單 良，孔 明，侯 蕊，趙 軍

（1．中國(guó)計(jì)量學(xué)院信息工程學(xué)院，浙江杭州 310018;2．中國(guó)計(jì)量學(xué)院計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018）

0 引言

三維坐標(biāo)檢測(cè)是現(xiàn)代生產(chǎn)、生活必不可少的檢測(cè)技術(shù)［1］，其測(cè)量范圍涵蓋廣，既包含地球、城市等大尺度物體的三維測(cè)量［2，3］，也包含飛機(jī)、船舶、建筑、汽車等中等尺度物體的三維檢測(cè)［4，5］，同時(shí)，隨著納米工業(yè)的興起，三維坐標(biāo)測(cè)量也已經(jīng)進(jìn)入納米尺寸時(shí)代［6］。根據(jù)測(cè)量對(duì)象的不同，其測(cè)量方法也各不相同，目前中等尺度檢測(cè)方法主要有三維坐標(biāo)測(cè)量機(jī)［4，5］、激光跟蹤儀［7］、機(jī)器視覺(jué)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)［8］等，這些測(cè)量設(shè)備，成本高，不利于其大范圍的推廣使用。

本文在已有三維坐標(biāo)檢測(cè)方法基礎(chǔ)上，提出一種采用超聲波測(cè)距的低成本三維測(cè)量方法，該方法采用超聲波發(fā)射端作為三維定位點(diǎn)，測(cè)量發(fā)射端到各接收端的距離，并利用最小二乘法三維坐標(biāo)反演模型獲得發(fā)射端在測(cè)量空間的位置，該方法可以根據(jù)測(cè)量范圍配置不同數(shù)量的超聲波接收端，具有良好的擴(kuò)展性，可以應(yīng)用于倉(cāng)儲(chǔ)定位、機(jī)器人導(dǎo)航定位、虛擬現(xiàn)實(shí)、模擬實(shí)戰(zhàn)游戲、無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)定位等方面。

1 超聲波三維測(cè)量原理

最小的超聲波三維測(cè)量系統(tǒng)由1個(gè)超聲波發(fā)射端和3個(gè)超聲波接收端組成，檢測(cè)時(shí)，超聲波發(fā)射端發(fā)射超聲信號(hào)并進(jìn)行計(jì)時(shí)，由超聲波接收端接收超聲信號(hào)并停止計(jì)時(shí)，根據(jù)超聲測(cè)距原理［9，10］，通過(guò)計(jì)時(shí)器的時(shí)間計(jì)算獲得超聲波發(fā)射端到超聲波接收端的距離，當(dāng)獲得發(fā)射端到3個(gè)以上接收端之間的距離時(shí)，就可以計(jì)算出發(fā)射端的空間位置。本文設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)測(cè)量原理見(jiàn)圖1所示，由1個(gè)超聲波發(fā)射端點(diǎn)（X）和4個(gè)超聲波接收端點(diǎn)（A，B，C，D）組成。

圖1 三維坐標(biāo)測(cè)量示意圖Fig 1 Diagram of three-dimensional coordinate measurement

超聲波接收端點(diǎn)A，B，C，D的空間坐標(biāo)為已知值（xi，yi，zi），超聲波發(fā)射端空間坐標(biāo)是被測(cè)量（x，y，z），則超聲波發(fā)射端到4個(gè)接收端點(diǎn)的距離可表示為

式中l(wèi)i（i=1，2，3，…，n）為超聲波發(fā)射端到第i個(gè)超聲波接收端之間的距離。為求解式中的3個(gè)未知數(shù)，必須建立3個(gè)以上方程，當(dāng)方程數(shù)超過(guò)3個(gè)時(shí)，求其最優(yōu)解。

2 基于最小二乘法的三維坐標(biāo)估計(jì)模型

超聲波三維坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)以FPGA作為核心處理單元，為了實(shí)現(xiàn)空間點(diǎn)位置的實(shí)時(shí)監(jiān)控與測(cè)量，考慮FPGA中定位算法對(duì)邏輯單元的使用率和處理速度，本文在保證反演精度的情況下，提出采用基于最小二乘法的三維坐標(biāo)反演模型，實(shí)現(xiàn)三維坐標(biāo)計(jì)算。

為了便于反演算法的實(shí)現(xiàn)，對(duì)公式（1）兩邊進(jìn)行平方，得距離方程的平方形式

為進(jìn)行最小二乘估計(jì)，首先要將n個(gè)測(cè)量方程組線性化［7］?？刹捎孟嘟粓A弦線的方法進(jìn)行線性化方程，將第2至n共n－1個(gè)測(cè)距方程分別減去第1個(gè)測(cè)距方程，可得到n－1個(gè)互不相關(guān)的線性方程

由最小二乘定義可知，最接近正確三維坐標(biāo)的坐標(biāo)值是在距離殘差和（此處為距離平方的殘差和）為最小的情況下得到的。對(duì)式（4）組成的方程組進(jìn)行最小二乘估計(jì)，其正規(guī)方程可用矩陣形式表示為

其中

因此，可推導(dǎo)出坐標(biāo)的估計(jì)值為

式（5）即為基于最小二乘法的三維坐標(biāo)估計(jì)模型。

3 實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)裝置原理圖見(jiàn)圖2所示，為了便于實(shí)驗(yàn)研究，采用2塊標(biāo)準(zhǔn)的孔板作為超聲波發(fā)射端和超聲波接收端，2塊孔板上各打5×5個(gè)通孔，每個(gè)通孔間距100 mm，超聲波發(fā)射端和超聲波接收端能正好固定于通孔中，2塊孔板中接收端的孔板固定，而發(fā)射端的孔板安裝在導(dǎo)軌上，可前后調(diào)節(jié)。以接收孔板中第3排第一個(gè)孔孔心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，孔板第3排孔心的連線為x坐標(biāo)軸，孔板的垂線為y坐標(biāo)軸，第1列孔心的連線為z坐標(biāo)軸。

圖2 測(cè)量裝置簡(jiǎn)圖Fig 2 Diagram of measuring device

把4個(gè)超聲波接收端安裝在A，B，C，D4個(gè)點(diǎn)，4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

在不同y坐標(biāo)的各5個(gè)位置安裝超聲波發(fā)射端，每個(gè)位置進(jìn)行20次測(cè)量，以20次測(cè)量的平均值作為測(cè)量結(jié)果，見(jiàn)表1所示。

表1 三維坐標(biāo)測(cè)量值與誤差分析Tab 1 Measurement values and error analysis of three-dimensional coordinate

由表1可知采用最小二乘三維反演算法對(duì)超聲波三維測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行位置計(jì)算，計(jì)算結(jié)果x，y，z三軸的絕對(duì)誤差均小于20mm，對(duì)每個(gè)位置的20次重復(fù)測(cè)量進(jìn)行分析，每個(gè)坐標(biāo)上最大值和最小值之差不超過(guò)5 mm，因此，雖然絕對(duì)誤差較大，但是測(cè)量的重復(fù)性較好，可以通過(guò)誤差補(bǔ)償?shù)确椒▽?shí)現(xiàn)更高精度的檢測(cè)。分析測(cè)量數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)測(cè)量定位誤差主要來(lái)源于收發(fā)機(jī)之間的角度引起的測(cè)距誤差，由于超聲波的衰減和傳播時(shí)間受距離和相對(duì)角度的影響，在三維坐標(biāo)檢測(cè)中，必須要考慮角度誤差的補(bǔ)償，以實(shí)現(xiàn)更高精度的測(cè)量。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于超聲傳感器的低成本三維坐標(biāo)測(cè)量方法，該方法采用超聲波傳感器做為三維探測(cè)傳感器，根據(jù)一個(gè)發(fā)射端到多個(gè)接收端之間的距離實(shí)現(xiàn)空間三維坐標(biāo)的反演，系統(tǒng)定位誤差小于20 mm，其主要誤差來(lái)源于收發(fā)機(jī)之間的角度引起的測(cè)距誤差，但重復(fù)性較好，系統(tǒng)精度有進(jìn)一步提升的空間。同時(shí)系統(tǒng)具有成本低、可擴(kuò)展性強(qiáng)等特點(diǎn)，具有廣泛的應(yīng)用前景。

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