張 杰，王衛(wèi)安，馬雅青，唐劍釗，任 濤

（南車電氣技術與材料工程研究院，湖南 株洲 412001）

0 引言

新型換流變壓器具有特殊的繞組布置結構與阻抗匹配關系，其閥側繞組抽頭處接全調諧濾波裝置，通過發(fā)掘變壓器的電磁潛能，利用內部耦合繞組在諧波頻率下的安匝平衡作用，把諧波隔離在二次繞組并就近抑制，避免諧波流竄至一次側電網而擴大污染和危害，并可有效削弱諧波磁勢對變壓器所產生的不良影響。由于該種濾波方式較之無源濾波與有源濾波有諸多優(yōu)點，因此特別適合于因非線性負荷的作用而存在大量諧波與無功的直流輸電系統(tǒng)[1-4]。

為了實現(xiàn)該新型換流變壓器的產業(yè)化，還需要完成大量的研究工作。本文主要研究不僅能建立新型換流變壓器正常狀態(tài)、內部故障的數學模型，而且能對其內外部故障進行計算的通用方法。這對新型換流變壓器運行特性的分析與計算，揭示新型換流變壓器各處的電壓、電流等電氣量的分布及其規(guī)律，制定新型換流變壓器保護方案，實現(xiàn)保護方案參數的整定具有重要意義。

傳統(tǒng)的變壓器數學模型推導一般以嚴格的變壓器理論基礎方程式展開[5-6]，但過程較為繁瑣，不適用于復雜多繞組變壓器模型的建立，而且由于經過等效，其物理含義在一定程度上被弱化。文獻[7]采用稀疏列表法來建立變壓器數學模型，該方法不足之處在于所建方程階數比較高，而且后續(xù)故障處理比較麻煩，靈活性不高。相分量法[8-9]比較直觀，其數學模型完全再現(xiàn)原系統(tǒng)的物理結構，而且在不對稱電力系統(tǒng)故障計算方面優(yōu)于對稱分量法[10-11]，故障處理簡單靈活，因此文獻[12-13]采用相分量法來建立變壓器的數學模型，采用的建模方法一般是借助關聯(lián)矩陣A，通過矩陣運算形成節(jié)點導納方程，然而該方法并不適用于網絡的計算機輔助分析，原因在于占用內存量大及運算效率低[14]。 文獻[7，13]的另一個不足在于僅推導了新型換流變壓器正常狀態(tài)的數學模型，并沒有給出建立新型換流變壓器內部故障模型以及計算其內外部短路故障的方法，因此，其算法應用范圍相對比較狹窄。

本文基于添加法建立電網絡方程的原理[14]，首次把添加法應用于新型換流變壓器數學模型的建立和短路故障計算，并通過實際算例驗證了本文數學模型和短路故障計算方法的正確性。

1 添加法建立節(jié)點導納方程原理

對于一個節(jié)點數為n、支路數為b的電力網絡而言，設節(jié)點導納矩陣為Yn、支路導納矩陣為Yb、電壓源列向量為US、電流源列向量為IS、節(jié)點電流列向量為In。運用關聯(lián)矩陣法建立節(jié)點導納方程，在求得節(jié)點導納矩陣Yn及節(jié)點電流列向量In中需要進行矩陣運算Yn=AYbAT及In=AIS-AYbUS，事實上，由于關聯(lián)矩陣A所含元素僅為0、+1、-1，所以與A或AT的乘法運算實質上僅是某些元素的加減運算，因此進行乘法運算是無謂且低效的。而且，從上面的矩陣運算公式可以看出，要建立方程至少需存放關聯(lián)矩陣A、支路矩陣Yb及節(jié)點電流列向量In。存放最終得到的網絡方程僅需n2+n個單元，但存放矩陣A卻需要n×b個單元，存放矩陣Yb需b×b個單元，顯然存放矩陣A及Yb的單元數量遠大于n2+n。

因為節(jié)點導納方程實質上是n個節(jié)點的KCL方程，方程左邊以流出節(jié)點電流為正，方程右邊則以流入節(jié)點的電流為正，因此列出電網絡中某條支路的KCL方程，就可以確定該條支路對網絡方程貢獻的大小及其出現(xiàn)在網絡方程中的位置。添加法正是基于此思路來建立電力網絡的節(jié)點導納網絡方程，具體實現(xiàn)過程如下：建立初始方程時，節(jié)點導納矩陣及右端節(jié)點電流列向量里面的元素全為零，掃描一個支路就將它對方程的貢獻填到合適的位置，這樣逐次掃描，逐次添加，直至網絡中每一個支路均被掃描，網絡方程便被建立起來。添加法實質上是支路在網絡方程中的貢獻逐個添加的方法[14]。由于沒有借助于關聯(lián)矩陣，因此無需存放關聯(lián)矩陣和支路矩陣，并且省去了與關聯(lián)矩陣A相關的矩陣運算，從而極大節(jié)省了算法占用的計算機內存，并提高了運算的效率。

2 新型換流變壓器正常狀態(tài)數學模型

2.1 新型換流變壓器接線方案及耦合電路

新型換流變壓器具體接線方案如圖1所示[7]。

圖1 新型換流變壓器接線方案Fig.1 Connection scheme of converter transformer

圖1 中 Ii（i=1，2，…，15）表示各支路電流，其中I1=IS1、I2=IS2、I3=IS3分別表示 A、B、C 相激勵電流。 新型換流變壓器由3個單相三繞組變壓器連接而成，由圖1接線可得出表征新型換流變壓器三相繞組具體連接方式的耦合電路，如圖2所示。為了給變壓器二次側提供一個參考接地點，同時也是為了簡單起見，便于敘述本文算法，濾波器中性點選擇接地（沒有具體考慮工程實際接法）。

圖2 中，R1、R2、R3和 L1、L2、L3分別表示 A、B、C各相一次側繞組、二次側延邊繞組與公共繞組的電阻和自感；M12、M13、M23分別表示每相中各繞組間的互感，將單相新型換流變壓器各繞組的電阻、電感參數寫成矩陣形式，有：

圖2 新型換流變壓器耦合電路Fig.2 Coupled circuit of converter transformer

2.2 正常狀態(tài)R、L矩陣元素的求解

在建立新型換流變壓器正常狀態(tài)數學模型時，需要得到新型換流變壓器正常狀態(tài)下各繞組的R、L矩陣的參數。由于缺少零序短路試驗數據，不能應用ATP仿真程序中的BCTRAN子程序計算R、L矩陣參數[15]，而且BCTRAN子程序也不支持具有特殊繞組連接方式的新型換流變壓器的R、L矩陣參數計算。

鑒于此，本文采用電磁場有限元計算方法[16]，根據新型換流變壓器實際制造尺寸，利用有限元分析軟件Ansoft來建立變壓器的有限元分析模型，求得新型換流變壓器各繞組的電阻、自感與互感。求解的過程如下：

a．根據新型換流變壓器鐵芯的結構尺寸和繞組的布置，建立新型換流變壓器幾何模型；

b．根據磁勢平衡原理，對新型換流變壓器原副邊繞組施加激勵電流源；

c．設置求解自感、互感矩陣的選項；

d．對幾何模型進行剖分，形成有限元模型，選擇默認的求解算法進行求解；

e．進行求解后處理，求得三相新型換流變壓器正常狀態(tài)下的R、L矩陣參數，由于三相參數對稱，因此可得單相新型換流變壓器R、L矩陣參數。

當求匝間或匝地短路R、L矩陣參數時，需根據正常狀態(tài)R、L矩陣參數通過公式變換求得，具體方法參考文獻[17]。

2.3 正常數學模型的推導

由圖2可以得到圖1的有向圖，如圖3所示。圖中，數字1～15為支路的編號，①～⑨為節(jié)點的編號，0代表接地點。文獻[13]采用借助關聯(lián)矩陣A的方法來建立圖3所示電網絡的節(jié)點導納方程，該算法存放矩陣A、支路導納矩陣Yb和最終得到的節(jié)點導納方程，共需要單元 9×15+15×15+（92+9）=450 個，遠大于存放最終得到的節(jié)點導納方程需要的單元92+9=90個。本文采用添加法直接形成圖3所示電網絡的節(jié)點導納方程，設定支路電壓和電流取關聯(lián)方向。根據圖1和圖2，將圖3的支路分為3類：耦合支路4～12；濾波支路 13～15；電流源支路 1～3。

應用添加法建立該電網絡節(jié)點導納方程的關鍵在于確定每一類支路對方程的貢獻。

由圖2可知，互相耦合的支路，A相為4～6，B相為支路7～9，C相為支路10～12，互相耦合支路的電流均流入同名端?；ハ囫詈现返淖宰杩狗謩e為z11=R1+jωL1，z22=R2+jωL2，z33=R3+jωL3；互阻抗分別為 z12=z21=jωM12，z13=z31=jωM13，z23=z32=jωM23。 自阻抗與互阻抗具體的數值可代入2.2節(jié)求解的R、L矩陣參數進行計算。設zp表示單相互相耦合支路的阻抗矩陣，則有：

可得整個網絡的耦合支路阻抗矩陣為：

則變壓器耦合繞組的支路電流與支路電壓關系的矩陣式可以表示如下：

其中，Yt表示新型換流變壓器耦合支路的導納矩陣。

根據圖3所示的有向圖，將式（4）改寫為：

設 Yt（i，j）為矩陣 Yt的 i行 j列的元素，將式（6）展開，考慮到矩陣Yt的對稱性，支路4～12的電流可寫為：

由式（7）可見，耦合支路對網絡方程貢獻的位置在節(jié)點導納矩陣。設Y（i，j）b表示支路b對節(jié)點導納矩陣的一個貢獻，具體位置處于節(jié)點導納矩陣Y的i行j列。由式（7），根據圖3所示的有向圖，可確定耦合支路4～12對節(jié)點導納矩陣的貢獻。

a.A相互耦支路4～6。

互耦支路4～6連接的節(jié)點為①、④、⑦、⑧。

支路4的電流從節(jié)點①流出，流入參考節(jié)點。它對節(jié)點①的貢獻為：

支路5的電流從節(jié)點④流出，流入節(jié)點⑦，它對節(jié)點④的貢獻為：

支路5對節(jié)點⑦的貢獻為：

支路6的電流從節(jié)點⑦流出，流入節(jié)點⑧，它對節(jié)點⑦的貢獻為：

支路6對節(jié)點⑧的貢獻為：

由上面的推導過程可知：耦合支路對節(jié)點的貢獻不僅和與之直接相連的節(jié)點相關，還和與之耦合的支路兩端的節(jié)點相關。

同理可得到B相互耦支路7～9、C相互耦支路10～12對網絡方程的貢獻。

b.濾波支路13～15對網絡方程的貢獻。

設每相濾波支路在基頻下的導納為yk，濾波支路13～15對網絡方程貢獻的位置也位于節(jié)點導納矩陣。支路13～15的電流分別從節(jié)點⑦、⑧、⑨出發(fā)，均流入參考節(jié)點。

支路13對節(jié)點⑦的貢獻為：

支路14對節(jié)點⑧的貢獻為：

支路15對節(jié)點⑨的貢獻為：

最終的節(jié)點導納矩陣Y第i行的元素由與節(jié)點i相連的所有支路對該節(jié)點貢獻的節(jié)點導納元素之和構成。綜合支路4～15對節(jié)點的貢獻，可得最終的節(jié)點導納矩陣Y的全部元素。

c.電流源支路1～3對網絡方程的貢獻。

支路1～3是電流源支路，因此對節(jié)點電流列向量有貢獻。設I（i，1）b表示支路b對節(jié)點電流列向量的貢獻，具體位置處于節(jié)點電流列向量I的i行1列。

支路1～3的電流均從參考節(jié)點出發(fā)，分別流入節(jié)點①、②、③。因此支路1～3對節(jié)點電流列向量的貢獻分別為：I（1，1）1=IS1；I（2，1）2=IS2；I（3，1）3=IS3。

至此，得到節(jié)點導納矩陣Y和節(jié)點電流列向量I的全部元素。因此可以求得新型換流變壓器正常數學模型為：

3 新型換流變壓器內部故障數學模型

單相新型換流變壓器一次繞組發(fā)生匝地短路和匝間短路時的示意圖如圖4所示。由于正常狀態(tài)的新型換流變壓器可視為由3個彼此磁耦合的線圈組成，因此，若新型換流變壓器的某個繞組發(fā)生匝地故障或匝間故障，則發(fā)生匝地故障的繞組被分開看作存在耦合的2個線圈，發(fā)生匝間故障的繞組被看作互耦的3個獨立線圈，即圖4（a）的繞組1由故障點分裂成了a、b 2個線圈，圖4（b）的繞組1由故障點分裂成了a、b、c 3個線圈。由于變壓器的線圈之間是通過磁場聯(lián)系在一起的，當變壓器發(fā)生內部短路故障時，故障線圈的結構以及線圈之間磁場和電場都要相應地發(fā)生變化，從而引起變壓器參數的變化，因此，在新型換流變壓器內部故障數學建模中，需要確定故障后新型換流變壓器R、L矩陣參數，其求解的基本思路可參考文獻[17]，在此不再敘述。

圖4 新型換流變壓器內部故障示意圖Fig.4 Sketch map of converter transformer with interior faults

假設圖1新型換流變壓器A相一次繞組內部發(fā)生故障的點為F，將該故障繞組看成2個線圈的耦合，對應的內部故障有向圖如圖5所示。

圖5 新型換流變壓器內部故障有向圖Fig.5 Digraph of converter transformer with interior faults

與圖3正常新型換流變壓器有向圖相比，圖5將圖3的支路4分裂成2個支路，分別為圖5的新支路4和新支路16，兩支路的交叉點為新增的故障節(jié)點F，編號順序為⑩。圖5的支路4、5、6、16相互耦合，需要確定這些支路對內部故障網絡方程的貢獻，而其他支路對網絡方程的貢獻不變。因此，修改式（7）的支路電流方程：去掉式（7）的前3個方程，并用支路4、5、6、16的電流方程代替，其余的支路電流方程無需變化。利用求出的一次繞組匝地故障R、L矩陣參數，求出互耦支路 4、5、6、16 的支路導納矩陣 Yf各元素的值，則有：

設內部故障節(jié)點導納矩陣為YFA，根據圖5的有向圖，由式（9）可以得到耦合支路 4、5、6、16 對網絡方程的貢獻，推導過程與上相同。

內部故障節(jié)點導納矩陣YFA與正常狀態(tài)節(jié)點導納矩陣Y相比，由于新增添了一個故障節(jié)點⑩，YFA多了一行一列；由于新增的故障節(jié)點⑩是互耦支路4、5、6、16相連的一個端點，因此這些互耦支路對支路兩端的節(jié)點①、④、⑦、⑧、⑩的某些貢獻發(fā)生了變化，從而導致了YFA第1、4、7、8行的部分非零元素不同于Y相應位置的元素，YFA第10行的元素體現(xiàn)了支路對新增的故障節(jié)點⑩的貢獻；由于支路4、5、6、16之外的其余支路對網絡方程的貢獻不變，因此YFA其余行的非零元素位置和大小與Y相同。

這樣，新型換流變壓器內部故障數學模型為：

由圖5或式（10）可知，繞組上的故障點F由原來的不可見變?yōu)榍逦梢姷墓?jié)點，因此可以方便地對F點施加接地短路來模擬匝地故障，將F點與其他的端點相連來模擬匝間短路故障。通過改變圖4線圈a的匝數na來改變故障點F的位置，求解出相應的R、L矩陣參數，并代入前面確定的YFA各元素的表達式中，便可以通過式（10）來計算故障點F位于繞組任意位置時新型換流變壓器各電氣量的穩(wěn)態(tài)值，以及隨著故障點位置F的改變，新型換流變壓器各電氣量變化的規(guī)律。當圖5的F點不施加故障時，式（10）的數學模型將變?yōu)樾滦蛽Q流變壓器正常狀態(tài)的數學模型。除節(jié)點F之外，該模型其余節(jié)點的電壓的計算結果應該與式（8）的數學模型的計算結果一樣，而此時F點的電壓與匝數成正比，即：

4 新型換流變壓器短路故障計算

基于式（8）所示的新型換流變壓器正常狀態(tài)數學模型或式（10）所示的新型換流變壓器內部故障數學模型，本文采用添加法計算新型換流變壓器短路故障，其故障計算的思路是根據新型換流變壓器短路故障的類型，通過修改支路對網絡方程的貢獻來修改新型換流變壓器的數學模型，并對修改后的數學模型進行求解。

4.1 新型換流變壓器外部短路故障計算

4.1.1 新型換流變壓器外部節(jié)點接地短路

a.設新型換流變壓器外部節(jié)點④直接接地短路，則節(jié)點④轉化為參考節(jié)點，那么電網絡中的支路對節(jié)點④將沒有貢獻，因此需要消去原網絡方程中支路對節(jié)點④的貢獻：消去式（8）節(jié)點導納矩陣第4行和第4列，這時網絡方程降低一階。因節(jié)點④轉化為參考節(jié)點，故去掉式（8）節(jié)點電壓和節(jié)點電流列向量的第4個量，從而得到新數學模型，求解該數學模型得到除節(jié)點④之外的其他節(jié)點的電壓值，將求解出的節(jié)點電壓值代入式（8），展開式（8）第4行便可以得到節(jié)點④接地短路電流值。

b.當新型換流變壓器2個或2個以上外部節(jié)點接地短路時，計算方法與上相似。

4.1.2 新型換流變壓器外部節(jié)點之間短路

a.設新型換流變壓器外部節(jié)點④和⑤直接短路，這2個節(jié)點合為1個節(jié)點，設這個節(jié)點為節(jié)點④。因此需要將原網絡方程中支路對節(jié)點④和⑤的貢獻合并：將式（8）節(jié)點導納矩陣第5行和第5列的元素分別加到第4行和第4列，同時去掉第5行和第5列，網絡方程降低一階。因節(jié)點④和⑤合為節(jié)點④，故去掉式（8）的節(jié)點電壓和節(jié)點電流列向量的第5個量，從而得到新的數學模型，求解該數學模型得到所有節(jié)點的電壓值，將求解出的節(jié)點電壓值代入式（8），展開式（8）的第5行便可以得到節(jié)點間的短路電流值。

b.設新型換流變壓器外部節(jié)點④和⑤通過阻抗z短路，新增的支路編號為i，則新節(jié)點導納矩陣Y′需要在式（8）節(jié)點導納矩陣Y加上支路i的貢獻。設支路i的電流由節(jié)點④流出，流入節(jié)點⑤，則支路i的電流大小為（U④-U⑤）／z，支路 i對節(jié)點④的貢獻為：Y′（4，4）i=1 ／z；Y′（4，5）i=-1 ／z。支路 i對節(jié)點⑤的貢獻為：Y′（5，4）i=-1 ／z；Y′（5，5）i=1 ／z。則有：

c.當新型換流變壓器3個或3個以上外部節(jié)點短路時，計算方法與上相似。

上述的外部短路故障計算也可以通過修改式（10）的數學模型來實現(xiàn)。

4.2 新型換流變壓器內部短路故障計算

內部短路故障計算可以根據圖5的F點在繞組的位置以及其短路故障的類型，通過修改式（10）的數學模型來實現(xiàn)，修改的方法與上相似。

5 算例

現(xiàn)結合具體算例來驗證本文所建新型換流變壓器數學模型及短路故障計算方法的正確性。新型換流變壓器部分設計數據如表1所示。

本文根據圖1所示新型換流變壓器的接線方案和表1所示的單相設計參數值，采用MATLAB／Simulink中的電力系統(tǒng)仿真模塊（PSB）建立了含新型換流變壓器的電力系統(tǒng)仿真模型，三相電壓的幅值為220V，阻抗值的單位為Ω，節(jié)點電壓和短路電流的值可以通過附加測量模塊得到。將仿真模型的結果與采用本文方法建立正常數學模型以及計算外部短路的程序運行結果相比較。

表1 新型換流變壓器（單相）部分參數值Tab.1 Partial parameters of converter transformer（single phase）

5.1 正常數學模型和外部短路故障算法驗證

為了便于描述，把新型換流變壓器的原邊繞組端口節(jié)點A1、B1、C1看作節(jié)點H的三相，副邊延邊繞組端口節(jié)點a2、b2、c2為節(jié)點J的三相，副邊公共繞組端口節(jié)點a3、b3、c3為節(jié)點K的三相，則節(jié)點電壓和節(jié)點電流列向量分別為Ui=[UiAUiBUiC]T、Ii=[IiAIiBIiC]T，其中i=H，J，K。設短路點的三相電流為 IST=[IfAIfBIfC]T。

新型換流變壓器正常狀態(tài)和外部節(jié)點短路故障仿真和計算結果對比分別如表2和表3所示，限于篇幅，本文只對節(jié)點J的故障進行驗證。

從表2和表3可以看出，仿真結果和計算結果非常接近，這充分表明了正常數學模型和外部短路故障算法的正確性和精確性。

表2 正常狀態(tài)節(jié)點三相電壓結果對比Tab.2 Comparison of three-phase voltages of normal node

5.2 內部故障數學模型驗證

本文主要從以下2個方面來驗證新型換流變壓器內部故障數學模型的正確性。

a.隨著短路故障匝數的變化，短路故障匝內電流和一次電流與故障匝數的關系。

保持端點A1固定，與節(jié)點A1短路的故障點F從原邊A相繞組的1%處滑到50%處，短路電流計算方法如4.2節(jié)所述，一次側的A相電流可由式（9）求出，可以得到圖6所示的曲線。

由圖6可見，新型換流變壓器發(fā)生匝間短路故障時，故障匝內的電流隨著匝數的增加而減少，而一次側電流卻隨著故障匝數的增加而增加，故障匝數很小時，一次側電流很小，而故障匝內電流卻很大。

表3 節(jié)點J短路故障時的結果對比Tab.3 Comparison of three-phase voltages of node J with different short circuit faults

圖6 一次側電流、短路故障匝內電流與短路故障匝數的關系曲線Fig.6 Relationship curves of primary current or inter-turn short circuit current vs.short circuit turn number

b.一次側電流和短路故障匝內的電流隨著短路故障阻抗的改變而變化的規(guī)律。

設新型換流變壓器A相原邊繞組的40%處與節(jié)點A1通過一個短路故障阻抗Zs相連，改變故障阻抗Zs的大小，可以得到表4所示的變化規(guī)律。

由表4可見，一次側的電流和短路故障匝內的電流隨著短路故障阻抗的增大均逐漸減小，這說明相同位置的同類故障，短路故障阻抗越小后果越嚴重。

綜合上面的新型換流變壓器內部故障計算結果可以發(fā)現(xiàn)，雖然新型換流變壓器具有特殊的繞組布置結構與阻抗匹配關系，但其內部故障計算結果呈現(xiàn)的規(guī)律與文獻[18-19]的理論分析結果一致，從而說明了本文所建立的新型換流變壓器內部數學模型的正確性，可以用來定量計算新型換流變壓器的內部故障。

表4 一次側A相電流、短路故障匝內電流與短路故障阻抗的關系Tab.4 Relationship between primary current of phase-A or inter-turn short circuit current and short circuit fault impedance

6 結論

a.提出了一種采用添加法建立新型換流變壓器正常狀態(tài)、內部故障數學模型以及計算其內外部短路故障的通用方法，實際算例驗證了該方法的正確性與精確性。

b.經研究發(fā)現(xiàn)，互感支路對節(jié)點的貢獻不僅和與之直接相連的節(jié)點相關，還和與之耦合的支路兩端的節(jié)點相關。本文詳細研究了確定互感支路對網絡方程貢獻的方法以及如何根據節(jié)點或支路的變化應用添加法形成新網絡方程的方法。這些研究成果不僅是對文獻[14]的一個有益的補充，而且拓寬了添加法的應用范圍。

c.本文將變壓器看作多個支路的耦合，并充分考慮了變壓器的具體接線方式，結合變壓器耦合電路的有向圖，將添加法建立網絡方程的思想成功地應用于變壓器數學建模中，而且根據變壓器實際制造尺寸及所選用的材質，通過電磁場分析有限元計算方法求得所需的自感、互感參數，而無需具備零序短路試驗數據。本文中添加法與電磁場有限元計算方法有效的結合使用為變壓器數學建模開辟了一種新的思路。

d.所建立的變壓器數學模型清晰地反映了變壓器繞組的接線方式，物理概念明確，且數學建模和短路故障計算的過程簡單明了，只需結合變壓器的接線方式，并求解相應的R、L矩陣參數，通過添加或修改支路對網絡方程的貢獻，不僅可以非常便捷地直接形成變壓器的正常狀態(tài)和內部故障數學模型，而且可以計算變壓器任意的內外部短路故障。

e.本文只是對新型換流變壓器的線性模型進行了建模及故障計算，考慮換流變壓器鐵芯飽和是筆者下一步要研究的工作。