凌明祥，王 玨，李明海，張 榮

（中國工程物理研究院總體工程研究所，四川綿陽 621900）

0 引言

由于空氣軸承回轉(zhuǎn)精度高，目前精密離心機(jī)主要采用空氣軸承作為旋轉(zhuǎn)主軸。動不平衡等因素將會造成空氣軸承的回轉(zhuǎn)誤差增大，甚至導(dǎo)致空氣軸承主軸和軸套相互摩擦，造成不必要的損失［1］。因此，對空氣軸承間隙的實(shí)時狀態(tài)監(jiān)測很有必要。

空氣軸承間隙隨著徑向回轉(zhuǎn)誤差和軸套輪廓的形狀誤差變化而變化，基于三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)，可以在線將形狀誤差從徑向回轉(zhuǎn)誤差中分離出來，使得軸承間隙只隨回轉(zhuǎn)誤差變化。前人的研究主要從數(shù)學(xué)上保證三點(diǎn)法諧波權(quán)函數(shù)不等于零［2，3］。實(shí)際上，3個測微儀之間的夾角選擇不當(dāng)，除了會導(dǎo)致諧波抑制外，還將導(dǎo)致傳感器讀數(shù)誤差等各種測量誤差被放大［4，5］，降低空氣軸承間隙的測量精度。雖然三點(diǎn)法誤差分離技術(shù)已被廣泛應(yīng)用，但從國內(nèi)發(fā)表的文獻(xiàn)來看，3個測微儀之間的夾角布置和測量精度的定量計算缺乏統(tǒng)一的、可直接借鑒的文獻(xiàn)報道。這些對于高精度的精密離心機(jī)用空氣軸承間隙狀態(tài)監(jiān)測又是很有必要的。本文基于三點(diǎn)法誤差分離原理，推導(dǎo)傳感器讀數(shù)誤差傳遞模型，對空氣軸承間隙的測量誤差進(jìn)行定量仿真分析。

1 三點(diǎn)法測量空氣軸承間隙的原理

空氣軸承間隙等于靜態(tài)間隙量與徑向回轉(zhuǎn)誤差的疊加，關(guān)鍵是徑向回轉(zhuǎn)誤差的測量?；谌c(diǎn)法誤差分離的空氣軸承徑向回轉(zhuǎn)誤差測量如圖1所示?？諝廨S承圓周上布置3個電容測微儀，電容測微儀S2，S3與S1的夾角分別為 α，β。

假設(shè)3個電容測微儀處于同一平面內(nèi)且相交于平均回轉(zhuǎn)中心，根據(jù)三點(diǎn)法誤差分離原理，可推導(dǎo)出徑向回轉(zhuǎn)誤差在3個電容測微儀組成的平面內(nèi)的2個量x（θn），y（θn）按以下迭代式進(jìn)行計算

圖1 三點(diǎn)法誤差分離示意圖Fig 1 Schematic diagram of three points method

其中

式中r（θn）為空氣軸承輪廓的形狀誤差，θn=2πn/N，α=2πp1/N，β =2πp2/N，p1，p2取整數(shù)，N為空氣軸承旋轉(zhuǎn)一周的采樣點(diǎn)數(shù)，k為傅里葉變換諧波階次，n為相應(yīng)的采樣點(diǎn)（n=0，1，…，N－1），S1（θn），S2（θn），S3（θn）分別為 3 個電容測微儀讀數(shù)。

2 傳感器讀數(shù)誤差傳遞模型建立

基于三點(diǎn)法形狀誤差分離的空氣軸承間隙測量中，由于受溫度變化、噪聲、電磁干擾等的影響，電容測微儀讀數(shù)中存在隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差。對于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差，需要知道經(jīng)過三點(diǎn)法形狀誤差分離后，傳遞到徑向回轉(zhuǎn)誤差上的量值大小。

2．1 傳感器讀數(shù)隨機(jī)誤差傳遞模型建立

設(shè)3個電容測微儀讀數(shù)的隨機(jī)誤差相同，均為σ2，且3個電容測微儀之間相互獨(dú)立。由于式（1）、式（2）是關(guān)于傳感器讀數(shù)的線性組合關(guān)系，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計理論，傅里葉系數(shù)Ak和Bk的方差為

由三角函數(shù)性質(zhì)，式（3）可簡化為

對于每一個采樣點(diǎn)θn，傅里葉系數(shù)Ak和Bk均為傳感器讀數(shù)S（θn）的線性組合，二者強(qiáng)相關(guān)，認(rèn)為相關(guān)系數(shù)為1，則傳遞到形狀誤差r（θn）上的傳感器讀數(shù)隨機(jī)誤差為

式中Km為傅里葉變換的最高諧波階次。公式推導(dǎo)過程中認(rèn)為Si（θn）與r（θn）弱相關(guān)，因此，按式（6）的計算結(jié)果稍微比實(shí)際值大。

2．2 傳感器讀數(shù)系統(tǒng)誤差傳遞模型建立

設(shè)3個電容測微儀讀數(shù)中存在系統(tǒng)誤差，分別記為e1，e2，e3。基于式（1）和式（2），不考慮其它測量誤差，根據(jù)誤差理論［6］，對于每一個采樣點(diǎn)θn，傳遞到傅里葉系數(shù)Ak和Bk上的傳感器讀數(shù)系統(tǒng)誤差為

傳遞到形狀誤差r（θn）上的傳感器讀數(shù)系統(tǒng)誤差為

對于每一個采樣點(diǎn) θn，徑向回轉(zhuǎn)誤差分量x（θn），y（θn）上的傳感器讀數(shù)系統(tǒng)偏差為

3 傳感器讀數(shù)誤差傳遞模擬計算

3．1 傳感器夾角布置仿真優(yōu)化

設(shè)空氣軸承回轉(zhuǎn)誤差測量系統(tǒng)中第一，二個電容測微儀垂直放置，即α=90°，測量誤差的傳遞大小由夾角β的取值決定。一方面為了使傳感器讀數(shù)隨機(jī)誤差傳遞倍數(shù)最小，用式（10）的誤差傳遞函數(shù)f1（k，α，β）來優(yōu)化β的取值。f1（k，α，β）反映了β對徑向回轉(zhuǎn)誤差各階諧波分量測量精度的影響。f1（k，α，β）越小，說明傳遞到回轉(zhuǎn)誤差上的第k階諧波分量中的傳感器讀數(shù)隨機(jī)誤差越小，即徑向回轉(zhuǎn)誤差測量結(jié)果越精確。另一方面，為了使傳感器讀數(shù)系統(tǒng)誤差傳遞倍數(shù)最小，用式（11）的誤差傳遞函數(shù)f2（k，α，β）來優(yōu)化β的取值

取α=90°，構(gòu)造的優(yōu)化策略是求β的值，分別使誤差傳遞函數(shù)f1（k，α，β）和f2（k，α，β）的各階諧波分量之和為最小，即

以0．1°為步長，當(dāng)最大諧波次數(shù)Km=40時，目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)F1（k，β）和F2（k，β）隨角度β變化的曲線關(guān)系如圖2所示。F1（k，β）和F2（k，β）取極小值的 β 值有很多個，因此，可結(jié)合其它約束條件對β的取值進(jìn)行靈活選擇。此外，F(xiàn)1（k，β），F(xiàn)2（k，β）取值的離散程度均很大，說明夾角 β 的值出現(xiàn)小變化就有可能使F1（k，β），F(xiàn)2（k，β）的取值從極小變到無窮大，因此，要避免夾角β的實(shí)際安裝偏差引起傳感器讀數(shù)誤差的放大。

對每一諧波階次k，當(dāng) β 取 48．7°時，f1（k，β），f2（k，β）的取值如圖3所示。由圖中曲線可知，當(dāng)β的取值使誤差傳遞函數(shù)F1（k，β），F(xiàn)2（k，β）取極小值時，對應(yīng)的每一諧波分量均可控制在一定范圍之內(nèi)，而不會出現(xiàn)某一諧波分量的諧波抑制現(xiàn)象。計算中發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)1（k，β）取極小值對應(yīng)的β值幾乎全部也可以使F2（k，β）取極小值，即使各次諧波分量F2（k，β）的取值較F2（k，β）平滑，優(yōu)化 β 的取值還是以誤差傳遞函數(shù)F1（k，β）為目標(biāo)函數(shù)較為合理。

圖2 F（k，β）隨角度β變化的曲線關(guān)系Fig 2 F（k，β）function curve with angle β

圖3 f（k，β）隨諧波階次k的變化Fig 3 f（k，β）function curve with k

計算中發(fā)現(xiàn)，最高諧波次數(shù)Km取不同值時，目標(biāo)函數(shù)F（k，β）取最小值時對應(yīng)的β值不同。一般來說，回轉(zhuǎn)軸的形狀誤差取22～45階諧波即可，因此，所研制空氣軸承回轉(zhuǎn)誤差測量系統(tǒng)中Km取40。表1所示是本文優(yōu)化結(jié)果與文獻(xiàn)［4］優(yōu)化結(jié)果對比情況，當(dāng)Km取40時，本文的優(yōu)化結(jié)果略優(yōu)于文獻(xiàn)［4］。

表1 不同最大諧波階次優(yōu)化結(jié)果比較Tab 1 Optimization results comparison of different Km

3．2 傳感器讀數(shù)誤差傳遞計算

若電容測微儀讀數(shù)中存在測量誤差，則該誤差將按式（6）和式（9）傳遞到回轉(zhuǎn)誤差的測量結(jié)果中。取N=1024，Km=40，α =90°，按誤差傳遞函數(shù)F1（k，β）優(yōu)化得到的4 個象限內(nèi) β 的最優(yōu)值為 41．3°，147．5°，221．4°，318．9°，對于每一個采樣點(diǎn) θn，根據(jù)式（6），傳遞到回轉(zhuǎn)誤差分量x（θn），y（θn）上的傳感器讀數(shù)隨機(jī)誤差計算結(jié)果如圖4所示。4個β值對應(yīng)的傳遞到回轉(zhuǎn)誤差分量上的傳感器讀數(shù)隨機(jī)誤差差距不大，均值在 1．128σ2～1．154σ2之間，大多數(shù)峰—峰值為 1．08σ2～1．23σ2。說明即使是誤差傳遞最小的β值，傳遞到回轉(zhuǎn)誤差分量上的傳感器讀數(shù)隨機(jī)誤差也將被放大，平均放大量在12．8%～15．4%之間。

設(shè)傳感器讀數(shù)的系統(tǒng)偏差為e1=e2=e3=e，對于每一個采樣點(diǎn)θn，根據(jù)式（9），傳遞到形狀誤差r（θn）上的傳感器讀數(shù)系統(tǒng)偏差如圖5所示。由圖中數(shù)據(jù)可知，傳遞到形狀誤差r（θn）上的傳感器讀數(shù)系統(tǒng)偏差的數(shù)量級在10－15左右，則傳遞到回轉(zhuǎn)誤差分量x（θn），y（θn）上的傳感器讀數(shù)系統(tǒng)偏差為ex（θn）≈ey（θn）≈e。說明三點(diǎn)法能消除傳感器讀數(shù)偏差。需注意的是，若傳感器讀數(shù)偏差與采樣點(diǎn)θn有關(guān)，則上述結(jié)論不適用。此外，β=221．4°對應(yīng)的系統(tǒng)偏差傳遞量明顯大于其他3組值，說明按誤差傳遞函數(shù)F1（k，β）優(yōu)化得到的β值并不完全使傳感器讀數(shù)系統(tǒng)偏差傳遞量也越小。然而，由于系統(tǒng)偏差傳遞倍數(shù)極小，因此，空氣軸承間隙實(shí)際測量中可以忽略恒值系統(tǒng)偏差對形狀誤差的影響，而恒定系統(tǒng)偏差約按1∶1的比例傳遞到回轉(zhuǎn)誤差2個分量的測量結(jié)果中。

圖4 不同采樣點(diǎn)對應(yīng)的隨機(jī)誤差傳遞量Fig 4 Corresponding transfer amount of random error of different sampling point

4 結(jié)論

圖5 不同采樣點(diǎn)對應(yīng)的系統(tǒng)偏差傳遞量Fig 5 Corresponding transfer amount of system deviation with different sampling point

針對空氣軸承間隙實(shí)時測量的測量精度問題，建立了電容測微儀讀數(shù)的隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差傳遞數(shù)學(xué)模型，并對傳感器夾角進(jìn)行了仿真優(yōu)化。在此基礎(chǔ)上，模擬計算了傳遞到回轉(zhuǎn)誤差分量上的傳感器讀數(shù)隨機(jī)誤差和系統(tǒng)偏差大小。結(jié)果表明:即使是最優(yōu)角度，隨機(jī)誤差也至少將被放大12．8%左右，而恒值系統(tǒng)偏差約按1∶1的比例傳遞到回轉(zhuǎn)誤差測量結(jié)果中。所建立的測量誤差傳遞模型可為相關(guān)主軸回轉(zhuǎn)誤差測量的精度評估提供一定的參考。

［1］ 任順清，楊亞非，吳廣玉．精密離心機(jī)主軸回轉(zhuǎn)誤差對工作半徑的影響［J］．哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2000，32（1）:55 －57．

［2］ Marsh E，Couey J．Nanometer-level comparison of three spindle error motion separtion［J］．Techniques Transactions of the ASME，2006，8（2）:180 －187．

［3］ Gao W，Sato E，Ohuma T，et al．Roundness and spindle error measurement by angular three-probe method［J］．Journal of the Japan Society of Precision Engineering，2002，11（4）:1195 －1199．

［4］ 張宇華，王曉琳．三點(diǎn)法中測頭最佳角位置的確定方法［J］．光學(xué)·精密工程，1998，6（5）:39 －45．

［5］ 張宇華，張國雄．提高三點(diǎn)法測量精度的研究［J］．北京理工大學(xué)學(xué)報，1999，19（2）:157 －162．

［6］ 朱正華，黃建剛．一個間接測量誤差傳遞公式的普遍證明［J］．湖南大學(xué)學(xué)報，2001，33（4）:1 －3．