鄭仲橋,張燕紅
(1. 常州工學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院,常州 213002;2. 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院,上海 200072)
由于主動(dòng)磁懸浮軸承能夠?qū)崿F(xiàn)非接觸支承,具有無機(jī)械磨損、無需潤(rùn)滑、工作溫度范圍大、工作極限轉(zhuǎn)速高等優(yōu)點(diǎn),在國(guó)內(nèi)外得到了迅速的發(fā)展,已經(jīng)在軍工、航天等國(guó)防工業(yè)部門中逐步應(yīng)用,并向民用工業(yè),如航空、機(jī)床、化工、能源等工業(yè)領(lǐng)域推廣[1,2]。但是在主動(dòng)磁懸浮控制系統(tǒng)中,由于電磁鐵磁性材料的非線性及外界干擾信號(hào)的影響,使得主動(dòng)磁懸浮控制系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性、參數(shù)不確定的控制系統(tǒng),以往使用的常規(guī)PID控制算法很難使系統(tǒng)獲得較好的響應(yīng)特性,而且參數(shù)的調(diào)整也比較困難,很難滿足控制系統(tǒng)的高穩(wěn)定性和強(qiáng)抗擾性的要求。而在整個(gè)主動(dòng)磁懸浮控制統(tǒng)中,磁懸浮軸承的動(dòng)態(tài)特性及轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)精度和設(shè)計(jì)的控制器的好壞有直接的關(guān)系,因此,主動(dòng)磁懸浮系統(tǒng)中的控制器的設(shè)計(jì)成了一個(gè)研究的熱點(diǎn)問題。本文根據(jù)磁懸浮系統(tǒng)的非線性、參數(shù)不確定的特點(diǎn),結(jié)合模糊控制和PID控制的特點(diǎn),設(shè)計(jì)了模糊自適應(yīng)PID控制器,來改善主動(dòng)磁懸浮控制系統(tǒng)的控制精度和穩(wěn)態(tài)特性。
單自由度主動(dòng)磁懸浮支承系統(tǒng)的原理圖如圖1所示,其結(jié)構(gòu)采用差動(dòng)的連接方式,單自由度主動(dòng)磁懸浮控制系統(tǒng)由位移傳感器、轉(zhuǎn)子(懸浮體)、控制器、功率放大器和電磁鐵五部分組成。轉(zhuǎn)子的平衡位置為x0,當(dāng)轉(zhuǎn)子的實(shí)際位置發(fā)生偏移量x時(shí),位移傳感器檢測(cè)到這一偏移信號(hào)并轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的電信號(hào)Ux,Ux與轉(zhuǎn)子平衡時(shí)的期望電壓Ur進(jìn)行比較,得到偏差信號(hào)Ue,進(jìn)入控制器進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算,得到控制信號(hào)Uc,經(jīng)過功率放大器輸出控制電流信號(hào),從而調(diào)節(jié)了電磁線圈中的電流的大小,改變了電磁鐵產(chǎn)生的電磁力的大小,最終使得轉(zhuǎn)子的位置減小偏移直至穩(wěn)定懸浮。
圖1 單自由度磁懸浮支承系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖
在圖1中,Ur為轉(zhuǎn)子處于平衡位置時(shí)對(duì)應(yīng)的輸入電壓值,Ux為轉(zhuǎn)子實(shí)際位置所對(duì)應(yīng)的電壓值,Ue=Ur-Ux為偏差信號(hào),Uc為模糊自適應(yīng)PID控制器的輸出信號(hào),U0為上下兩個(gè)電磁線圈的偏磁電流所需的電壓值,I0為偏磁電流分量。
當(dāng)質(zhì)量為m的轉(zhuǎn)軸在兩個(gè)磁鐵之間處于平衡時(shí),假設(shè)忽略繞組漏磁、鐵芯和轉(zhuǎn)子中的磁阻及磁性材料的磁滯和渦流,那么上下兩電磁鐵產(chǎn)生的電磁力在轉(zhuǎn)軸上的合力為零。當(dāng)轉(zhuǎn)軸偏離平衡位置時(shí),偏離位移量為x,為了使轉(zhuǎn)軸能回到原來的平衡位置,必須加一個(gè)控制電流i,使電磁鐵I的磁力增加,電磁鐵II的磁力減小。兩個(gè)電磁鐵產(chǎn)生的電磁力分別為:
式(1)中:μ0為氣隙磁導(dǎo)率,μ0=4π×10-7H/m,S0為磁極氣隙的截面積(m2),N為電磁鐵線圈的匝數(shù),I0為電磁線圈的偏置電流(A),x0是轉(zhuǎn)子平衡時(shí)電磁鐵與轉(zhuǎn)子軸中心線之間的距離;x為轉(zhuǎn)子偏離中心位置在該自由度上的位移(m),i為控制電流分量。F1和F2分別為兩個(gè)電磁鐵產(chǎn)生的電磁力。
作用在轉(zhuǎn)子上的合力為:
所以可以得到:
在轉(zhuǎn)子平衡位置(即x=0, 0I= ),將式(1)展開成泰勒級(jí)數(shù),并略去高階小量,得:
對(duì)式(4)進(jìn)行拉式變換,可以得到:
得到主動(dòng)磁懸浮系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù):
從式(6)可以看出,系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn),其中一個(gè)極點(diǎn)位于S平面的右半平面,造成開環(huán)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。
主動(dòng)磁懸浮系統(tǒng)模糊控制器的設(shè)計(jì)如圖2所示。
圖2 主動(dòng)磁懸浮模糊PID控制器
在圖2中,R為給定轉(zhuǎn)子平衡位置,Y為轉(zhuǎn)子的實(shí)際位置,e為轉(zhuǎn)子的位移偏差信號(hào),de/dt為轉(zhuǎn)子位置偏差的變化率,u為模糊自適應(yīng)PID控制器的輸出信號(hào),即加在電磁鐵線圈上的電壓信號(hào)。當(dāng)主動(dòng)磁懸浮系統(tǒng)受到擾動(dòng)影響時(shí),使得轉(zhuǎn)子偏離平衡位置,下降x時(shí),即轉(zhuǎn)子與電磁鐵上線圈的距離偏大,位移傳感器檢測(cè)到轉(zhuǎn)子此時(shí)的實(shí)際位置并轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的電壓信號(hào),與轉(zhuǎn)子平衡位置所對(duì)應(yīng)的電壓信號(hào)相比較,得到偏差信號(hào)e和偏差的變化率信號(hào)ec,這兩個(gè)信號(hào)進(jìn)入模糊控制器中,經(jīng)過模糊化、模糊規(guī)則推理、模糊決策和解模糊化,在線整定PID控制器的三個(gè)參數(shù)Kp,Ki和Kd,使其達(dá)到最優(yōu)化,經(jīng)過PID控制器計(jì)算,得到控制信號(hào)增大,從而使得上線圈中的電流增大,下線圈中的電流減少,使得上線圈的電磁力F1增加,從而調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子慢慢向上移動(dòng),直至轉(zhuǎn)子回到平衡位置,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮。
普通的增量式PID控制算法為:
其中e(k)=r(k)-y(k),Kp、Ki和Kd為PID控制器的比例、積分和微分系數(shù),模糊控制就是通過模糊推理在線整定Kp、Ki和Kd,送入PID控制器中進(jìn)行計(jì)算得到控制信號(hào)u,從而調(diào)整線圈中的電流信號(hào)來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的位置的調(diào)節(jié)。
從圖2可以看出,模糊推理機(jī)構(gòu)的輸入信號(hào)為誤差信號(hào)e和誤差變化率ec,PID控制器的三個(gè)系數(shù)Kp、Ki和Kd為輸出信號(hào)[3]。在轉(zhuǎn)子偏離平衡位置較大時(shí),實(shí)行大的控制量,粗調(diào)控制量,來增度系數(shù);被稱為主動(dòng)磁懸浮系統(tǒng)的電流剛加系統(tǒng)調(diào)整的快速性;在轉(zhuǎn)子偏離平衡位置較近時(shí),實(shí)行細(xì)調(diào)控制量,來獲得較好的穩(wěn)態(tài)精度。因此選取輸入輸出變量e、ec的論域?yàn)閧-3,-1.5,-0.5, 0, 0.5,1.5,3},Kp的論域?yàn)閧-0.3,-0.2,-0.1, 0,0.1,0.2,0.3},Ki的論域?yàn)閧-0.06,-0.04,-0.02, 0,0.02,0.04,0.06},Kd的論域?yàn)閧-3,-2,-1, 0,1,2,3},對(duì)應(yīng)的語言變量值分別定義為NB (負(fù)大)、NM (負(fù)中)、NS(負(fù)小)、ZO(零)、PS(正小)、PM (正中)、PB(正大)。e、ec、Kp、Ki和Kd的隸屬度函數(shù)均采用三角波函數(shù)[4],如圖3~圖6所示。
圖3 輸入量e和ec的隸屬度函數(shù)
圖5 Ki的隸屬度函數(shù)
圖6 Kd的隸屬度函數(shù)
在主動(dòng)磁懸浮模糊自適應(yīng)PID控制器中,模糊控制器輸出的三個(gè)參數(shù)Kp、Ki和Kd對(duì)系統(tǒng)的輸出影響較大,比例系數(shù)Kp能減小轉(zhuǎn)子與平衡位置的距離,加快轉(zhuǎn)子回復(fù)到平衡位置的速度,Kp越大,主動(dòng)磁懸浮的轉(zhuǎn)子回復(fù)到平衡位置的速度越快,但是過大的Kp會(huì)使得磁懸浮系統(tǒng)變得不穩(wěn)定;積分系數(shù)Ki可以消除轉(zhuǎn)子實(shí)際位置與平衡位置之間的距離,Ki越大,轉(zhuǎn)子和平衡位置之間的誤差消除的就越快,但如果Ki過大,會(huì)產(chǎn)生積分飽和現(xiàn)象,使控制系統(tǒng)產(chǎn)生大的超調(diào);Ki過小,使轉(zhuǎn)子很難精確地回復(fù)到平衡位置,影響系統(tǒng)的控制精度。微分系數(shù)Kd可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,但是Kd過大,會(huì)延長(zhǎng)轉(zhuǎn)子回復(fù)到平衡位置的時(shí)間,而且會(huì)降低系統(tǒng)的抗干擾性能。根據(jù)以上分析,同時(shí)考慮三個(gè)參數(shù)之間的相互影響,建立模糊推理語言規(guī)則。表1~表3分別為Kp、Ki和Kd的模糊控制規(guī)則。
表1 Kd的模糊規(guī)則表
表2 Ki的模糊規(guī)則表
表3 Kd的模糊規(guī)則表
模糊控制器的輸入輸出之間的關(guān)系如圖7所示。
采用工業(yè)控制中廣泛使用的去模糊化方法-加權(quán)平均法[5],求得最終的△Kp、△Ki和△Kd,通過下面計(jì)算公式計(jì)算出Kp、Ki和Kd。
圖7 模糊控制器的輸入輸出之間的關(guān)系
在主動(dòng)磁懸浮控制系統(tǒng)中,涉及的參數(shù)為:m= 12kg,x0=0.5×10-3m,I0= 3.0A,μ0= 4π×10-7Vs/Am,s0= 340mm2,N = 190,把這些參數(shù)代入到方程(6),可以得到主動(dòng)磁懸浮控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:
在MATLAB下進(jìn)行編程仿真[6,7],當(dāng)系統(tǒng)不存在擾動(dòng)信號(hào)時(shí),系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào),系統(tǒng)的輸出如圖8所示,Kp、Ki和Kd的整定曲線如圖9~圖11所示。
模糊控制自適應(yīng)PID控制器中的三個(gè)參數(shù)為:Kp= 0.41,Ki= 0.001,Kd= 0.31,可以看出,Kp在初始階段,有大幅度的上升,用來加快系統(tǒng)的響應(yīng),此時(shí)Ki明顯增大, 改善了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能,系統(tǒng)慢慢趨于穩(wěn)定,相應(yīng)的Kd也明顯加大,用來改善控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能,縮短調(diào)整時(shí)間。從輸出曲線上來看,系統(tǒng)的超調(diào)量為2%,調(diào)節(jié)時(shí)間ts=0.13s,系統(tǒng)在t=0.2s時(shí),輸出能準(zhǔn)確地跟蹤輸入信號(hào),即經(jīng)過0.2s,轉(zhuǎn)子能準(zhǔn)確回復(fù)到平衡位置。
圖8 不加擾動(dòng)時(shí)的系統(tǒng)輸出
圖9 Kp的整定曲線
圖10 Ki的整定曲線
圖11 Kd的整定曲線
在t = 0.4s時(shí),給系統(tǒng)加一幅值為0.5的擾動(dòng)信號(hào),系統(tǒng)的輸出如圖12所示。
從圖12可以看出,當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)時(shí),模糊控制器能迅速做出反應(yīng),并在線調(diào)整PID控制器的三個(gè)參數(shù) Kp、Ki和Kd,使其達(dá)到最優(yōu),系統(tǒng)經(jīng)過0.04s就可以抑制干擾信號(hào)的影響,使轉(zhuǎn)子快速的回復(fù)到平衡位置。主動(dòng)磁懸浮控制系統(tǒng)的抗干擾能力明顯增強(qiáng),系統(tǒng)具有較好的動(dòng)靜態(tài)特性。
圖12 加入擾動(dòng)后的系統(tǒng)輸出
以主動(dòng)磁懸浮控制系統(tǒng)為控制對(duì)象,根據(jù)主動(dòng)磁懸浮系統(tǒng)的非線性、參數(shù)不確定等特點(diǎn),針對(duì)普遍應(yīng)用的PID控制器中參數(shù)難整定的問題,設(shè)計(jì)了模糊自適應(yīng)PID控制器,并進(jìn)行實(shí)時(shí)控制及結(jié)果分析。首先,對(duì)主動(dòng)磁懸浮控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及工作原理進(jìn)行了介紹并建立了主動(dòng)磁懸浮控制系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)的模型;然后設(shè)計(jì)了模糊自適應(yīng)PID控制器;最后,在模糊PID自適應(yīng)控制器的實(shí)時(shí)控制下,對(duì)主動(dòng)磁懸浮控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真和分析,設(shè)計(jì)的模糊自適應(yīng)PID控制器能使得主動(dòng)磁懸浮控制系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。
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