方進(jìn)明，張 虎，褚曉清

（中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島266100）

0 引言與預(yù)備

閉包算子及其閉包系統(tǒng)是經(jīng)典數(shù)學(xué)中諸多分支的研究對(duì)象，且可以描述計(jì)算機(jī)科學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的Galois聯(lián)絡(luò)現(xiàn)象。從1980年代起，以Gerla及其合作者為代表的諸多學(xué)者在模糊集理論的框架下，對(duì)模糊閉包算子及其閉包系統(tǒng)進(jìn)行了廣泛研究［1－3］。

受多值邏輯（或模糊邏輯）的影響，值格上邏輯結(jié)構(gòu)的介入成為格值閉包算子及其閉包系統(tǒng)研究的方向，如，2001年，Bělohlávek在文獻(xiàn)［4－5］中用完備剩余格上的邏輯結(jié)構(gòu)作為推理模型提出了一類所謂LK－閉包算子及LK－閉包系統(tǒng)的概念，其中此處的K是指定格L上的經(jīng)典序?yàn)V子（或?yàn)V子），借用序?yàn)V子這一工具，Bělohlávek亦在文獻(xiàn)［5］中對(duì)模糊Galois聯(lián)絡(luò)現(xiàn)象進(jìn)行了研究。又如，取K為指定格L，張德學(xué)在文獻(xiàn)［6］中引入了與他的強(qiáng)L－拓?fù)鋮f(xié)調(diào)的強(qiáng)L－閉包算子的概念；方進(jìn)明在文獻(xiàn)［7］中，在完備剩余格的環(huán)境下，提出了多值閉包系統(tǒng)的概念，并用范疇論方法界定了多值閉包系統(tǒng)與多值閉包算子的規(guī)律性聯(lián)系；姚衛(wèi)在文獻(xiàn)［8］中提出了更一般的模糊偏序集上的格值閉包算子理論。

縱觀上述研究工作，本文發(fā)現(xiàn)格值閉包算子的引入及其相關(guān)推理的多值置信化應(yīng)該成為新的研究方向。應(yīng)該說Bělohlávek在文獻(xiàn)［4］中引入的經(jīng)典序?yàn)V子（或?yàn)V子）已經(jīng)給了有益的提示。遺憾的是由于用來描述概念與推理的多值置信化的序?yàn)V子（或?yàn)V子）是背景格的經(jīng)典子集，這與多值邏輯結(jié)構(gòu)介入的出發(fā)點(diǎn)相悖，也導(dǎo)致概念和推理的多值置信化難以實(shí)現(xiàn)。

基于上述分析，本文提出多值置信濾子的概念，并把其作為閉包算子及其相關(guān)概念多值置信化的工具。然后提出基于多值置信濾子的K－置信閉包算子的概念，并給出等價(jià)刻畫。事實(shí)上，此類閉包算子與相關(guān)置信閉包系統(tǒng)仍然具有相互確定性。最后，本文提出了多值置信意義下的Galois聯(lián)絡(luò)現(xiàn)象及等價(jià)條件，結(jié)果表明多值置信濾子可以描述Galois聯(lián)絡(luò)現(xiàn)象。

通篇全文，L均表示完備剩余格，L中的最大元記為1，最小元記為0。下面2個(gè)引理在后續(xù)內(nèi)容中會(huì)常用到，證明參見文獻(xiàn)［4－5，7，9］。

1 多值置信濾子與多值置信閉包算子

考慮到與經(jīng)典置信濾子的不同，本文首先提出多值置信濾子的概念，作為閉包算子及其相關(guān)推理的工具。定義1 若映射K∶L→L滿足如下性質(zhì)：對(duì)任意a，b

∈L，（K1）K（1）＝1；（K2）a≤K（a）；（K3）K（a）k（B）≤K（ab）；（K4）當(dāng)a≤b時(shí)，有K（a）≤K（b）成立；則稱K是L上的多值置信濾子。

事實(shí)上，它仍是一種L－包含關(guān)系，稱為K－置信L－包含關(guān)系，也滿足引理2中的（6）～（10）。本文下文出現(xiàn)的“K”均指任意指定的完備剩余格L上的一個(gè)多值置信濾子，行文中不再特殊說明。在此背景下，我們可以引入一類新的閉包算子—K－置信閉包算子。

因此，C＝Cφ（C）成立。至此，充分性證畢。

2 多值置信Galois聯(lián)絡(luò)

上一節(jié)介紹多值置信濾子可以作為閉包算子多值置信化的工具，本節(jié)作者探究用此工具描述多值置信意義下的Galois聯(lián)絡(luò)現(xiàn)象，并進(jìn)一步證明這類Galois聯(lián)絡(luò)的等價(jià)刻畫條件。

3 結(jié)語(yǔ)

本文通過引入多值置信濾子這一基本工具，解決了格值閉包算子和格值Galois聯(lián)絡(luò)的多值置信化問題，從而有效地界定了置信閉包算子和置信Galois聯(lián)絡(luò)的概念。本文進(jìn)一步證明的置信閉包算子的刻畫定理使得從理論上認(rèn)清置信閉包算子的本質(zhì)，即其與置信閉包系統(tǒng)具有相互確定性。此外，置信Galois聯(lián)絡(luò)的引入及其刻畫條件的給出進(jìn)一步回答了多值置信濾子在解決傳統(tǒng)Galois聯(lián)絡(luò)現(xiàn)象的置信化問題中的重要作用。

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