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        三階微分方程的Legendre-Petrov-Galerkin譜元方法

        2013-10-11 06:23:24吳勝莊清渠
        關(guān)鍵詞:三階元法區(qū)間

        吳勝,莊清渠

        (華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建 泉州362021)

        作為數(shù)值求解偏微分方程的3大主要方法之一,譜元方法由于具有高精度,及對復(fù)雜區(qū)域的適應(yīng)性的優(yōu)點,已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于分子動力學(xué)模擬、復(fù)雜流體計算、量子計算、電磁場計算和數(shù)值天氣預(yù)報等領(lǐng)域[1-7].文獻[8-9]分別研究了四階微分方程的譜方法和譜元法.文獻[10]用Legendre-Petrov-Galerkin和Chebyshev配點法求解三階微分方程,由于配點法強烈依靠選取的配置點,容易產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象.文獻[11]則利用對偶Petrov-Galerkin法求解三階微分方程.文獻[12]使用Petrov-Galerkin方法對修正的KdV方程進行數(shù)值求解.文獻[13]用有限差分方法和Chebyshev方法求解帶邊值條件的KdV方程,數(shù)值結(jié)果表明Chebyshev方法是比較有效的.文獻[14]研究了KdV方程的多區(qū)域Legendre-Petrov-Galerkin譜元方法,其實質(zhì)是帶時間三階方程的譜元法,然而,其數(shù)值結(jié)果用的都是兩區(qū)域的計算,并不是真正的譜元法計算,也沒有具體的計算過程.本文研究三階微分方程的Legendre-Petrov-Galerkin譜元法,主要考慮方程的數(shù)值計算.

        1 格式的建立

        記Λ=(-1,1),考慮如下的三階微分方程

        為了用Legendre-Galerkin譜元法對該問題進行數(shù)值逼近,需要將區(qū)間Λ剖分成K(K≥2)個子區(qū)間,即

        上式中:-1=a0<a1<…<aK=1.

        上式中:PN(Λk)表示在Λk上次數(shù)不超過N的全體多項式所組成的空間.用ˉN表示離散參數(shù)(N,K),定義試探函數(shù)空間和檢驗函數(shù)空間為

        為了方便表達,對任意的1≤p≤∞,定義Lp(Λ)={v;‖v‖Lp<∞},其中

        其中:(·,·),‖·‖和|·|分別表示空間L2(Λ)的內(nèi)積、范數(shù)和半范,(u,v)=∫Λu(x)v(x)dx.問題(1)的Legendre-Petrov-Galerkin譜元逼近形式為:找∈,使得

        當(dāng)j=0,1,…,N-3;k=1,2,…,K,基函數(shù)定義為

        通過驗證可知函數(shù)

        滿足所要求的條件,其中:k=1,2,…,K-1.

        最后,將文獻[9]用于求解四階方程的Legendre譜元逼近法的計算思想推廣到式(2)的計算中,詳細(xì)計算過程有以下4個步驟.

        1)構(gòu)造關(guān)于雙線性形式a(·,·)的正交補.令,∈是問題的解則和在a(·,·)意義下是正交的,即

        2)求解各子區(qū)間內(nèi)部節(jié)點上的子問題,找^uˉN∈^VˉN,使得

        3)求解單元交界節(jié)點處的子問題,即求(,)(i=1,2,…,K-1),

        4)由式(7),(8)可得

        式(6)所對應(yīng)的線性系統(tǒng)也可類似表達.

        具有唯一解,而且解滿足

        由三角不等式,可得

        利用Lax-Milgram引理,可知結(jié)論成立.

        2 數(shù)值實驗

        下面給出一個數(shù)值例子說明Legendre-Petrov-Gelarkin譜元逼近形式(2)的精度及有效性,在問題(1)中,取α=β=γ=1.

        例1 考慮問題(1)在區(qū)間(-1,1)上,有如下形式的解析解,即

        其中:右端項為f(x)=(x-2)sin2(πx)-[π(x+1)+4π2(x-1)]sin(2πx)-2π2(x-4)cos(2πx).

        在半log尺度下,當(dāng)h=1/2時,L2-誤差及H1-誤差隨N的變化情況,如圖1(a)所示.從圖1(a)可知:隨著N的增大,誤差(ε)隨N呈指數(shù)衰減.說明對于光滑解,數(shù)值解具有所謂的譜收斂.在log-log尺度下,當(dāng)N=10時,L2-誤差及H1-誤差隨h的變化情況,如圖1(b)所示.從圖1(b)可知:誤差關(guān)于h呈代數(shù)衰減.

        圖1 誤差的變化Fig.1 Change of the error

        3 結(jié)束語

        用Legendre-Petrov-Galerkin譜元法求解三階微分方程,將計算區(qū)間剖分成一系列的小區(qū)間,相應(yīng)地將問題轉(zhuǎn)化成一系列的子問題.構(gòu)造恰當(dāng)?shù)脑囂胶瘮?shù)和檢驗函數(shù),并對得到稀疏的線性系統(tǒng)再進行求解.數(shù)值結(jié)果表明:方法是高精度的,將其應(yīng)用于求解具有高頻振蕩解的問題也是可行的.

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