李嫦娥，陶元紅，丁巍巍

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉 133002）

0 引言

量子糾纏現(xiàn)象被視為一種重要的物理資源.量子糾纏廣泛應(yīng)用于量子處理，如量子計(jì)算、量子編碼、量子隱形傳態(tài)等[1］.關(guān)于糾纏態(tài)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和物理特性還沒有被完全了解.近年來，關(guān)于判斷糾纏態(tài)可分判據(jù)見文獻(xiàn)[2-11］.筆者給出三體量子系統(tǒng)密度矩陣所在線性空間的Hamel基，以及三體量子系統(tǒng)密度矩陣的表示形式，并提出三體量子系統(tǒng)密度矩陣可分離的一個(gè)判據(jù).

1 預(yù)備知識

一個(gè)獨(dú)立的R維Hilbert空間上的厄米特算子總可以由單位算子I和特殊酉群SU（R）的生成元表示[2］.SU（R）的生成元可以用R×R陣初等矩陣構(gòu)造，其中，為k行j列為1，其余元素為0的矩陣[2］.SU（R）群的一組典型生成元共有R2-1個(gè)，它們是跡為0的R×R階矩陣，不妨設(shè)為.這R2-1個(gè)典型生成元與R×R 階單位算子I一起構(gòu)成線性空間MR（C）的一個(gè)完備的厄米特算子基

引理1.1[9］設(shè)SU（R）群的R2-1個(gè)獨(dú)立生成元為｛λi｜i＝1，2，…，R2-1｝，則

引理1.2[7］設(shè)單粒子量子態(tài)空間維數(shù)為R，ρ可以表示為，其中均為實(shí)數(shù)，且滿足

由于任意量子系統(tǒng)的密度算子都是半正定的厄米特算子，所以密度算子也可以由特殊酉群SU（R）的生成元和單位算子表示.

定義1.1 若三體量子系統(tǒng)A，B，C的量子態(tài)用密度矩陣ρABC描述，且，其中分別為系統(tǒng)A，B，C的密度矩陣，則稱可分；否則，稱為糾纏.

設(shè)T為任意矩陣，TT表示矩陣的T轉(zhuǎn)置，T＋表示矩陣T的轉(zhuǎn)置共軛，取T的Frobenius范數(shù)為

2 主要結(jié)論

首先研究三體量子系統(tǒng)密度矩陣所在線性空間的Hamel基，其次討論三體量子系統(tǒng)密度矩陣的表示形式，最后給出三體量子系統(tǒng)密度矩陣可分離的一個(gè)必要條件.

定理2.1 設(shè)三體量子系統(tǒng)A，B，C的空間維數(shù)分別為R1，R2，R3，則由矩陣組成的集合S是線性無關(guān)的，并構(gòu)成線性空間的一個(gè) Hamel基.

證明：為了證明集合S是線性無關(guān)的，先設(shè)

故（1）式可變?yōu)?/p>

因此有

因此得

由上述定理容易得到密度矩陣的表示形式.

其中，實(shí)系數(shù)為

給出三體量子系統(tǒng)密度矩陣的一個(gè)可分離判據(jù).

對比式（5）與定理2.2式子的系數(shù)可得

不妨設(shè)

則由引理1.2和跡范數(shù)的凸性可知

為了驗(yàn)證定理2.3的正確性，首先考慮Werner量子態(tài).設(shè)Werner量子態(tài)的密度矩陣為ρ1，且

其中0≤p≤1.由文獻(xiàn)[4］可知，對于 Werner態(tài)ρ1，當(dāng)時(shí)，ρ1是可分的.

證明：量子態(tài)ρ的矩陣形式為

則由定理2.3得Γρ的形式為

故定理2.3得到驗(yàn)證.

3 結(jié)束語

首先，利用SU（R）群的R2-1個(gè)獨(dú)立生成元和單粒子量子態(tài)的表示形式，給出三體量子系統(tǒng)密度矩陣所在線性空間的Hamel基，以及三體量子系統(tǒng)密度矩陣的表示形式.其次，利用量子態(tài)表示形式中的表示系數(shù)，構(gòu)造表示系數(shù)矩陣.在此基礎(chǔ)上，證明對任意三體量子系統(tǒng)密度矩陣ρABC，若ρABC是可分的，則其表示系數(shù)矩陣的Frobenius范數(shù)不超過1；若其表示系數(shù)矩陣的Frobenius范數(shù)大于1，則ρABC是糾纏的.最后，利用經(jīng)典的Werner量子態(tài)，構(gòu)造能夠例證文中定理和推論的例子.

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