李 碩， 趙彤帆， 李根全， 宋海珍

(1.南陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，河南 南陽(yáng) 473061;2.河南省教育廳 電教館，河南 鄭州 450004)

0 引言

1 大角度自由振動(dòng)單擺周期與角振幅的關(guān)系曲線

分析一個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性時(shí)需要去掉某些次要因素，把其簡(jiǎn)化為動(dòng)力學(xué)模型，同時(shí)確定其自由度數(shù)。以擺動(dòng)為例，最簡(jiǎn)單的是保守力場(chǎng)中無(wú)阻尼的單擺模型，設(shè)懸線長(zhǎng)為 l、擺角為 θ(θ＜5°)，取擺長(zhǎng) l=1、重力加速度g=9.8，可以計(jì)算出單擺小角擺動(dòng)時(shí)的微分方程為

式(2)是單擺小角擺動(dòng)時(shí)的微分方程，也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，式(2)的解為

式中，Aθ、α是由初值條件來(lái)決定的待定常數(shù)。

若大角度擺動(dòng)，不能近似用sin θ≈θ，微分方程由式(1)改為

小角度單擺的周期為

改變擺角的大小，用數(shù)值計(jì)算法和相圖法研究大角度單擺的周期變化。通過(guò)求解式(4)的數(shù)值解和已有的實(shí)驗(yàn)研究[12]，得到在大擺角下單擺周期與角振幅的關(guān)系

利用Matlab畫圖我們可以清楚的看到大角度單擺的周期變化，結(jié)果如圖1、2所示。

大數(shù)據(jù)背景下，市場(chǎng)營(yíng)銷的內(nèi)涵得到了明顯的更新，在這種情況下，企業(yè)就應(yīng)積極地創(chuàng)新?tīng)I(yíng)銷方式，將企業(yè)文化、理念、信譽(yù)以及服務(wù)進(jìn)行有機(jī)的融合，銷售給消費(fèi)者以及一切潛在的客戶，最終在完成產(chǎn)品交易的同時(shí)，傳播企業(yè)文化，真正實(shí)現(xiàn)品牌營(yíng)銷。除此之外，企業(yè)還應(yīng)不斷增加品牌價(jià)值，加大宣傳以及展示力度，促使企業(yè)營(yíng)銷管理能夠緊隨大數(shù)據(jù)時(shí)代的發(fā)展，樹立良好的企業(yè)核心競(jìng)爭(zhēng)力。

圖1 大角度單擺的周期變化

圖2 不同擺角的位移曲線

圖1表示角振幅A(最大擺角)在0，π()/2內(nèi)變化時(shí)相對(duì)應(yīng)的周期變化，隨著角振幅增大，周期不斷變大。圖2說(shuō)明在無(wú)阻尼情況下，小角度和大角度單擺都呈周期性變化，角振幅越大周期越長(zhǎng)。圖1和圖2所表現(xiàn)的結(jié)果符合式(6)。

2 大角度自由振動(dòng)單擺的相圖

在單擺的擺動(dòng)問(wèn)題中，系統(tǒng)自由度為1，選取廣義坐標(biāo)θ來(lái)描述單擺的運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)動(dòng)能為，勢(shì)能為 V=mgl(1 －cos θ)，能量關(guān)系為

由式(7)可以得到角速度

式(8)給出了角度和角速度的關(guān)系，使用Matlab軟件，根據(jù)式(9)畫出圖3中單擺不同能量下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

相圖是相平衡系統(tǒng)和一些參數(shù)(能量、角度、角速度)的關(guān)系圖，圖像可以方便地判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，漸近穩(wěn)定性等。E＜2mgl，單擺能量較小，其軌跡為一閉合的橢圓曲線。E＞2mgl，擺在勢(shì)場(chǎng)中作定向運(yùn)動(dòng)，其軌跡是兩條不相交的曲線，θ可以趨向 ±∞。E=2mgl，運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了臨界狀態(tài)(圖3中曲線的交點(diǎn)，即鞍點(diǎn))，下一刻的運(yùn)動(dòng)具有不確定性，由此出現(xiàn)了非線性現(xiàn)象[13]，在非線性振動(dòng)中，輕微擾動(dòng)會(huì)使系統(tǒng)出現(xiàn)間斷和分岔。

圖3 不同能量單擺的相圖

3 大角度阻尼振動(dòng)單擺的相圖

如果考慮阻尼影響，將式(4)改為

對(duì)于耗散系統(tǒng)，研究的是系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間的行為。根據(jù)式(11)，用Matlab軟件繪制阻尼振動(dòng)單擺的相圖。

圖4(a)中說(shuō)明單擺的在耗散系統(tǒng)中出現(xiàn)了混沌，這種集合環(huán)繞形象稱為“奇怪吸引子”。對(duì)于相圖中的混沌軌道，可以看出在保守系統(tǒng)中能量的耗散。比較圖4(a)和(b)，阻尼系數(shù)做微小的改變，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行輕微擾動(dòng)，長(zhǎng)時(shí)間后的變化卻是巨大的，這體現(xiàn)了混沌現(xiàn)象的隨機(jī)性和不可預(yù)測(cè)性。

圖4 有阻尼單擺的相圖

4 彈簧單擺微分方程的求解及動(dòng)畫效果

設(shè)質(zhì)量為m的擺球掛在勁度系數(shù)為k的輕彈簧上，彈簧原長(zhǎng)為l0，則系統(tǒng)靜止時(shí)彈簧自然下垂長(zhǎng)度為l=l0+mg/k，讓擺在豎直平面內(nèi)自由擺動(dòng)。系統(tǒng)自由度為2，設(shè)r為擺球到固定點(diǎn)的距離，擺角為θ。系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

由式(12)根據(jù)Lagrange方程求出系統(tǒng)的微分方程

為了方便程序的編輯，令 y1=r，y2=，y3= θ，y4=，將式(13)改寫為

給出彈簧單擺編輯程序，了解如何求解簡(jiǎn)單的微分方程數(shù)值解，建立M文件，文件名存為thb_rk4_5.m，程序編輯如下:

在命令窗口輸入:

時(shí)間的終點(diǎn)可以自由改動(dòng)，所得的數(shù)值解可以得到變量之間的關(guān)系圖。程序中設(shè)定y1、y2、y3、y4的初值均為 1，即當(dāng) r(0)=1(0)=1 時(shí)得到圖5(a);當(dāng)(0)=1(0)=1 時(shí)得到圖5(b)。

Matlab軟件用于求出微分方程的數(shù)值解，簡(jiǎn)化了傳統(tǒng)計(jì)算微分方程的復(fù)雜性[14]。圖5中可以清楚地看到在一定時(shí)間內(nèi)，角度、角速度的變化。在角度趨近零度時(shí)，總擺長(zhǎng)總是有增大趨勢(shì)。說(shuō)明擺長(zhǎng)和角度不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，與彈簧的勁度、角速度都有關(guān)系(通過(guò)改變勁度、角度、角速度任一系數(shù)可以觀察相圖變化)。Matlab軟件選取不同的參數(shù)[15-16]，可以觀察所選取參數(shù)的變化規(guī)律。

彈簧擺的運(yùn)動(dòng)由于實(shí)驗(yàn)器材帶來(lái)的誤差，使得實(shí)驗(yàn)效果不佳，在教學(xué)過(guò)程中，可以利用Matlab軟件的3D視圖動(dòng)畫效果觀察擺動(dòng)現(xiàn)象，如圖6所示，使用pause命令設(shè)定擺動(dòng)時(shí)間。

圖5 求解彈簧擺微分方程數(shù)值曲線

圖6 彈簧擺的動(dòng)畫效果

圖6是彈簧擺的動(dòng)畫，擺球下面的曲線是擺球運(yùn)動(dòng)的軌跡，使用Rotate 3D命令可以拖動(dòng)圖像旋轉(zhuǎn)，可以從不同角度觀察，這種視圖效果可以直接看到擺動(dòng)效果，而且彌補(bǔ)了實(shí)驗(yàn)帶來(lái)的操作誤差。

5 結(jié)語(yǔ)

本文以單擺自由振動(dòng)為例，展現(xiàn)了Matlab軟件在微分方程求解、動(dòng)畫視圖、計(jì)算結(jié)果可視化方面的應(yīng)用。結(jié)果表明，用Matlab處理自由振動(dòng)問(wèn)題，可使計(jì)算快捷高效，計(jì)算結(jié)果物理意義清晰，而且大大提高了同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣和自學(xué)能力。

[1] 王振發(fā).分析力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社，2003.

[2] 劉式達(dá)，梁福明，劉式適，等.自然科學(xué)中的混沌和分形[M].北京:北京大學(xué)出版社，2003.

[3] 胡盤新，鐘季康.在大學(xué)物理教材中引入計(jì)算機(jī)數(shù)值解的嘗試[J].物理與工程，2006，16(2):47-50.

[4] 宋海珍，盧 成，張鴻軍.基于Maple的理論力學(xué)教學(xué)實(shí)踐[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2011，30(7):11-14.

[5] 呂秀麗，牟海維，李賢麗.Matlab在電磁場(chǎng)與電磁波實(shí)驗(yàn)教學(xué)中之應(yīng)用[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2010(2):110-112.

[6] 程 鈴，徐冬冬.Matlab仿真在通信原理教學(xué)中的應(yīng)用[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2010(2):117-119.

[7] 魯興舉，彭學(xué)鋒，鄭志強(qiáng).提高自動(dòng)化專業(yè)學(xué)生工程素質(zhì)-以倒置擺實(shí)驗(yàn)為例[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2011，30(10):272-275.

[8] 劉亮元，賀達(dá)江.電磁場(chǎng)與電磁波實(shí)驗(yàn)教學(xué)[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2010，29(5):30-32.

[9] 宋海珍，，張鴻軍，盧 成.基于Maple軟件的理論力學(xué)可視化教學(xué)探索[J].實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理，2011，29(1):93-95.

[10] 張 威.MATLAB基礎(chǔ)與編程入門[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2008.

[11] 呂良軍，楊勝用.Matlab在大學(xué)物理中應(yīng)用的幾個(gè)實(shí)例[J].中國(guó)科技信息，2008(19):250-251.

[12] 王志偉，李闖國(guó).大角度下單擺周期變化的實(shí)驗(yàn)分析[J].青海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，25(2):92-94.

[13] 符五久，饒黃云.單擺系統(tǒng)通向混沌的道路[J].大學(xué)物理，2008，27(1):5-10.

[14] 尹新國(guó)，楊遠(yuǎn)貴，公丕峰，等.倒置擺的運(yùn)動(dòng)研究[J].大學(xué)物理，2010，29(11):16-20.

[15] 楊正波，夏清華，劉思平.不同控制參數(shù)下的彈簧擺[J].大學(xué)物理，2011，30(5):23-26.

[16] 楊正波，夏清華，劉思平.多彈簧振子耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)研究[J].大學(xué)物理，2010，29(4):29-32.