李 碩, 趙彤帆, 李根全, 宋海珍
(1.南陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,河南 南陽(yáng) 473061;2.河南省教育廳 電教館,河南 鄭州 450004)
分析一個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性時(shí)需要去掉某些次要因素,把其簡(jiǎn)化為動(dòng)力學(xué)模型,同時(shí)確定其自由度數(shù)。以擺動(dòng)為例,最簡(jiǎn)單的是保守力場(chǎng)中無(wú)阻尼的單擺模型,設(shè)懸線長(zhǎng)為 l、擺角為 θ(θ<5°),取擺長(zhǎng) l=1、重力加速度g=9.8,可以計(jì)算出單擺小角擺動(dòng)時(shí)的微分方程為
式(2)是單擺小角擺動(dòng)時(shí)的微分方程,也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程,式(2)的解為
式中,Aθ、α是由初值條件來(lái)決定的待定常數(shù)。
若大角度擺動(dòng),不能近似用sin θ≈θ,微分方程由式(1)改為
小角度單擺的周期為
改變擺角的大小,用數(shù)值計(jì)算法和相圖法研究大角度單擺的周期變化。通過(guò)求解式(4)的數(shù)值解和已有的實(shí)驗(yàn)研究[12],得到在大擺角下單擺周期與角振幅的關(guān)系
利用Matlab畫圖我們可以清楚的看到大角度單擺的周期變化,結(jié)果如圖1、2所示。
大數(shù)據(jù)背景下,市場(chǎng)營(yíng)銷的內(nèi)涵得到了明顯的更新,在這種情況下,企業(yè)就應(yīng)積極地創(chuàng)新?tīng)I(yíng)銷方式,將企業(yè)文化、理念、信譽(yù)以及服務(wù)進(jìn)行有機(jī)的融合,銷售給消費(fèi)者以及一切潛在的客戶,最終在完成產(chǎn)品交易的同時(shí),傳播企業(yè)文化,真正實(shí)現(xiàn)品牌營(yíng)銷。除此之外,企業(yè)還應(yīng)不斷增加品牌價(jià)值,加大宣傳以及展示力度,促使企業(yè)營(yíng)銷管理能夠緊隨大數(shù)據(jù)時(shí)代的發(fā)展,樹立良好的企業(yè)核心競(jìng)爭(zhēng)力。
圖1 大角度單擺的周期變化
圖2 不同擺角的位移曲線
圖1表示角振幅A(最大擺角)在0,π()/2內(nèi)變化時(shí)相對(duì)應(yīng)的周期變化,隨著角振幅增大,周期不斷變大。圖2說(shuō)明在無(wú)阻尼情況下,小角度和大角度單擺都呈周期性變化,角振幅越大周期越長(zhǎng)。圖1和圖2所表現(xiàn)的結(jié)果符合式(6)。
在單擺的擺動(dòng)問(wèn)題中,系統(tǒng)自由度為1,選取廣義坐標(biāo)θ來(lái)描述單擺的運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)動(dòng)能為,勢(shì)能為 V=mgl(1 -cos θ),能量關(guān)系為
由式(7)可以得到角速度
式(8)給出了角度和角速度的關(guān)系,使用Matlab軟件,根據(jù)式(9)畫出圖3中單擺不同能量下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。
相圖是相平衡系統(tǒng)和一些參數(shù)(能量、角度、角速度)的關(guān)系圖,圖像可以方便地判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,漸近穩(wěn)定性等。E<2mgl,單擺能量較小,其軌跡為一閉合的橢圓曲線。E>2mgl,擺在勢(shì)場(chǎng)中作定向運(yùn)動(dòng),其軌跡是兩條不相交的曲線,θ可以趨向 ±∞。E=2mgl,運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了臨界狀態(tài)(圖3中曲線的交點(diǎn),即鞍點(diǎn)),下一刻的運(yùn)動(dòng)具有不確定性,由此出現(xiàn)了非線性現(xiàn)象[13],在非線性振動(dòng)中,輕微擾動(dòng)會(huì)使系統(tǒng)出現(xiàn)間斷和分岔。
圖3 不同能量單擺的相圖
如果考慮阻尼影響,將式(4)改為
對(duì)于耗散系統(tǒng),研究的是系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間的行為。根據(jù)式(11),用Matlab軟件繪制阻尼振動(dòng)單擺的相圖。
圖4(a)中說(shuō)明單擺的在耗散系統(tǒng)中出現(xiàn)了混沌,這種集合環(huán)繞形象稱為“奇怪吸引子”。對(duì)于相圖中的混沌軌道,可以看出在保守系統(tǒng)中能量的耗散。比較圖4(a)和(b),阻尼系數(shù)做微小的改變,對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行輕微擾動(dòng),長(zhǎng)時(shí)間后的變化卻是巨大的,這體現(xiàn)了混沌現(xiàn)象的隨機(jī)性和不可預(yù)測(cè)性。
圖4 有阻尼單擺的相圖
設(shè)質(zhì)量為m的擺球掛在勁度系數(shù)為k的輕彈簧上,彈簧原長(zhǎng)為l0,則系統(tǒng)靜止時(shí)彈簧自然下垂長(zhǎng)度為l=l0+mg/k,讓擺在豎直平面內(nèi)自由擺動(dòng)。系統(tǒng)自由度為2,設(shè)r為擺球到固定點(diǎn)的距離,擺角為θ。系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為
由式(12)根據(jù)Lagrange方程求出系統(tǒng)的微分方程
為了方便程序的編輯,令 y1=r,y2=,y3= θ,y4=,將式(13)改寫為
給出彈簧單擺編輯程序,了解如何求解簡(jiǎn)單的微分方程數(shù)值解,建立M文件,文件名存為thb_rk4_5.m,程序編輯如下:
在命令窗口輸入:
時(shí)間的終點(diǎn)可以自由改動(dòng),所得的數(shù)值解可以得到變量之間的關(guān)系圖。程序中設(shè)定y1、y2、y3、y4的初值均為 1,即當(dāng) r(0)=1(0)=1 時(shí)得到圖5(a);當(dāng)(0)=1(0)=1 時(shí)得到圖5(b)。
Matlab軟件用于求出微分方程的數(shù)值解,簡(jiǎn)化了傳統(tǒng)計(jì)算微分方程的復(fù)雜性[14]。圖5中可以清楚地看到在一定時(shí)間內(nèi),角度、角速度的變化。在角度趨近零度時(shí),總擺長(zhǎng)總是有增大趨勢(shì)。說(shuō)明擺長(zhǎng)和角度不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系,與彈簧的勁度、角速度都有關(guān)系(通過(guò)改變勁度、角度、角速度任一系數(shù)可以觀察相圖變化)。Matlab軟件選取不同的參數(shù)[15-16],可以觀察所選取參數(shù)的變化規(guī)律。
彈簧擺的運(yùn)動(dòng)由于實(shí)驗(yàn)器材帶來(lái)的誤差,使得實(shí)驗(yàn)效果不佳,在教學(xué)過(guò)程中,可以利用Matlab軟件的3D視圖動(dòng)畫效果觀察擺動(dòng)現(xiàn)象,如圖6所示,使用pause命令設(shè)定擺動(dòng)時(shí)間。
圖5 求解彈簧擺微分方程數(shù)值曲線
圖6 彈簧擺的動(dòng)畫效果
圖6是彈簧擺的動(dòng)畫,擺球下面的曲線是擺球運(yùn)動(dòng)的軌跡,使用Rotate 3D命令可以拖動(dòng)圖像旋轉(zhuǎn),可以從不同角度觀察,這種視圖效果可以直接看到擺動(dòng)效果,而且彌補(bǔ)了實(shí)驗(yàn)帶來(lái)的操作誤差。
本文以單擺自由振動(dòng)為例,展現(xiàn)了Matlab軟件在微分方程求解、動(dòng)畫視圖、計(jì)算結(jié)果可視化方面的應(yīng)用。結(jié)果表明,用Matlab處理自由振動(dòng)問(wèn)題,可使計(jì)算快捷高效,計(jì)算結(jié)果物理意義清晰,而且大大提高了同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣和自學(xué)能力。
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