王亞超，劉 軍，何湘寧

（浙江大學(xué) 電力電子技術(shù)國家專業(yè)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310027）

0 引言

高壓大功率變壓器是諧振式高壓靜電除塵電源的關(guān)鍵部件，其漏感作為諧振電感參與電路工作，直接決定電路的拓?fù)浜涂刂品绞?，因此要求變壓器設(shè)計(jì)時(shí)，能夠?qū)β└羞M(jìn)行較為準(zhǔn)確的計(jì)算［1］。

變壓器的漏感主要受磁芯和繞組結(jié)構(gòu)、制作工藝及工作頻率的影響，其中工作頻率的影響主要表現(xiàn)為高頻下的渦流效應(yīng)，在低頻時(shí)可忽略［2］。繞組同心柱繞制的E型磁芯變壓器（以下簡稱E型變壓器），其漏感可利用與變壓器結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的一維解析式計(jì)算［3］，或利用改造后的二維有限元軸對稱模型仿真［4］。原副邊繞組非同心柱結(jié)構(gòu)的E型變壓器，其漏感的一維解析式較復(fù)雜，特殊情況下，如繞組緊密圍繞磁芯繞制時(shí)，可選擇雙二維有限元模型仿真［5-6］。三維有限元模型在正確建模和剖分的基礎(chǔ)上，可得到精確性較高的仿真結(jié)果，與二維有限元模型相比，其有限元網(wǎng)格剖分復(fù)雜，仿真時(shí)間長，對計(jì)算機(jī)內(nèi)存和存儲器的要求也更高。尤其對于尺寸大、匝數(shù)多和繞組結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的高壓高頻大功率變壓器，綜合考慮建模過程、仿真精度和仿真時(shí)間等因素，目前采用二維有限元仿真模型可達(dá)到縮短仿真時(shí)間、降低仿真難度的目的［4-7］。

本文以一個(gè)輸出72 kV/1 A的高頻電除塵電源為例，計(jì)算應(yīng)用于該變換器的E型變壓器的漏感。該變壓器無氣隙，原副邊繞組同心柱繞制，不考慮渦流效應(yīng)時(shí)，其漏感可用一維解析式計(jì)算［3］，但該方法對漏磁分布作了較多的簡化和等效，計(jì)算精度不高?？紤]渦流效應(yīng)后，雖然可使用數(shù)值法對漏感進(jìn)行理論計(jì)算，但應(yīng)用復(fù)雜，且只在某些特殊結(jié)構(gòu)下具有較好的計(jì)算精度［8-11］。有限元仿真可準(zhǔn)確方便地模擬真實(shí)磁場分布，但E型變壓器為非軸對稱結(jié)構(gòu)，不能直接應(yīng)用二維軸對稱模型，且該變壓器副邊繞制在與磁芯距離較大的圓形骨架上，也不適用雙二維模型。鑒于變壓器的結(jié)構(gòu)復(fù)雜、尺寸較大，選擇適當(dāng)?shù)亩S有限元模型，在滿足較高的仿真精度前提下，縮短仿真時(shí)間，是較好的選擇。

對于無氣隙E型變壓器，文獻(xiàn)［4］基于阻抗相等的概念，通過對磁芯磁導(dǎo)率和導(dǎo)體電阻率進(jìn)行改造，使仿真模型阻抗與實(shí)際變壓器阻抗相等，提出了適用于E型變壓器仿真的二維軸對稱模型，但由于只考慮了一個(gè)截面，在等效三維磁場分布上還存在一定缺陷。文獻(xiàn)［7］繼承文獻(xiàn)［4］磁阻相等的理念，由2個(gè)不同截面軸對稱模型的組合，形成了更接近E型變壓器磁場分布的二維軸對稱模型，稱之為二維ERXP模型。

本文分析的變壓器原副邊繞組均繞制在磁芯中柱上，且中柱截面為矩形，但文獻(xiàn)［7］僅對中柱截面為圓形的E型變壓器進(jìn)行了研究。因此，結(jié)合實(shí)際變壓器的結(jié)構(gòu)和文獻(xiàn)［4］對矩形截面的等效，文中對二維ERXP模型進(jìn)行了合理的改造，得到了適用于該類型變壓器的漏感仿真模型。

1 應(yīng)用背景及漏感計(jì)算方法概述

1.1 LCC高壓靜電除塵電源簡介

本文分析的變壓器應(yīng)用在高壓大功率LCC諧振變換器上，其電路拓?fù)淙鐖D1所示，輸入為直流500 V電壓，額定輸出為72 kV/1 A。虛線框所示為變壓器的簡化模型，其漏感Lr和繞組電容Cp作為諧振元件，與外加的串聯(lián)諧振電容Cr一起組成了LCC諧振。

圖1 LCC諧振變換器電路拓?fù)銯ig.1 Topology of LCC resonant converter

諧振電流ir簡化波形如圖2所示，其中，第1、2幅圖分別為VT1、VT4和 VT2、VT3的開通及關(guān)斷脈沖。通過對電路的分析可知，漏感Lr直接影響電路的調(diào)頻調(diào)壓特性和諧振電流峰值，因此，在設(shè)計(jì)變壓器時(shí)，進(jìn)行準(zhǔn)確的漏感計(jì)算，對諧振變換器功率器件的選取以及電路的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

圖2 諧振電流典型波形Fig.2 Typical waveform of resonant current

1.2 漏感一維解析算法

變壓器漏感一維解析算法，不考慮高頻渦流效應(yīng)，認(rèn)為磁力線在磁芯窗口一維分布，直接利用變壓器結(jié)構(gòu)參數(shù)計(jì)算［3］。本文分析的變壓器初、次級繞組均安放在中柱上，低壓繞組為6匝300 mm×0.2 mm銅箔，高壓繞組采用1.12 mm漆包線，分別纏繞在12個(gè)槽內(nèi)，每個(gè)槽分9層。變壓器結(jié)構(gòu)和線圈窗口磁場分布如圖3所示，由于應(yīng)用在高壓場合，原副邊留有足夠大的絕緣距離以保證線圈不被擊穿，繞組間的漏磁場能量較大。

圖3 變壓器繞組結(jié)構(gòu)及窗口磁場分布（正視圖）Fig.3 Transformer winding structure and magnetic field distribution in core window（front view）

變壓器的漏感是一個(gè)寄生參數(shù)，用來表征漏磁通所產(chǎn)生的磁場能量，假定磁場強(qiáng)度H在磁芯窗口線性變化，如圖3所示，則總磁場能量Wm可通過對磁場強(qiáng)度H的線性積分求得，等效到初級側(cè)的變壓器漏感Lr計(jì)算公式為：

其中，I1為變壓器原邊電流；N1為變壓器原邊繞組匝數(shù)；μ0為空氣磁導(dǎo)率；le為磁芯窗口高度；b為原邊繞組寬度；d為副邊繞組寬度；lav1、lav2為原邊、副邊繞組平均匝長；S為原副邊間隔帶的上視面截面積。

一維解析算法忽略了磁芯中的漏磁通，認(rèn)為磁芯中的磁場強(qiáng)度為零，磁芯窗口的磁場能量即等于總的漏磁能量；不考慮渦流效應(yīng)，認(rèn)為磁場在磁芯窗口一維分布，磁場強(qiáng)度在原副邊繞組間保持不變。但實(shí)際變壓器的磁芯相對磁導(dǎo)率不是無窮大，磁芯中的漏磁通會產(chǎn)生少量的漏磁能量，且原邊和副邊繞組高度均小于磁芯窗口高度，在繞組端部的磁場分布會發(fā)生畸變，原副邊繞組間磁場強(qiáng)度也非定值，因此，一維解析算法并不適用于漏感的精確計(jì)算。

1.3 E型變壓器二維有限元仿真模型比較

已有文獻(xiàn)提出了幾種適用于E型變壓器的二維仿真模型，在電磁場仿真方面達(dá)到了較小的計(jì)算誤差［8-11］。鑒于本文分析的變壓器三維結(jié)構(gòu)復(fù)雜，導(dǎo)致三維有限元剖分難度較高且仿真時(shí)間較長，因此，在綜合考慮仿真時(shí)間和仿真精度的前提下，通過對幾種現(xiàn)有的二維模型進(jìn)行比較，選擇了二維ERXP軸對稱模型。

二維軸對稱模型適用于軸對稱結(jié)構(gòu)的變壓器，基本思想是建立一個(gè)變壓器的1/2模型截面，通過繞對稱軸旋轉(zhuǎn)形成實(shí)體，以等效實(shí)際的三維結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)［4］基于阻抗相等的概念，在平行于磁芯最長邊的截面（以下簡稱P截面，如圖4所示）建立了改造的1/2軸對稱模型，但由圖4可見，該模型也存在缺陷，未考慮垂直于磁芯最長邊的截面（以下簡稱T截面），而T截面磁場分布顯然不同于P截面。

圖4 E型變壓器P截面和T截面Fig.4 P and T sections of E-core transformer

文獻(xiàn)［5-6］提出的雙二維模型在P截面和T截面分別建立平面模型，忽略繞組拐角處的能量，仿真結(jié)果分別乘以繞組在該平面的延伸長度，相加后等效實(shí)際E型變壓器的三維磁場分布。該模型適用于繞組緊密圍繞磁芯柱的E型變壓器，本文分析的E型變壓器應(yīng)用在高壓場合，原副邊有很大的絕緣距離，副邊繞組繞制在距離磁芯較遠(yuǎn)的圓形骨架上，所以該方法并不適合。

文獻(xiàn)［7］提出了一種稱為ERXP的二維軸對稱模型，該模型結(jié)合了文獻(xiàn)［4-6］的優(yōu)勢，基于磁阻相等的建模思想，分別在P截面和T截面建立軸對稱模型，P截面建立ER模型，T截面建立XP模型。對模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了改造，使2個(gè)模型的等效磁阻與實(shí)際變壓器磁阻保持一致，并在XP模型中增加了一個(gè)額外的磁芯柱，構(gòu)成低磁阻磁通流通路徑，以更好地模擬E型變壓器的三維電磁場分布。

通過以上比較可見，二維ERXP模型理論上比其他二維模型更適用于E型變壓器的仿真。文獻(xiàn)［7］僅討論了磁芯中柱為圓形截面的情況，本文分析的變壓器磁芯中柱為矩形截面，下文結(jié)合實(shí)際變壓器的結(jié)構(gòu)和文獻(xiàn)［7］對矩形截面的等效，建立了適用于磁芯中柱為矩形截面的ERXP模型，文中所使用的ERXP模型基本公式均參考文獻(xiàn)［7］。

2 ERXP模型漏感計(jì)算

2.1 加權(quán)平均系數(shù)及實(shí)際變壓器磁阻求解

ERXP模型包括P和T 2個(gè)軸對稱的截面，2個(gè)模型的仿真結(jié)果經(jīng)過加權(quán)平均后，等效實(shí)際變壓器的三維磁場分布。根據(jù)ER和XP模型各自對應(yīng)的繞組上視面截面積，決定加權(quán)平均系數(shù)。本文分析的變壓器，原邊繞組為緊密繞在磁芯中柱的銅箔，其上視面截面積相對副邊很小，對加權(quán)平均系數(shù)影響不大，故不予考慮，只根據(jù)副邊繞組上視面截面積來計(jì)算加權(quán)平均系數(shù)。實(shí)際變壓器的上視圖如圖5所示，A1為XP模型對應(yīng)的副邊繞組截面，A2為ER模型對應(yīng)的副邊繞組截面，加權(quán)系數(shù)η可由式（2）求得，ER和XP模型仿真結(jié)果加權(quán)平均后得到總仿真結(jié)果如式（3）所示。

其中，WERXP、WXP、WER分別為總仿真結(jié)果、XP 模型仿真結(jié)果和ER模型仿真結(jié)果。

為建立ERXP模型，首先要求出實(shí)際變壓器的總磁阻，E型變壓器1/2模型的等效磁阻計(jì)算模型如圖6所示。

圖5 變壓器上視圖Fig.5 Top view of transformer

圖6 變壓器磁阻計(jì)算模型Fig.6 Calculation model of transformer magnetic reluctance

根據(jù)圖6所示磁力線的流通路徑可得到1/2變壓器的等效磁阻模型，其中，磁阻 R1、R2、R3、R4可由式（4）求得，窗口磁阻Rw與磁芯磁阻2R3+R4并聯(lián)，可由式（5）求出，變壓器的總磁阻根據(jù)各等效磁阻的連接方式可由式（6）求出。

其中，μ0為空氣磁導(dǎo)率，μr為磁芯的相對磁導(dǎo)率，l為磁通流通方向上的長度，A為截面積。

2.2 建立ERXP模型

實(shí)際變壓器磁芯中柱為矩形截面，在保證磁芯中柱磁阻R1不變的前提下，為建立二維ERXP模型，將矩形截面等效為等面積的圓形截面，則緊密繞在磁芯中柱的原邊繞組周長會改變，為不影響仿真效果，根據(jù)式（7）改變原邊導(dǎo)體的電阻率，使原邊導(dǎo)體電阻保持不變［4］。

其中，ρm為ERXP模型導(dǎo)體等效電阻率，ρcu為實(shí)際銅導(dǎo)體電阻率；la為原邊繞組的實(shí)際周長，lm為ERXP模型的原邊繞組周長。

ERXP模型磁芯中柱磁阻經(jīng)過上述等效后，與實(shí)際變壓器磁芯中柱磁阻R1保持一致。ER二維軸對稱模型在P截面建立，要保證總磁阻相同，僅需改變P截面中E型磁芯的所有邊柱尺寸為t，磁芯窗口尺寸保持不變，如圖7所示。

圖7 ER模型Fig.7 ER model

ER模型根據(jù)磁通流通路徑等效的磁阻模型如圖 7（c）所示，ER 模型總磁阻 RER可由 R1、Rtop、Router和Rw根據(jù)其連接方式由式（8）求得，各磁阻計(jì)算公式見式（9）—（11），式中所有尺寸標(biāo)注見圖 7（b），其中O表示以對稱軸為起點(diǎn)，ri、rave、ro為從起點(diǎn)到相應(yīng)點(diǎn)距離的尺寸標(biāo)注。保持磁芯中柱磁阻R1不變，僅改變邊柱尺寸為t，使該模型總磁阻RER與實(shí)際變壓器總磁阻Rtotal相等，解出唯一的未知尺寸t，即可建立ER模型。

XP二維軸對稱模型在T截面建立，實(shí)際變壓器T截面如圖8（a）所示，若直接按照此截面建立軸對稱模型，則磁力線主要通過空氣路徑閉合，而實(shí)際的三維結(jié)構(gòu)中，磁力線主要通過磁芯閉合，因此在XP模型中附加了額外的磁芯邊柱，使得大部分磁通通過磁芯閉合，以更好地模擬實(shí)際變壓器的電磁場分布。

圖8 XP模型Fig.8 XP model

基于圖8（b）所示磁阻模型，XP模型總磁阻RXP可由式（12）求得，其中 Rnear，legs、Rtop，near、Rtop，far、Router分別對應(yīng)圖中所示的磁通流通路徑，各磁阻計(jì)算所需的尺寸標(biāo)注如圖9所示，同ER模型計(jì)算類似，各磁阻值的計(jì)算應(yīng)用式（4）。磁芯中柱磁阻R1保持不變，設(shè)磁芯邊柱尺寸為m，使得RXP與實(shí)際變壓器磁阻Rtotal相等，求得磁芯邊柱未知尺寸m，磁芯窗口的大小由實(shí)際變壓器的結(jié)構(gòu)計(jì)算，并不要求非常精確，對仿真精度影響不大，磁芯窗口高度e和寬度d的求解如圖8（a）和圖9（b）所示，得到了這3個(gè)未知尺寸，即可建立XP模型。

圖9 XP模型磁阻計(jì)算尺寸Fig.9 Dimensions of XP model by magnetic resistance calculation

由于實(shí)際變壓器的磁芯中柱截面為矩形，在建立ER和XP軸對稱模型中，需根據(jù)等磁阻關(guān)系，保持中柱截面積不變，將矩形截面等效為圓形截面，即保持ERXP模型磁芯中柱磁阻R1與實(shí)際變壓器磁芯中柱磁阻相等，以建立軸對稱模型。

2.3 仿真結(jié)果及后處理

本文選擇了Ansoft公司Maxwell二維電磁場仿真軟件，建立ERXP模型來計(jì)算變壓器的漏感。因?yàn)楦哳l渦流效應(yīng)對變壓器磁場分布的影響會表現(xiàn)在漏感上［11-12］，故選擇了渦流求解器，仿真不同頻率下漏感的變化。變壓器漏感表征漏磁通所產(chǎn)生的磁場能量，利用Maxwell后處理求解器得到漏感表征的總能量We，則等效到變壓器原邊的漏感Lr為：

考慮渦流效應(yīng)時(shí)，ER及XP模型的窗口磁場分布如圖10所示。

圖10 窗口磁場分布Fig.10 Magnetic field distribution in core window

圖中，顏色的變化表征磁場強(qiáng)度的變化，a至q代表的磁場強(qiáng)度分別為：1.2000×104A/m、1.2000×104A/m、1.102 0×104A/m、1.028 6×104A /m、9.5510×103A/m、8.8164×103A/m、8.0817×103A/m、7.347 0×103A/m、6.612 3×103A/m、5.877 6×103A/m、5.142 9×103A/m、4.408 2×103A/m、3.6736×103A/m、2.9389×103A/m、2.2042×103A/m、1.4695×103A/m、7.3480×102A/m、1.1701×10-1A/m。

由仿真結(jié)果可見，漏感能量主要集中在初次級繞組之間，與理論分析相符。原邊繞組為300 mm×0.2 mm的銅箔，由于端部效應(yīng)的影響，磁場強(qiáng)度在原邊繞組的端部會發(fā)生畸變，副邊繞組為1.12 mm漆包線，由于渦流效應(yīng)的影響，電流在導(dǎo)體中并非均勻分布，且繞組高度小于磁芯窗口高度，磁場強(qiáng)度在繞組之間非一維解析算法所假設(shè)的線性分布。

ERXP模型中變壓器的漏磁通分布如圖11所示。由于磁芯相對磁導(dǎo)率為有限值，磁芯中漏磁通的存在會產(chǎn)生一定的漏磁能量，一維解析算法忽略了這部分能量，這在一定程度上也增大了計(jì)算誤差。二維仿真全面計(jì)算了引起漏感的總能量，包括了磁芯、磁芯窗口及磁芯周圍仿真區(qū)域所有的漏磁能量，提高了計(jì)算準(zhǔn)確度。

圖11 ERXP模型漏磁通分布Fig.11 Leakage flux distribution of ERXP model

由于高頻渦流效應(yīng)對磁場分布的影響，漏感隨頻率的增大有減小的趨勢［8］，利用ERXP模型仿真了頻率在10～100 kHz之間變化時(shí)，漏感隨頻率的變化曲線，如圖12所示，與理論分析相符，可見在變壓器設(shè)計(jì)時(shí)，有必要根據(jù)工作頻率來計(jì)算漏感。

圖12 漏感隨頻率變化曲線Fig.12 Leakage inductance vs.frequency

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及結(jié)果對比

本文分析的變壓器應(yīng)用在具有容性輸出濾波的DCM LCC諧振變換器上，根據(jù)輸出短路時(shí)的諧振電流波形可求得折算到變壓器原邊的漏感值，如圖13所示。圖中

圖13 初級短路諧振電流波形Fig.13 Waveform of resonant current of primary short circuit

根據(jù)式（14）得到折算到變壓器原邊的漏感值為7.6 μH。圖13中諧振電流頻率為27 kHz，此時(shí)根據(jù)ERXP模型仿真的變壓器漏感為7.25 μH，變壓器漏感理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果對比如表1所示。

表1 漏感計(jì)算結(jié)果對比Tab.1 Comparison of leakage inductance results

由表1可見，以實(shí)測結(jié)果為基準(zhǔn)計(jì)算誤差，ERXP仿真結(jié)果的誤差僅為4.6%，比一維解析算法具有更高的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)語

本文以高壓大功率LCC諧振變換器為應(yīng)用背景，利用二維有限元仿真軟件，分析了一個(gè)原副邊繞組同心柱繞制，磁芯中柱為矩形截面的E型變壓器漏感計(jì)算問題。比較了幾種不同的計(jì)算方法，結(jié)合實(shí)際變壓器的結(jié)構(gòu)和工作特點(diǎn)，對ERXP二維軸對稱模型進(jìn)行改造后加以應(yīng)用，得到了與實(shí)測結(jié)果相比誤差較小的漏感仿真值，證明了建模的正確性，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討了高頻渦流效應(yīng)對漏感的影響。在繞制變壓器之前，利用ERXP二維模型仿真變壓器的漏感值，將為變壓器的設(shè)計(jì)、諧振變換器整體電路設(shè)計(jì)和控制方式的選擇提供很好的指導(dǎo)。