的好壞是決定羅茨風(fēng)機(jī)振動(dòng)強(qiáng)弱的重要因素[2]。羅茨鼓風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，形式多樣，振動(dòng)耦合嚴(yán)重，如果轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率和風(fēng)機(jī)箱體的頻率一致或相近，會(huì)使箱體組件產(chǎn)生共振，加劇風(fēng)機(jī)振動(dòng)，產(chǎn)生更大的噪聲，所以風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)已經(jīng)成為阻礙風(fēng)機(jī)提高性能、穩(wěn)定性和安全性的重要因素[2]。羅茨風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在工作中主要承受轉(zhuǎn)子不平衡力、齒輪嚙合力、葉輪嚙合沖擊力等的作用，轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生周期性的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力和彎曲應(yīng)力，使轉(zhuǎn)子在工作過程中既彎曲又扭轉(zhuǎn)，出現(xiàn)疲勞損傷，附帶的也會(huì)影響其它部件的正常運(yùn)轉(zhuǎn)。所以只要獲取轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的應(yīng)力、應(yīng)變以及模態(tài)參數(shù)，就能對(duì)設(shè)計(jì)出好的轉(zhuǎn)子提供積極的參考作用。有限元法在振動(dòng)方面已經(jīng)有了一定的研究，如譚青等[3]對(duì)離心式鼓風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子采用集中參數(shù)法建模，利用傳遞矩陣法編程求解轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)，并提出一種基于振型分析的最大值估算法;錢網(wǎng)生[4]使用降噪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和模態(tài)實(shí)驗(yàn)技術(shù)相結(jié)合的方法，來降低空調(diào)風(fēng)機(jī)的振動(dòng)噪聲。

現(xiàn)有文獻(xiàn)關(guān)于羅茨風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性研究較少，本文以某羅茨風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子為例，建立有限元結(jié)構(gòu)模型，用有限元分析軟件ANSYS研究其動(dòng)態(tài)特性。通過本文研究，可以得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)、諧響應(yīng)特性，了解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)頻率、振動(dòng)形式和振動(dòng)強(qiáng)弱，并可以在風(fēng)機(jī)設(shè)計(jì)之初，預(yù)估風(fēng)機(jī)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，為改善風(fēng)機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能提供理論依據(jù)。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型建立

某羅茨風(fēng)機(jī)建模的主要尺寸有:轉(zhuǎn)子系統(tǒng)總長605 mm，三葉輪型線為漸開線，葉輪最大寬度59 mm，葉峰到葉輪中心的距離為87 mm，三葉輪兩端中心空腔直徑32 mm，長41 mm，三葉輪中心空腔直徑42 mm，葉輪中心兩端空腔直徑45 mm，葉輪總長350 mm，葉輪軸最大直徑55 mm，軸為階梯狀結(jié)構(gòu);齒輪法向模數(shù)2.5 mm，齒數(shù)48，分度圓直徑120 mm，齒寬45 mm。該轉(zhuǎn)子材料45鋼，楊氏模量200 GPa，密度 7 800 kg/m3，泊松比 0.3。

1.1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的簡(jiǎn)化

采用Pro/E5.0繪制羅茨鼓風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)三維實(shí)體結(jié)構(gòu)模型，如圖1所示。根據(jù)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和計(jì)算需要，忽略了倒角、鍵槽等對(duì)轉(zhuǎn)子剛度與質(zhì)量影響不大的結(jié)構(gòu)。將Pro/E5.0建立的三維模型生成符合IGES標(biāo)準(zhǔn)的接口文件，通過通用接口導(dǎo)入有限元軟件。

1.2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型建立

網(wǎng)格劃分采用Mesh工具劃分，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)表面采用Workbench中Map設(shè)置，局部采用Sizing設(shè)置，葉輪部分設(shè)置10 mm，齒輪部分設(shè)置5 mm，劃分中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)生成節(jié)點(diǎn)總數(shù)103 849個(gè)，單元總數(shù)61 718個(gè)，Skewness Average值0.34，網(wǎng)格質(zhì)量好，網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖2所示。

圖1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)三維實(shí)體圖

圖2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)網(wǎng)格劃分圖

2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析

2.1 動(dòng)態(tài)特性理論

結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性有兩個(gè)方面的要素，包括結(jié)構(gòu)部件的固有頻率和固有振型。在承受動(dòng)態(tài)載荷的結(jié)構(gòu)中，固有振型和固有頻率對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析非常重要，我們可以運(yùn)用模態(tài)分析來計(jì)算結(jié)構(gòu)的固有振型和固有頻率。對(duì)于其它動(dòng)態(tài)分析如瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析和諧響應(yīng)分析，模態(tài)分析是這些分析的起點(diǎn)[6]。如果能夠率先獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率這一參數(shù)，那么我們?cè)趯?duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)和優(yōu)化的過程中，就可以有針對(duì)性地使固有頻率避開外部激勵(lì)的頻率，這樣做的目的是要排除共振，避免結(jié)構(gòu)出現(xiàn)較大程度的變形。

在不同阻尼條件下，機(jī)械部件上各點(diǎn)對(duì)外界激勵(lì)的響應(yīng)都可以表示成多種參數(shù)矩陣疊加，如

其中F(t)是激振力向量，M是總體質(zhì)量矩陣，C是阻尼矩陣，K是剛度矩陣，U是位移向量。

運(yùn)用(1)式來求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在自由振動(dòng)狀態(tài)下的固有頻率和固有振型時(shí)，我們令F=0，也就是不考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)所受的外載荷。同時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在工作時(shí)，由于阻尼對(duì)固有振型和固有頻率所產(chǎn)生的影響微乎其微，因此不計(jì)算阻尼項(xiàng)，那么此時(shí)，在無阻尼自由振動(dòng)狀態(tài)下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程就可以簡(jiǎn)化為[6]:

出于更好理解方程解的具體意義的考慮，(2)式可以轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)諧振動(dòng)形式的方程:

隨著時(shí)間變化，線性結(jié)構(gòu)承受著按正弦規(guī)律變化的載荷，對(duì)于這一指標(biāo)，我們可以運(yùn)用諧響應(yīng)分析來計(jì)算。設(shè)計(jì)人員可以得出線性結(jié)構(gòu)在幾種頻率下的響應(yīng)值對(duì)頻率的曲線，繼而推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的持續(xù)性動(dòng)力特性，從而考察設(shè)計(jì)對(duì)共振、疲勞運(yùn)作等可能產(chǎn)生的有害后果。

系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)載荷作用下的運(yùn)動(dòng)方程為[6]:

式中:F0是簡(jiǎn)諧激振載荷的幅值;ω是角頻率，等于外界激振頻率;M是結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣，K是結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，C是結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，U(t)是節(jié)點(diǎn)位移矩陣。

在線性系統(tǒng)中，(4)式可以有以下通解:

在(5)式中，U1(t)為式(4)的齊次方程通解，如果在弱阻尼條件下，存在初相角ψ，則(5)式又可以轉(zhuǎn)化為

式(5)中，U2(t)為式(4)的非齊次方程的一個(gè)特解，其頻率與非齊次項(xiàng)的正弦函數(shù)一致，存在初相角φ，則有

由此，根據(jù)(4)—(7)式推導(dǎo)，可以有

結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)載荷下的響應(yīng)是衰減狀態(tài)之下有阻尼的自由振動(dòng)和有阻尼的受迫振動(dòng)的疊加后果。但值得注意的是，有阻尼的自由振動(dòng)會(huì)隨著時(shí)間推移而消逝，而有阻尼的受迫振動(dòng)則會(huì)持續(xù)。由于經(jīng)驗(yàn)和技術(shù)限制，本文只研究受外部激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)響應(yīng)特性。

2.2 主被動(dòng)轉(zhuǎn)子受力分析

羅茨風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子主要承受軸承傳遞的力、齒輪重力、齒輪傳遞的扭矩，其結(jié)構(gòu)尺寸及受力分析如圖3所示。轉(zhuǎn)子質(zhì)量W=20.5 kg;齒輪質(zhì)量Wg=3.5 kg;羅茨風(fēng)機(jī)軸功率w=20.5 kW;轉(zhuǎn)子L1=L2=62 mm，L3=92.5 mm，L=470 mm;轉(zhuǎn)子直徑 D=135 mm;葉數(shù) Z=3。

對(duì)被動(dòng)轉(zhuǎn)子受力分析，被動(dòng)轉(zhuǎn)子主要承受軸承傳遞的力矩Tg，齒輪的重力Wg以及軸承座的支撐力，左端軸承座支撐力Fax和Fay，右端軸承座支撐力為Fbx和Fby，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)還承受自身重力W和氣體壓力q，如圖3所示。

被動(dòng)轉(zhuǎn)子在鉛垂面內(nèi)分別對(duì)a點(diǎn)和b點(diǎn)取矩，即得

通過受力分析得到轉(zhuǎn)子所承受的軸承支撐力。左端被動(dòng)轉(zhuǎn)子傳給機(jī)體的力Fx=148.56 N，F(xiàn)y=1 538.6 N;右端 Fx=397.89 N，F(xiàn)y=2 372.5 N。

3 有限元分析結(jié)果

3.1 有限元模態(tài)分析結(jié)果

圖3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受力分析

計(jì)算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)可以檢驗(yàn)羅茨風(fēng)機(jī)在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中是否發(fā)生共振。有限元分析時(shí)，在邊界條件設(shè)置時(shí)不添加任何約束以保證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于自由狀態(tài)，直接計(jì)算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的自由模態(tài)。羅茨風(fēng)機(jī)是低轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)機(jī)械，因此有可能引起共振的頻率是較低階的頻率。所以，在用有限元法計(jì)算模態(tài)時(shí)，只需要取轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前20階固有頻率。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在自由狀態(tài)下計(jì)算出來的前6階固有頻率是剛體性模態(tài)，其數(shù)值可以看為零。所以只需研究后面的14階固有頻率。基于有限元法計(jì)算出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前20階模態(tài)，為了便于研究只提取前12階非零模態(tài)。表1給出了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前12階固有頻率及對(duì)應(yīng)的固有振型。

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非剛體固有模態(tài)

從表1可以看出，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率從1 327.4 Hz到4 731.2 Hz分布不等，其各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的固有振型主要有彎曲、擺動(dòng)、扭轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)，變形位置分布在軸端、齒輪、葉峰等位置，最大振幅高達(dá)47.93 mm。第 1，2，4，5，7，8，10，11 階固有頻率振幅較大區(qū)域主要分布在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸端，振型主要有彎曲、擺動(dòng)、扭轉(zhuǎn)，頻率分布在1 327.4～4 534.8 Hz，軸端振幅最大值為47.93 mm。第3和第9階固有頻率對(duì)應(yīng)的固有振幅較大區(qū)域主要分布在齒輪位置，固有頻率為1 962.6 Hz和4 259.7 Hz，齒輪固有振幅最大值為24.19 mm，第6和第12階固有頻率振幅較大位置在葉峰處，振幅最大值為16.34 mm，對(duì)應(yīng)固有頻率為2 964.5 Hz和4 731.2 Hz。在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)要注意避開這些共振頻率，減少轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的共振發(fā)生，在整機(jī)設(shè)計(jì)時(shí)也要把外部激勵(lì)頻率與這些頻率值錯(cuò)開，減少整機(jī)的振動(dòng)。

圖4所示轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前12階非零模態(tài)對(duì)應(yīng)的固有振型。

3.2 有限元諧響應(yīng)分析結(jié)果

圖4 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非固有頻率和模態(tài)振型

基于有限元方法，對(duì)轉(zhuǎn)子承受軸承傳遞的力、齒輪重力、氣體壓力、齒輪傳遞的扭矩的情況下研究轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性，圖5顯示齒輪處在上述力作用下的振幅變化情況，隨著振動(dòng)工作頻率的增加。振幅在1 500 Hz處出現(xiàn)極值，其中y方向振幅最大，z方向次之，x方向最小，最大值為6.5×10－3mm，最小值為1.0×10－3mm，這說明在1 500 Hz時(shí)發(fā)生共振，且y方向振動(dòng)最劇烈，占振動(dòng)的主要成分。圖6顯示葉輪處振幅隨頻率變化特性，隨著頻率的增加，葉輪振幅也出現(xiàn)極值，出現(xiàn)極值的頻率為1 500 Hz，其中z方向振幅最大，y方向次之，x方向振幅最小，最大值為6.5×10－5mm，最小值為0.5×10－5mm。整體來說，齒輪附近的振幅比葉輪處振幅大的多。

圖5 齒輪處幅頻曲線

圖6 葉輪處幅頻曲線

4 結(jié)論

本文通過對(duì)羅茨風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行有限元模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析，為以后羅茨風(fēng)機(jī)的優(yōu)化和改進(jìn)設(shè)計(jì)提供了重要的理論參考，獲得的主要結(jié)論如下:

(1)通過對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元分析，可知其前6階固有頻率接近于零，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)子的剛體平動(dòng)，而從第7階開始，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，轉(zhuǎn)子既彎曲又扭轉(zhuǎn)。轉(zhuǎn)速越高，出現(xiàn)危險(xiǎn)振型的概率越大，甚至?xí)纬膳で?。為了避免產(chǎn)生交變載荷，需要提高軸承的剛度。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的葉輪葉峰、齒輪、兩軸端處是變形較大區(qū)域，在振動(dòng)過程中是危險(xiǎn)區(qū)域。所以在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中應(yīng)充分考慮葉輪的設(shè)計(jì)厚度及內(nèi)部空腔直徑的大小及齒輪的強(qiáng)度和剛度、兩軸端的長徑比。

(2)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)諧響應(yīng)分析顯示，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振幅最大位置在齒輪處，最大值為0.007 mm，所以在轉(zhuǎn)子設(shè)計(jì)過程應(yīng)加強(qiáng)齒輪的剛度。

(3)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)和諧響應(yīng)分析對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)優(yōu)化十分重要，所獲得的固有頻率、固有振型及幅頻曲線能預(yù)測(cè)羅茨風(fēng)機(jī)各部件之間相互干擾的可能性及振動(dòng)強(qiáng)弱，通過合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)可以避開共振，這為羅茨風(fēng)機(jī)的優(yōu)化和改進(jìn)設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

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