周建釗，徐肖攀，儲偉俊

（中國人民解放軍理工大學工程兵工程學院，江蘇南京 210007）

0 引言

機械振動是機械動力學研究的重點問題，也是工程結(jié)構(gòu)設(shè)計必須考慮的問題。在機械行業(yè)的諸多領(lǐng)域都會見到大量的旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)在整個工程機械中占有極高的比重。共振引起的較大激振應力，以及復雜的外界激振力相互作用，是導致絕大部分旋轉(zhuǎn)體損壞、報廢的主要原因［1］。模態(tài)分析適用于研究結(jié)構(gòu)振動特性，即固有頻率和振型、振型參與系數(shù)等［2］。它能使結(jié)構(gòu)設(shè)計有效地規(guī)避共振，有助于在其他動力學分析中估算求解控制參數(shù)［3］。近些年很多學者致力于“動態(tài)設(shè)計”研究。根據(jù)機械振動理論，借助“有限元法”、“傳遞矩陣法”、“試驗模態(tài)法”、“混合建模法”、“人工神經(jīng)網(wǎng)絡理論”等建模方法對機構(gòu)進行動態(tài)優(yōu)化，取得了很多成果［4］。但是，由于所研究的問題大都比較復雜，動態(tài)設(shè)計至今還沒有一套完整的理論。本文將根據(jù)工程動力學理論，通過對 Pro/E、ANSYS結(jié)合使用，研究齒輪振動特性。

1 減速箱齒輪振動分析

齒輪是減速箱（或減速器）的重要組成部分，它在高速轉(zhuǎn)動中的動態(tài)性能是評價減速箱整體性能優(yōu)劣的主要依據(jù)［5-6］。在嚙合過程中，齒輪副因受到周期性沖擊載荷作用而產(chǎn)生振動，其中的高頻分量為齒輪的固有頻率［7］。影響齒輪副振動頻率的因素很多，主要包括:輪齒剛度、軸的剛度、齒輪副尺寸、潤滑油膜厚度，以及各種阻尼等。根據(jù)公式:

可得固有頻率的理論值。其中，m、k分別為齒輪的等效質(zhì)量和等效剛度。為了避免機構(gòu)運行時產(chǎn)生共振，必須準確測定齒輪的固有頻率，使外加激勵遠離這些固有頻率點［6］。

2 模態(tài)分析

根據(jù)工程動力學中模態(tài)分析理論以及彈性力學有限元法，［8］可得齒輪系統(tǒng)微分方程:

其中:{X}={x1，x2，…，xn}T表示節(jié)點位移列向量，{}，{}分別表示結(jié)構(gòu)的加速度、速度向量;［M］，［C］，［K］分別表示質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;{f（t）}={f1，f2，…，fn}T表示外加的激振力向量。

由于著重研究齒輪自由振動特性，因此可設(shè)外加激振力{f（t）}為零，從而得到自由振動方程。由于阻尼對齒輪振動的影響很小可以忽略，即令［C］=0，從而得到無阻尼自由振動方程:

設(shè)結(jié)構(gòu)作如下簡諧振動

將式（4）代入式（3）可得齊次方程:

實際中，齒輪各節(jié)點振幅φ{(diào)}不可能全為零，因此（［K］-ω2［M］）的行列式為零是式（5）成立的充要條件［9］，即:

由于［K］與［M］均為n階方陣，則式（6）是關(guān)于ω2的n次代數(shù)方程，最終能夠得到n階固有頻率ωi（i=1，2，3，…，n）。將ωi代入式（5）可得到一個列向量{φ}i=（φi1，φi2，φi3，…，φin），即為振型或模態(tài)。因此，通過求解式（6）、式（5）便可求得齒輪的各階固有頻率和振型。

3 三維建模與實體分析

3.1 基于Pro/E建立齒輪三維實體模型

根據(jù)特定工程結(jié)構(gòu)要求，齒輪的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:齒頂直徑48mm，齒底直徑40mm，齒厚16mm，中間壁厚 6mm，沉槽直徑32mm，中間通孔直徑16mm，齒數(shù)為10，材料密度ρ=7.8×103kg/m3，彈性模量E=2.06×1011Pa，泊松比為0.28。通過Pro/E進行減速箱齒輪三維實體模型構(gòu)建，如圖1（a）所示。

圖1 Pro/E實體模型與ANSYS網(wǎng)格劃分

3.2 利用ANSYS進行齒輪模態(tài)分析

利用ANSYS的模型導入功能，將Pro/E中構(gòu)建的三維模型導入ANSYS工作界面，對其進行網(wǎng)格劃分、定義約束，求解固有頻率及振動模態(tài)，如圖1（b）所示。

在進行齒輪固有頻率求解過程中，首先定義單元屬性。本課題所選用的單元是Solid Brick 186，每個單元有20個節(jié)點，能夠使計算結(jié)果比較準確。之后，定義材料屬性。在Material props中定義彈性模量、泊松比、材料密度等值。然后，進行網(wǎng)格劃分。將Mesh tool選項卡中的Smart size勾選，并將數(shù)值設(shè)置為3然后進行網(wǎng)格劃分。之后，定義約束。選擇D16軸孔內(nèi)壁為約束面，約束方向選擇All DOF。然后，設(shè)置模態(tài)求解參數(shù)。打開模態(tài)求解選項卡，定義要求解的模態(tài)數(shù)（這里輸入15，進行前15階模態(tài)分析），再定義振動頻率范圍（取0～10000Hz）。輸出控制部分設(shè)定為All Item，采用每一子步頻率輸出。以上過程完成后便可進行求解，求解的結(jié)果在General postproc選項卡中查看。

3.3 頻率及模態(tài)分析結(jié)果與討論

對齒輪進行模態(tài)分析，一般而言，階數(shù)越低，齒輪振動對系統(tǒng)的影響越大，一般提取前5-10階固有頻率和振型即能滿足精度要求［9］。在本課題中，運用Block Lanczos法設(shè)定模態(tài)提取階數(shù)為15階，這樣既能得出對齒輪影響較大的固有頻率和振型值，又能加快求解速度。得到的前15階固有頻率、振型描述以及最大振幅等數(shù)據(jù)，在表1中詳細列出。

表1 減速箱齒輪前15階固有頻率和振型描述

1-3階固有頻率對應的振型如圖2所示。當頻率在6.6382Hz、6.6386Hz、8.8424Hz時，齒輪變形量相對較小。圖中虛線表示齒輪未變形的輪廓線，實體部分是變形后的形狀。1，2階固有頻率下，齒輪分別繞y，x軸彎曲振動;3階固有頻率下，齒輪沿yoz平面對折振動，振型比較復雜。

圖2 齒輪在1－3階頻率下的模態(tài)振型

9-12階固有頻率下的振型如圖3所示。當頻率在25.372～36.465Hz之間變化時，最大變形量相對較小。因此，當外加激振力的頻率在0～8.8424Hz與25.371～ 36.465Hz之間時，齒輪傳動系不易產(chǎn)生共振。9，10階固有頻率下，齒輪分別繞x，y軸作彎曲振動，最大振幅均出現(xiàn)在齒頂處;11，12階固有頻率下，齒輪均作圓周振動，通過動畫模擬可知最大振幅在齒頂與齒根之間交替出現(xiàn)。

圖3 齒輪在9－12階頻率下的模態(tài)振型

從4-8、13-15階固有頻率對應的振型可知:當頻率為ω6=11.174Hz時，齒輪的振幅最小，形變均勻;當頻率為第7，8，13階固有頻率時，齒輪振幅較大，形變程度大，振動劇烈;當頻率為ω14=41.467Hz時，齒輪振幅最大，形變量也最大，沿yoz平面內(nèi)3階彎曲振動;當頻率為ω15=41.467Hz時，齒輪作傘狀振動，輪齒形變非常明顯。因此，在設(shè)計與其相嚙合的齒輪減速系統(tǒng)時，箱體的振動頻率、軸的撓動頻率以及輪齒嚙合時的沖擊頻率應該盡量避開41.467Hz，以免產(chǎn)生劇烈共振。圖4為4-8、13-15階模態(tài)振型

圖4 4－8、13－15 階模態(tài)振型

von Mises等效應力分布云圖如圖5所示。從中可以看出:最大應力分布于齒輪臺階孔邊緣，大小為5.79MPa;最小應力分布于輪齒上，大小為0.229MPa。因此，齒輪臺階孔應力集中。為減小應力集中，可以對齒輪臺階壁進行加厚處理，同時增大內(nèi)壁與臺階孔間過渡圓弧半徑，以減小結(jié)構(gòu)突變引起的應力分布不均。

圖5 von Mises等效應力云圖

4 結(jié)語

1）將Pro/E、ANSYS軟件相結(jié)合，對齒輪進行三維實體建模、有限元建模以及模態(tài)分析。這種綜合運用不同軟件對實體進行動力學分析的方法，克服了單一軟件在建模速度、單元劃分效果以及求解速度等方面的不足，一定程度上提高了CAE分析的效率，具有一定的通用性。

2）利用ANSYS對齒輪進行模態(tài)分析，得到前15階固有頻率以及相應的主振型，并在此基礎(chǔ)上分析了齒輪的變形特點和von Mises等效應力分布狀況，為齒輪結(jié)構(gòu)分析與合理設(shè)計提供了一種范例，具有一定的借鑒意義。

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