劉艷艷，張臨杰

（中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島266100）

0 引言

本文考慮具有對流項的拋物型方程的初邊值問題

且滿足積分超定的附加條件

方程（1）表示具有對流項的線性熱傳導(dǎo)方程，通常用來描述自然界中擴散現(xiàn)象、生物數(shù)學(xué)及生態(tài)現(xiàn)象等［1］，其中qux表示對流項。上述問題（1）～（4）中，已知的問題稱為此類偏微分方程的反問題。通常無法保證解的適定性是求解偏微分方程反問題面臨本質(zhì)性的實際困難。由于此類反問題有著廣泛而重要的應(yīng)用背景和鮮明的新穎性與挑戰(zhàn)性，且對它的研究具有巨大的經(jīng)濟效益和社會效益，因此吸引了國內(nèi)外許多學(xué)者從事該領(lǐng)域的研究。

最近，關(guān)于此類偏微分方程反問題中適定性問題的研究較活躍。當(dāng)方程不帶對流項且所有的系數(shù)與t無關(guān)時，文獻［2－4］中作者利用抽象的半群理論得到了反問題的適定性結(jié)論，且已推廣到擬線性拋物型問題［5］。但是大部分問題只涉及到局部解，而關(guān)于整體解的適定性問題的結(jié)論甚少。文獻［6－7］中作者利用一些積分和Sobolev不等式證明了全局解的適定性；文獻［8］中作者利用解的位勢論表示定理，得到了古典的全局解。受上述文獻啟發(fā)，本文主要研究帶對流項的拋物型方程反問題中如何確定Holder類意義下的光滑函數(shù)對（u，p），并將證明（u，p）的確定是適定的。

1 預(yù)備知識

2 主要結(jié)論的證明

定理1的證明 令u0＝φ（x），函數(shù)對（um，pm）（其中m＝1，2，L）滿足

所以，通過上面的分析得到的函數(shù)對（u，p）是原問題的局部唯一解。

因為（12）中常數(shù)c和ε的選擇，都與初邊值條件和t無關(guān)，所以如果把u（x，ε）作為初始條件，從t＝ε開始重復(fù)上面的分析，可得到時滿足原問題的函數(shù)對（u，p）。

有限次的重復(fù)上面的過程，定理1即可得證。定理2的證明 分兩步

3 結(jié)語

本文主要研究帶對流項的拋物型方程反問題中如何確定Holder類意義下的光滑函數(shù)對（u，p），并且證明了（u，p）的確定是適定的。對更一般情形的研究，如二維、三維情形，混合初邊值問題或非齊次項更加復(fù)雜的情形，由于方程的結(jié)構(gòu)變的更復(fù)雜，因此證明此種方程反問題的適定性將更加困難。然而，作者希望此種方法和其它方法相結(jié)合解決前述的更一般情形，并且能夠取得令人滿意的結(jié)果。

［1］ Vazquez J L.The porous medium equation：Mathematical theory［M］.England：Oxfo Scie，2007.

［2］ Prilepko A I，Orlovskii D G.Determination of the evolution parameter of an equation and inverse problems of mathematical physics［J］.I Diff Eqs，1985，21：119－129.

［3］ Prilepko A I，Orlovskii D G.Determination of a parameter in an evolution equation and inverse problems of mathematical physics［J］.II Diff Eqs，1985，21：694－701.

［4］ Rundell W.Determination of an unknown nonhomogeneous term in a linear partial differential equation from overspecified boundary data［J］.Appl Anal，1980，10：231－242.

［5］Cannon J R，Lin Y.Determination of a parameter p（t）in some quasilinear parabolic differential equations ［J］.Inverse Problems，1988，4：35－45.

［6］ Cannon J R，Lin Y.An inverse problem of finding aparameter in a semilinear heat equation［J］.J Math Anal Appl，1990，145（2）：470－484.

［7］ Lin Y.An inverse problem for a class of quasilinear parabolic equations［J］.J Math Anal，1991，22（1）：146－156.

［8］ Prilepko A I，Solo’ev V V.Solvability of the inverse boundary value problem of finding a coefficient of a lower order term in aparabolic equation［J］.J Differ Equations，1987，23（1）：136－143.