徐振海，吳佳妮，熊子源，肖順平

(國防科技大學(xué)電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長沙410073)

0 引言

在“雷達(dá)原理與系統(tǒng)”課程教學(xué)中，單脈沖測角是重要的內(nèi)容，特別是結(jié)合陣列雷達(dá)研究單脈沖的實(shí)現(xiàn)是一個(gè)很好的研究型教學(xué)問題，其中有許多值得研究之處，比如振幅和差單脈沖最優(yōu)設(shè)計(jì)。

機(jī)械掃描精密跟蹤雷達(dá)中廣泛采用幅度和差單脈沖測角方法，用一副反射面天線，依靠多波束饋源，同時(shí)形成和、差波束，通過和、差信號(hào)幅度比較獲得目標(biāo)的精確角度［1，2]。該方法同樣適用于相控陣精密跟蹤雷達(dá)，首先通過數(shù)字波束形成DBF(Digital Beam Forming)形成兩個(gè)關(guān)于雷達(dá)視線對(duì)稱的偏置波束，進(jìn)而得到和、差波束與鑒角曲線，最后根據(jù)單脈沖比計(jì)算出目標(biāo)角度。

圖1和圖2分別展示了基于16單元半波長均勻線陣得到的單脈沖鑒角曲線與和波束方向圖?？梢钥闯?隨著偏置角u0增大，一方面鑒角曲線斜率增加，有利于角度測量;另一方面和波束增益下降、波束展寬和副瓣電平抬高，不利于目標(biāo)檢測與角度測量。偏置角進(jìn)一步增大和波束出現(xiàn)分裂是絕對(duì)不能容忍的。偏置角的大小影響著雷達(dá)探測性能，是否存在某一偏置角度使得雷達(dá)探測性能最佳呢?

圖1 單脈沖鑒角曲線

圖2 單脈沖波束方向圖

文獻(xiàn)［3] 針對(duì)反射面單脈沖天線分析了最優(yōu)偏置角的問題，研究中靜態(tài)方向圖采用了sin(x)/x近似，并且沒有考慮和波束分裂的問題。本文針對(duì)陣列天線，對(duì)幅度和差單脈沖最優(yōu)設(shè)計(jì)問題進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)優(yōu)化求解。

1 幅度和差單脈沖測角

考慮N元均勻半波長線型陣列雷達(dá)一維測角問題。忽略信號(hào)放大、變頻和采樣等物理變換過程，陣列天線接收的目標(biāo)單快拍回波信號(hào)為

其中陣列導(dǎo)向矢量為

對(duì)于陣列雷達(dá)而言，幅度和差單脈沖相當(dāng)于波束域處理，通過DBF在波束域形成兩個(gè)關(guān)于雷達(dá)視線(陣列法向)對(duì)稱的兩個(gè)偏置波束，分別指向u0和-u0。

兩個(gè)波束的加權(quán)矢量分別為

兩個(gè)波束電壓方向圖分別為

對(duì)應(yīng)的權(quán)矢量分別為

在雷達(dá)視線附近，即u→0，f(u－u0)和f(u+u0)分別進(jìn)行泰勒展開，并采用一階近似:

將式(6)和式(7)代入式(4)和式(5)得到:Σ≈2f(u0)，Δ≈-2f'(u0)u，因此有

單脈沖鑒角曲線斜率為

考慮到陣列熱噪聲的存在，幅度和差單脈沖測量方程為

2 最優(yōu)單脈沖設(shè)計(jì)

幅度和差單脈沖設(shè)計(jì)的任務(wù)是確定最優(yōu)偏置角，在確保和波束不分裂的前提條件下，使得測角精度最高，該問題可以描述為帶約束的優(yōu)化問題。

他們披頭散發(fā)，蓬頭垢面，日復(fù)一日，年復(fù)一年，在暗無天日的井洞里，頑強(qiáng)地堅(jiān)持著。這樣的作業(yè)空間，這樣危險(xiǎn)的工作環(huán)境，每一個(gè)采礦者的生命，隨時(shí)都會(huì)從陽間一步踏過奈何橋，走向死亡。生命之于他們，只是在陽世間的短時(shí)間寄存。每一天清晨他們進(jìn)入礦洞，便是生死兩茫茫，晚上，不知道還能不能回到棲息的工棚。

2.1 約束條件

和波束不分裂的條件是:和波束零點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)小于0。根據(jù)式(4)可得

圖3給出了和波束零點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)與偏置角的關(guān)系曲線?？梢钥闯?，零點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)是偏置角的單調(diào)增函數(shù)。當(dāng)其等于0時(shí)，可以確定和波束不分裂的臨界點(diǎn)，也就是偏置角的上限u0，max。

圖3 和波束零點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)與偏置角的關(guān)系曲線

臨界點(diǎn)u0，max滿足下面的超越方程:

u0，max與N有關(guān)，表1給出陣元數(shù)N取不同值時(shí)超越方程的數(shù)值解。

表1 超越方程數(shù)值解

2.2 代價(jià)函數(shù)

優(yōu)化的準(zhǔn)則依賴于雷達(dá)的功能，如果目標(biāo)檢測是第一位的，則和波束的增益應(yīng)盡可能大，偏置角應(yīng)盡可能小。對(duì)單脈沖跟蹤雷達(dá)而言，測角精度是第一位的，但是也要兼顧目標(biāo)檢測。根據(jù)單脈沖理論可知:一方面，測角誤差與鑒角曲線斜率成反比;另一方面，測角誤差與和通道SNR的開方成反比，而單脈沖雷達(dá)和通道收、發(fā)共用，因此SNR與和波束功率增益平方成正比，所以測角誤差與和波束功率增益成反比。因此，綜合考慮上述兩方面因素，代價(jià)函數(shù)確定為鑒角曲線斜率與和波束功率增益的乘積，即有

可以看出:代價(jià)函數(shù)也等價(jià)于差波束斜率與和波束電壓增益的乘積，也等價(jià)于天線靜態(tài)功率方向圖在u0處導(dǎo)數(shù)的－2倍。

2.3 最優(yōu)解與結(jié)論

根據(jù)上述分析，最優(yōu)偏置角為下式帶約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解:

圖4給出了陣元數(shù)N取不同值時(shí)代價(jià)函數(shù)與偏置角的關(guān)系曲線，表2給出陣元數(shù)N取值不同時(shí)優(yōu)化問題最優(yōu)解。

表2 帶約束優(yōu)化問題最優(yōu)解

圖5給出了最優(yōu)偏置角與陣元數(shù)擬合曲線，擬合可得:u0，opt=0.8322/N，由于N元陣靜態(tài)方向圖波束寬度u3bB=5.56/，因此，可得一般的規(guī)律:

圖4 代價(jià)函數(shù)與偏置角的關(guān)系曲線

圖5 最優(yōu)偏置角與陣元數(shù)擬合曲線

可以看出:最優(yōu)偏置角為靜態(tài)方向圖波束寬度的0.47倍。對(duì)于反射面天線單脈沖設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)［3] 中給出的結(jié)論是:θ0，opt=0.468θ3dB，兩者結(jié)論非常接近。存在細(xì)微差異的原因有二:①坐標(biāo)不同，本文是正弦坐標(biāo)，文獻(xiàn)［3] 是角度坐標(biāo);②文獻(xiàn)［3] 中靜態(tài)方向圖采用sin(x)/x近似。

3 結(jié)語

本文研究了陣列雷達(dá)幅度和差單脈沖最優(yōu)設(shè)計(jì)問題，在保證和波束不分裂前提下使得雷達(dá)測角精度達(dá)到最高，將該問題建模為帶約束的優(yōu)化問題，并進(jìn)行數(shù)值求解。我們通過參數(shù)擬合得到一般的規(guī)律，即最優(yōu)偏置角為靜態(tài)方向圖波束寬度的0.47倍，與反射面單脈沖的天線結(jié)果接近。本研究可為幅度和差單脈沖技術(shù)在陣列雷達(dá)中的應(yīng)用提供理論依據(jù)，同時(shí)也豐富了陣列雷達(dá)單脈沖測角理論。

［1] 王德純，丁家會(huì)，程望東，精密跟蹤測量雷達(dá)技術(shù)［M] ，北京:電子工業(yè)出版社，2006.03

［2] 張光義，相控陣?yán)走_(dá)原理［M] ，北京:國防工業(yè)出版社，2009.12

［3] Samuel M.Sherman，Monopulse Principles and Techniques，ARTECH HOUSE，1985.08