王芳潔，李 平

（1.宜昌市測繪大隊，湖北 宜昌443000）

迄今為止，對儀器的i角誤差、調(diào)焦誤差、地球曲率等觀測條件引起的誤差的研究比較廣泛和深入[1]，也有許多學(xué)者針對不同的誤差類型提出了一些減弱或消除誤差的方法和措施[2,3]。理論上，進(jìn)行水準(zhǔn)測量時，水準(zhǔn)標(biāo)尺分劃中心零點應(yīng)嚴(yán)格置于測點上，否則就屬于標(biāo)尺偏心測量。長期以來，大家默認(rèn)將標(biāo)尺底面幾何中心置于測點上，疏忽了實際測量過程中標(biāo)尺底面幾何中心與分劃中心零點不一致這一重要的基本事實。嚴(yán)格地說，實際的測量過程也存在著偏心。水準(zhǔn)測量中單純的研究偏心測量是沒有意義的，但水準(zhǔn)標(biāo)尺存在傾斜時如果底面幾何中心與分劃中心零點不一致，就會增大傾斜誤差的影響。因此，筆者認(rèn)為考慮偏心在水準(zhǔn)測量中的影響以及削弱此類影響是必要的。

標(biāo)尺偏心的現(xiàn)象在礦山、隧道及其他地下工程中十分普遍。例如礦山巷道，通常都以埋設(shè)在兩邊的金屬棒作為水準(zhǔn)點，為了不妨礙礦車和人員通行，水準(zhǔn)點的外露部分一般只有2～3 cm，而釘在木支架上的水準(zhǔn)標(biāo)志外露部分也只有3～5 cm。由于巷道一般都是梯形或拱形斷面，水準(zhǔn)測量時為了豎直標(biāo)尺，測量人員只能盡量將其底面向墻外挪，有時甚至只能勉強將標(biāo)尺底面的一個尖角支在測點上。

水準(zhǔn)標(biāo)尺傾斜也是水準(zhǔn)測量誤差的重要來源之一，若標(biāo)尺偏心的同時又發(fā)生了傾斜，就會產(chǎn)生偏斜誤差，此時水準(zhǔn)測量就稱為偏斜測量。過去關(guān)于水準(zhǔn)尺傾斜誤差的討論較多[4-6]，但標(biāo)尺偏斜誤差卻很少提及。本文依據(jù)實際測量過程中標(biāo)尺分劃中心點與底面幾何中心不一致這一重要的基本事實，從實踐出發(fā)，對標(biāo)尺分劃中心零點偏離測點與尺身傾斜共同引起的誤差進(jìn)行了研究，提出了水準(zhǔn)測量中的偏斜誤差數(shù)學(xué)模型，通過實例分析了偏斜誤差對水準(zhǔn)測量的影響。

1 標(biāo)尺偏斜誤差的數(shù)學(xué)模型

1.1 標(biāo)尺傾斜誤差數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，設(shè)P點為測點標(biāo)志中心，OB為水準(zhǔn)標(biāo)尺分劃中心線，O為分劃中心零點。當(dāng)標(biāo)尺正確豎直時，O與P重合，OB鉛直，標(biāo)尺上的正確讀數(shù)為OC。若標(biāo)尺分劃中心零點O不動，OB傾斜至OB1，而水準(zhǔn)儀水平視線保持原位不變，測得此時標(biāo)尺上的讀數(shù)為OC1，它所含的誤差?h1可表示為：

式中，α為標(biāo)尺傾角；?h1為標(biāo)尺傾斜誤差[6]。

1.2 標(biāo)尺偏斜誤差數(shù)學(xué)模型

在標(biāo)尺傾斜的同時，若標(biāo)尺分劃中心零點O偏離P點至O2，且標(biāo)尺分劃中心線OB向下偏斜至O2B2，而水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)線保持原位不變，則此時標(biāo)尺上的讀數(shù)為O2C2（見圖2），它所含的誤差?h2可表示為：

若標(biāo)尺分劃中心零點O偏離P點至O3，且分劃中心線OB向上偏斜至O3B3，而水準(zhǔn)儀水平視線仍保持原位不變，測得此時標(biāo)尺上的讀數(shù)為O3C3（見圖3），它所含的誤差?h3可表示為：

設(shè)標(biāo)尺讀數(shù)h，標(biāo)尺分劃中心零點O偏離測點的距離為d，標(biāo)尺向上翹起的傾角為正，標(biāo)尺向下傾角為負(fù)，標(biāo)尺偏斜引起的讀數(shù)誤差為?h，則上述3式可綜合表示為：

圖1 標(biāo)尺傾斜誤差分析圖

圖2 標(biāo)尺向下偏心時偏斜誤差分析圖

圖3 標(biāo)尺向上偏心時偏斜誤差分析圖

2 標(biāo)尺偏斜誤差分析

偏斜誤差通用公式即式（4）右邊第1項(1-cosα)×h與標(biāo)尺讀數(shù)及傾角大小有關(guān)，第2項d×sinα則與標(biāo)尺偏心距離及傾角大小有關(guān)。因sinα為奇函數(shù)，cosα為偶函數(shù)，當(dāng)α為正值時，第1項為正，第2項為負(fù)，兩者有相互抵消之趨勢；但當(dāng)α為負(fù)值時，第1、2項皆為正值，此時2項誤差相互疊加，影響最大。

目前常用的水準(zhǔn)測量標(biāo)尺分劃面寬約為80 mm，側(cè)面寬約為30 mm，中間厚25～30 mm（見圖4）。也就是說，水準(zhǔn)測量時要是將標(biāo)尺底面的幾何中心立在測點上，標(biāo)尺分劃中心零點將偏離測點10 mm以上；要是不考慮標(biāo)尺對中而隨意立尺，標(biāo)尺分劃中心零點可能偏離測點0～45 mm。

根據(jù)式（4）估算標(biāo)尺偏斜誤差，表1～表3為當(dāng)α為負(fù)值（-0.5°～-3.0°）、偏心距為0～45 mm時標(biāo)尺偏斜對不同標(biāo)尺讀數(shù)產(chǎn)生的誤差值統(tǒng)計表。

圖4 常用水準(zhǔn)標(biāo)尺尺寸

表1 水準(zhǔn)標(biāo)尺偏斜誤差統(tǒng)計分析表

表2 水準(zhǔn)標(biāo)尺偏斜誤差統(tǒng)計分析表

表3 水準(zhǔn)標(biāo)尺偏斜誤差統(tǒng)計分析表

從表1可知，標(biāo)尺偏斜誤差比標(biāo)尺單純傾斜誤差（即d=0時的誤差）大得多；水準(zhǔn)尺傾斜度越大，偏斜誤差越大；標(biāo)尺偏心越大，偏斜誤差越大；標(biāo)尺讀數(shù)越小，偏心影響越明顯。例如，設(shè)α=-1.5°，當(dāng)標(biāo)尺讀數(shù)h=3 000 mm、標(biāo)尺偏心距為45 mm時的誤差（2.21 mm）僅約為單純傾斜誤差（1.03 mm）的2倍；而當(dāng)標(biāo)尺讀數(shù)h=1 000 mm、標(biāo)尺偏心距為45 mm時的誤差（1.52 mm）約為單純傾斜誤差（0.34 mm）的5倍。

礦井、隧洞、地下室等地下工程的水準(zhǔn)測量中通常使用2 m的水準(zhǔn)標(biāo)尺，水準(zhǔn)測量時標(biāo)尺讀數(shù)范圍主要在0.5～1.5 m之間。因此，標(biāo)尺偏心誤差的影響在地下工程的水準(zhǔn)測量中表現(xiàn)得更加明顯。

3 工程實例

達(dá)萬鐵路青龍咀隧道位于重慶市萬州區(qū)境內(nèi)，長約320 m，五心拱形斷面，單向分層施工，隧道出口處緊接菜地溝特大橋。隧道掘通后，為后續(xù)施工需要，用S3水準(zhǔn)儀和3 m紅黑面水準(zhǔn)標(biāo)尺檢測了隧道邊墻上原設(shè)的6個施工高程點。開始使用一般的3 m長的標(biāo)尺進(jìn)行測量，但是由于邊墻為拱形，3 m標(biāo)尺在墻面測點上很難完全立正和豎直。檢測結(jié)果精度偏低，導(dǎo)線單程長約350 m，往返較差達(dá)14 mm。

對閉合差偏大的原因進(jìn)行分析后，改用2 m長的標(biāo)尺進(jìn)行了復(fù)測。復(fù)測過程中，嚴(yán)格要求標(biāo)尺分劃中心零點對中測點并保持鉛直。復(fù)測結(jié)果為往返較差3 mm。這一實踐有力說明，第1次檢測時往返較差偏大的原因是觀測墻上水準(zhǔn)點時標(biāo)尺的偏心和傾斜所造成的。

4 結(jié) 語

根據(jù)以上統(tǒng)計以及實例分析，對于水準(zhǔn)測量中的偏斜誤差，得出以下結(jié)論：

1）水準(zhǔn)測量時，應(yīng)將標(biāo)尺分劃中心零點（而不是標(biāo)尺底板幾何中心）支在測點上，否則就會造成標(biāo)尺偏心。

2）標(biāo)尺傾斜和偏斜（即標(biāo)尺在偏心的同時又不鉛直）都會產(chǎn)生誤差，但偏斜誤差比單純的傾斜誤差大得多。

3）雖然輕微的標(biāo)尺傾斜難以避免，但由于標(biāo)尺對中狀態(tài)下的傾斜誤差永遠(yuǎn)為正（讀數(shù)總是偏大），具有一定的系統(tǒng)誤差性質(zhì)，有時可采用適當(dāng)方法（如根據(jù)統(tǒng)計分析加入標(biāo)尺傾斜改正數(shù)或用搖尺法取多次測量的最小讀數(shù)）減弱其影響；而標(biāo)尺偏斜誤差卻有正有負(fù)，增添了誤差改正的難度。所以，觀測時應(yīng)嚴(yán)格將標(biāo)尺分劃中心零點對準(zhǔn)測點。

4）實踐中若遇到無法以標(biāo)尺分劃中心零點支在測點上的情況，應(yīng)保持該測點前視觀測和后視觀測（或該點在不同周期觀測）時標(biāo)尺偏心距離、傾角及讀數(shù)大小基本不變，以消除或減弱標(biāo)尺偏心誤差的影響。例如，建筑物沉降觀測點一般都埋設(shè)在墻上或柱子上。有時由于施工原因?qū)е轮鎵γ姘纪共黄?，或受局部裝修影響使標(biāo)尺在測點上無法對中和鉛直。在這種特殊情況下進(jìn)行的標(biāo)尺偏心測量，應(yīng)保持每次觀測時標(biāo)尺偏心距傾角及標(biāo)尺讀數(shù)基本一致，以減少標(biāo)尺偏斜誤差的影響。

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