羅 強(qiáng)，

(1.南陽師范學(xué)院土木建筑工程學(xué)院，河南南陽 473061;2.大連理工大學(xué)土木工程學(xué)院巖土工程研究所，遼寧大連 116024)

在許多實(shí)際巖土工程問題中，例如基坑開挖、淺基礎(chǔ)地基承載力與變形特性、地震或波浪荷載對(duì)海床的作用［1-2］等，主應(yīng)力方向的旋轉(zhuǎn)所引起的初始主應(yīng)力狀態(tài)的改變是不容忽視的。在土體主應(yīng)力方向的旋轉(zhuǎn)過程中，主應(yīng)力方向與塑性主應(yīng)變?cè)隽糠较虻男D(zhuǎn)變化趨勢(shì)并不是一致的，即存在非共軸現(xiàn)象，該現(xiàn)象在許多室內(nèi)實(shí)驗(yàn)中已被觀測(cè)到［3-5］。合理描述非共軸現(xiàn)象的理論是當(dāng)前土力學(xué)研究中的熱點(diǎn)問題之一，這些非共軸理論包括:雙剪理論［6-7］、塑性勢(shì)雙剪理論［8］、亞塑性理論［9］以及屈服角點(diǎn)結(jié)構(gòu)理論［10］。國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者針對(duì)非共軸理論及其應(yīng)用進(jìn)行了系統(tǒng)的研究［11-13］。

當(dāng)?shù)鼗惺軠\基礎(chǔ)所傳遞的上部荷載作用時(shí)，淺基礎(chǔ)邊緣下方土體將會(huì)產(chǎn)生顯著的剪切變形，從而引起主應(yīng)力方向的旋轉(zhuǎn)。在主應(yīng)力方向旋轉(zhuǎn)過程中會(huì)產(chǎn)生非共軸現(xiàn)象，因此采用有限元方法分析淺基礎(chǔ)荷載-變形問題時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮非共軸現(xiàn)象的影響。Yu等［14-15］將角點(diǎn)結(jié)構(gòu)非共軸模型應(yīng)用到淺基礎(chǔ)荷載-變形問題的有限元計(jì)算中，他們認(rèn)為非共軸模型計(jì)算得到的基礎(chǔ)沉降要比共軸模型的結(jié)果大很多。Yang Y和Yu H S［16］采用非共軸本構(gòu)模型對(duì)淺基礎(chǔ)荷載-變形問題進(jìn)行有限元數(shù)值分析，研究了非共軸現(xiàn)象對(duì)基礎(chǔ)沉降和地基承載力的影響。上述研究工作主要在中心加載情況下研究了非共軸現(xiàn)象對(duì)地基荷載-變形特性的影響，然而，現(xiàn)實(shí)中存在大量的偏心荷載作用情況;在偏心荷載情況下進(jìn)行數(shù)值計(jì)算容易產(chǎn)生數(shù)值計(jì)算不收斂問題，因此，有必要在偏心荷載作用情況下研究非共軸現(xiàn)象對(duì)淺基礎(chǔ)荷載-變形特性的影響。

基于屈服角點(diǎn)結(jié)構(gòu)非共軸理論，建立了一種非共軸本構(gòu)模型，通過有限元軟件ABAQUS的二次開發(fā)子程序UMAT，將該模型運(yùn)用到有限元數(shù)值計(jì)算中。首先，在理想的荷載、位移邊界條件下對(duì)中密砂單剪試驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值模擬，研究了非共軸現(xiàn)象及其對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響，將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與Roscoe的試驗(yàn)結(jié)果［4］進(jìn)行對(duì)比。然后，針對(duì)偏心荷載作用下條形淺基礎(chǔ)荷載-變形特性進(jìn)行數(shù)值分析，研究了非共軸現(xiàn)象對(duì)荷載-位移關(guān)系的影響，以及土體單元在主應(yīng)力方向旋轉(zhuǎn)過程中的非共軸現(xiàn)象。

1 非共軸本構(gòu)模型

屈服角點(diǎn)結(jié)構(gòu)非共軸理論［10］是以Drucker-Prager彈塑性理論的圓形屈服面為基礎(chǔ)，增加一個(gè)與屈服面相切的非共軸塑性應(yīng)變?cè)隽?，它與共軸塑性應(yīng)變?cè)隽吭谑窍嗾坏?，如圖1所示。

圖1 非共軸、共軸塑性應(yīng)變?cè)隽吭谇嫔系年P(guān)系Fig.1 Schematic illustration of non-coaxial and coaxial plastic strain rates

根據(jù)屈服角點(diǎn)結(jié)構(gòu)非共軸理論，塑性應(yīng)變?cè)隽喀拧j可以表達(dá)為

其中，等號(hào)右邊的三項(xiàng)分別為彈性應(yīng)變?cè)隽?、共軸塑性應(yīng)變?cè)隽亢头枪草S塑性應(yīng)變?cè)隽俊?/p>

式中:K，G為土體材料的體積模量和剪切模量;δij為Kronecker函數(shù)。

采用相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則，屈服函數(shù)(f)與塑性勢(shì)函數(shù)(g)采用相同的表達(dá)形式:

其中，c為黏聚力。當(dāng)參數(shù)a=0.5ccotφ時(shí)，式(4)與傳統(tǒng)Drucker-Prager屈服函數(shù)相一致。

在理想彈塑性情況下，式(4)中的φ為峰值內(nèi)摩擦角。在應(yīng)變硬化情況下，φ為機(jī)動(dòng)內(nèi)摩擦角，其為累積塑性偏應(yīng)變?chǔ)胮c的函數(shù)［17］，如下所示:

其中，φult為材料的峰值內(nèi)摩擦角，由常規(guī)三軸排水剪切試驗(yàn)得到;參數(shù)a1=-11.105［17］;參數(shù)a2=0.4。

其中，Kp為塑性硬化模量。

其中，H采用式(5)的表達(dá)形式，Ha=γpc。

非共軸塑性模量hnc假定為累積塑性應(yīng)變?chǔ)蝡的函數(shù)［16］:

式中:hnco為初始非共軸塑性模量，b1和b2為模型系數(shù)，其數(shù)值分別為-16和0.7。

將式(2)、(6)、(9)代入式(1)中，可得到非共軸彈塑性本構(gòu)模型的表達(dá)形式:

其中，Rij= ?g/?σij，lij= ?f/?σij，為非共軸模型的彈塑性剛度矩陣。

通過有限元程序ABAQUS里面的用戶材料子程序UMAT，采用顯式積分算法和自動(dòng)分步相結(jié)合的方法［18］，對(duì)共軸和非共軸模型進(jìn)行數(shù)值積分。

2 單剪試驗(yàn)數(shù)值模擬及結(jié)果分析

有限元模型采用四邊形平面應(yīng)變單元，其類型為八節(jié)點(diǎn)二次縮減積分單元。在模型頂邊施加水平位移邊界條件，模型的左右兩邊保持直線狀態(tài)。模型底邊的豎向和水平方向位移均被固定，豎向壓力σyy施加在模型的頂面。由于剪應(yīng)力τxy的作用，模型沿水平方向?qū)?huì)產(chǎn)生應(yīng)力變化Δσxx、豎直方向的應(yīng)變?chǔ)舮y以及主應(yīng)力方向的旋轉(zhuǎn)。主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變?cè)隽糠较虻男D(zhuǎn)如圖2所示，虛線為變形后的狀態(tài)，實(shí)線為初始狀態(tài);α為主應(yīng)力或塑性主應(yīng)變?cè)隽糠较虻男D(zhuǎn)角度。

采用相對(duì)密度Dr=40%的中密砂，其內(nèi)摩擦角峰值φult=36°。在理想彈塑性和應(yīng)變硬化情況下，剪切模量G分別取為150 MPa和30 MPa。靜止側(cè)壓力系數(shù)Ko取為0.2和0.5。豎向應(yīng)力取為135 kPa。非共軸模型中的hnco/G分別取0.2、0.4和0.8。

圖2 主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變?cè)隽糠较虻男D(zhuǎn)Fig.2 Rotation of directions of principal stress and principal plastic strain rate

2.1 剪應(yīng)力比-剪應(yīng)變關(guān)系

在理想彈塑性和應(yīng)變硬化情況下，計(jì)算得到的剪應(yīng)力比(τxy/σyy)-剪應(yīng)變(γxy)關(guān)系如圖3所示。

由圖3可知:1)非共軸模型計(jì)算結(jié)果的增長(zhǎng)速度滯后于共軸模型計(jì)算結(jié)果的增長(zhǎng)速度，即非共軸現(xiàn)象對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線具有“軟化”作用。當(dāng)剪應(yīng)力比達(dá)到極值時(shí)，兩種模型的計(jì)算結(jié)果之間的差異將消失。2)隨著hnco/G的增加，非共軸現(xiàn)象的影響逐漸減小，兩種模型計(jì)算結(jié)果之間的差異逐漸減小。3)與理想彈塑性計(jì)算結(jié)果相比，兩種模型計(jì)算結(jié)果之間的差異在應(yīng)變硬化情況下更加顯著。

2.2 主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變?cè)隽糠较虻男D(zhuǎn)

對(duì)主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變?cè)隽糠较虻男D(zhuǎn)規(guī)律進(jìn)行分析，從而對(duì)非共軸現(xiàn)象進(jìn)行研究。以Ko=0.2時(shí)的計(jì)算結(jié)果為例，如圖4所示。

圖3 剪應(yīng)力比-剪應(yīng)變關(guān)系Fig.3 Curves of shear stress ratio-shear strain

圖4 主應(yīng)力和塑性主應(yīng)變?cè)隽糠较虻男D(zhuǎn)Fig.4 Predictions of the orientations of major principal stress and plastic strain rate

由圖4可知:1)非共軸模型得到的主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變?cè)隽糠较蛟诩羟凶冃蔚某跗谑遣恢睾系?，主?yīng)力方向的增長(zhǎng)趨勢(shì)滯后于塑性主應(yīng)變?cè)隽糠较虻脑鲩L(zhǎng)趨勢(shì);隨著剪切變形的發(fā)展，兩者逐漸趨于一致。2)隨著hnco/G的增長(zhǎng)，主應(yīng)力方向與塑性主應(yīng)變?cè)隽糠较蛑g的差異逐漸減小，非共軸現(xiàn)象逐漸減弱。3)與理想彈塑性計(jì)算結(jié)果相比，非共軸現(xiàn)象在應(yīng)變硬化情況下更加明顯。

2.3 數(shù)值計(jì)算與單剪試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)比分析

在Roscoe的中密砂單剪試驗(yàn)過程中［4］，作用于試樣的豎向應(yīng)力為135 kPa，試驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

將圖3(b)和圖4(b)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與圖5的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn):非共軸模型能夠合理地反映非共軸現(xiàn)象;試驗(yàn)結(jié)果與非共軸模型的計(jì)算結(jié)果比較接近。

圖5 單剪試驗(yàn)結(jié)果Fig.5 Results of simple shear test

3 偏心荷載作用下淺基礎(chǔ)荷載-變形特性的數(shù)值分析

針對(duì)寬度D=1 m的條形淺基礎(chǔ)，采用平面應(yīng)變單元建立有限元模型:約束模型側(cè)邊的水平位移，約束模型底邊的豎向位移和水平位移;地基表面施加均布豎向荷載q=100 kPa。為了模擬偏心加載，在距離淺基礎(chǔ)中心處不同水平距離的位置(e=D/8，e=2D/8，e=4D/8，e為偏心距)施加豎向位移。

地基材料的數(shù)值計(jì)算參數(shù):Dr=40%，φult=36°，Ko=0.5，干密度ρd=1.473 g/cm3，泊松比ν=0.3。在理想彈塑性和應(yīng)變硬化情況下，剪切模量G分別取為150 MPa和30 MPa。淺基礎(chǔ)采用線彈性本構(gòu)模型，E=2.1×105MPa，ν=0.125。非共軸模型中的hnco/G分別取0.3、0.4和1.0。

3.1 荷載-位移關(guān)系

在理想彈塑性和應(yīng)變硬化情況下，數(shù)值計(jì)算得到的荷載-位移關(guān)系如圖6和7所示。豎向、水平荷載為淺基礎(chǔ)下方第一層土體單元的豎向、水平應(yīng)力的平均值，水平坐標(biāo)為歸一化豎向位移(V/D)。

圖6 地基豎向荷載-位移關(guān)系Fig.6 Curves of vertical load-settlement

由圖6和7可知:1)在理想彈塑性情況下分析豎向荷載時(shí)(如圖6(a)所示)，非共軸模型所得到的豎向荷載達(dá)到極值的增長(zhǎng)速度滯后于共軸模型的結(jié)果。當(dāng)豎向荷載達(dá)到極值時(shí)，共軸與非共軸模型計(jì)算結(jié)果之間的差異將消失。2)在理想彈塑性情況下分析水平荷載時(shí)(如圖7(a)所示)，水平荷載隨著基礎(chǔ)沉降的增加而增長(zhǎng)至極值，非共軸模型所得到的水平荷載的增長(zhǎng)速度滯后于共軸模型的結(jié)果，非共軸模型所得到的極值要低于共軸模型的結(jié)果。然后，水平荷載由極值逐漸減小至最小值，非共軸模型的計(jì)算結(jié)果的減小速度要滯后于共軸模型計(jì)算結(jié)果。當(dāng)水平荷載減小到最小值時(shí)，非共軸與共軸模型計(jì)算結(jié)果之間的差異消失。3)在應(yīng)變硬化情況下，豎向和水平荷載均沒有達(dá)到極值，非共軸模型計(jì)算結(jié)果的增長(zhǎng)速度滯后于共軸模型的結(jié)果。與理想彈塑性情況下的計(jì)算結(jié)果相比，非共軸模型與共軸模型計(jì)算結(jié)果之間的差異在應(yīng)變硬化情況下更加明顯。4)隨著hnco/G的減小，非共軸與共軸模型計(jì)算結(jié)果之間的差異越來越大。

圖7 地基水平荷載-位移關(guān)系Fig.7 Curves of horizontal load-settlement

3.2 主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變?cè)隽糠较虻男D(zhuǎn)

根據(jù)非共軸模型的計(jì)算結(jié)果(hnco/G=0.3)，針對(duì)淺基礎(chǔ)右側(cè)邊緣下方土體單元(H=0.1D)，對(duì)主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變?cè)隽糠较虻男D(zhuǎn)規(guī)律進(jìn)行研究，如圖8所示。其中，H表示所選取土體單元距離地基表面的距離，D表示淺基礎(chǔ)的寬度。

圖8 主應(yīng)力與塑性主應(yīng)變?cè)隽糠较虻男D(zhuǎn)Fig.8 Rotations of directions of major principal stress and plastic strain rate

由圖8可知:1)在地基變形的初期，非共軸現(xiàn)象比較明顯，主應(yīng)力方向的減小速度要滯后于塑性主應(yīng)變?cè)隽糠较虻乃俣?隨著地基沉降的增加，非共軸現(xiàn)象逐漸減弱。2)在應(yīng)變硬化情況下，非共軸現(xiàn)象在基礎(chǔ)沉降較大時(shí)仍然比較明顯。與理想彈塑性的計(jì)算結(jié)果相比，非共軸現(xiàn)象在應(yīng)變硬化情況下更加明顯。3)在應(yīng)變硬化情況下，隨著偏心距的增加，非共軸模型的數(shù)值收斂性能逐漸變差。

4 結(jié)語

針對(duì)偏心荷載作用下條形淺基礎(chǔ)荷載-變形特性進(jìn)行數(shù)值分析，研究了非共軸現(xiàn)象對(duì)荷載-位移關(guān)系的影響。研究結(jié)果表明:1)在地基變形的初期，非共軸現(xiàn)象比較明顯，主應(yīng)力方向的減小速度要滯后于塑性主應(yīng)變?cè)隽糠较虻臏p小速度;隨著地基沉降的增加，這種差異逐漸減小。2)在應(yīng)變硬化情況下，豎向和水平荷載均沒有達(dá)到極值，兩種模型計(jì)算結(jié)果之間的差異隨著基礎(chǔ)沉降的增加而增加;非共軸現(xiàn)象在基礎(chǔ)沉降較大時(shí)仍然比較明顯。3)與理想彈塑性情況下的計(jì)算結(jié)果相比，非共軸模型與共軸模型計(jì)算結(jié)果之間的差異在應(yīng)變硬化情況下更加明顯。4)隨著hnco/G的減小，非共軸與共軸模型計(jì)算結(jié)果之間的差異越來越明顯。

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