吳金美 ,侯亞威,胡上成,凌曉冬

(中國衛(wèi)星海上測控部,江蘇 江陰214431)

1 引 言

隨著航天科技的飛速發(fā)展,航天任務(wù)對初軌精度的需求越來越高,一直以來,定軌算法和精度分析是航天領(lǐng)域的重要研究課題之一。但在實(shí)踐中,由于參試設(shè)備多,數(shù)據(jù)量大,不管用什么定軌算法,最終都需要從多組定軌結(jié)果中優(yōu)選出一組最優(yōu)軌道。選優(yōu)的方法直接影響了整個定軌的精度。最簡單的做法可以按照比如軌道半長軸這樣的重要分量進(jìn)行排序,取中間的或取與平均值最接近的軌道方案。但只參考一個軌道分量的處理缺乏可信度,取中間值或平均值的做法缺乏系統(tǒng)的排序理論,這是軌道優(yōu)選后定軌精度不高的一個重要原因,因此如何用一個系統(tǒng)的綜合評價算法來進(jìn)行的軌道選優(yōu),是測控中心也是海上測量船面臨的一個問題。

航天器軌道有多個分量,均是重要的評價指標(biāo),缺一不可,其優(yōu)選評價方法是一個多屬性決策問題。多屬性決策[1](Multiple Attribute Decision Making,MADM)是指在具有不可共度的多屬性的情況下,利用已有的決策信息,通過一定的方式對有限個備選方案進(jìn)行排序或擇優(yōu)。具體分析起來,簡單易行的線性加權(quán)法要求各屬性相互獨(dú)立,故不能用來處理復(fù)雜的問題;層次分析法(AHP)將復(fù)雜問題表示為一個有序的遞階層次結(jié)構(gòu)來計算,而初始軌道僅有6個軌道分量顯然是不適用的;ELECTRE法需要建立優(yōu)先關(guān)系,又難以確定;灰色關(guān)聯(lián)分析法和逼近理想點(diǎn)法(TOPSIS)比較適合用來進(jìn)行軌道選優(yōu),但這其中都牽涉到正負(fù)理想解的設(shè)定問題。楊永安[2-3]運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)分析法和逼近理想點(diǎn)法分別建立了衛(wèi)星初始軌道選優(yōu)模型,并進(jìn)行了實(shí)例計算,雖然結(jié)果都比較合理,但其中灰色關(guān)聯(lián)分析法中分辨系數(shù)的確定沒有理論依據(jù),逼近理想點(diǎn)法中對定軌方案增加了評價權(quán)重的做法仍值得商榷,而且兩個模型中都將標(biāo)稱軌道作為目標(biāo)軌道去計算理想解,標(biāo)稱軌道與實(shí)際軌道相差較大,必然影響精度,這也是最需要改進(jìn)的地方。

本文考慮將TOPSIS方法應(yīng)用到航天器初軌優(yōu)選的問題中,著重解決目標(biāo)軌道的計算和求解理想解的問題,建立相應(yīng)的評價數(shù)學(xué)模型,并結(jié)合實(shí)例計算來驗證模型的正確性。

2 用逼近理想點(diǎn)法進(jìn)行軌道優(yōu)選的基本思路

逼近理想點(diǎn)法是一種從幾何觀點(diǎn)出發(fā)的多屬性決策方法,在m個屬性下評估n個方案,類似于m維空間里的n個點(diǎn),這是借助于多目標(biāo)決策問題中理想解理想方案和負(fù)理想解負(fù)理想方案的思想。所謂理想解是一個設(shè)想的最好解,其各個指標(biāo)值都達(dá)到各候選方案中最好的值,而負(fù)理想解是另一個設(shè)想的最壞解,其各個指標(biāo)都達(dá)到各候選方案中最壞的值。在原方案集中對每個方案與正負(fù)理想解作比較,于是利用它們之間的距離信息即可作為對各個方案進(jìn)行排序的標(biāo)準(zhǔn),與正理想解越接近,與負(fù)理想解越遠(yuǎn),方案越優(yōu)。

TOPSIS方法主要分4個步驟,即建立規(guī)范化矩陣、求解正負(fù)理想解、求解各方案與正負(fù)理想解的距離、確定評價指數(shù)進(jìn)行排序。應(yīng)用到具體領(lǐng)域,針對不同的背景建立具體模型時最為關(guān)鍵的是規(guī)范化矩陣的構(gòu)造和正負(fù)理想解的求解,對于軌道優(yōu)選來說,中心處理系統(tǒng)將各設(shè)備的原始測量值進(jìn)行處理后產(chǎn)生了多組初始軌道,每組軌道由6個開普勒根數(shù)來描述,分別是半長軸a、偏心率 e、軌道傾角 i、升交點(diǎn)赤經(jīng) Ψ、偏近點(diǎn)角 ω、近地點(diǎn)幅角 M,這6個指標(biāo)就是每個軌道方案的6個屬性,軌道優(yōu)選問題就是根據(jù)這6個指標(biāo)對多組軌道進(jìn)行排序選優(yōu),確定出最優(yōu)的軌道作為定軌的最終結(jié)果,而如何將這6個屬性值化轉(zhuǎn)為規(guī)范化矩陣,如何確定正負(fù)理想解,不同的做法將會得到不同的模型,也決定了模型的精度。

下面按照TOPSIS法的4個基本步驟建立軌道優(yōu)選的數(shù)學(xué)模型。

3 軌道優(yōu)選的數(shù)學(xué)模型

3.1 構(gòu)造規(guī)范化矩陣

多屬性決策問題中的不同屬性之間可以相互比較重要性,但軌道根數(shù)6個指標(biāo)無法給出具體權(quán)重,因此必須通過轉(zhuǎn)換采用位置和速度的形式,才可以既保留每個方案的所有屬性,又避免指標(biāo)的相互關(guān)聯(lián)以及權(quán)重的選擇問題[2-4]。設(shè)有N組軌道方案,通過轉(zhuǎn)換得到的其中第 i組的軌道在歷元時刻在J2000.0慣性坐標(biāo)系下的位置和速度為(xi,yi,zi,),統(tǒng)一表示為(pi1,pi2,pi3,pi4,pi5,pi6),其中 i=1,2,…,N。

上述軌道的6個指標(biāo)并不是越大越好的效益型指標(biāo),也不是越小越好的成本型指標(biāo),為了能夠參與計算,首先對多屬性決策指標(biāo)進(jìn)行規(guī)范化,將6個分量計算成可以直接與“好”、“壞”相關(guān)聯(lián)的指標(biāo)。

事實(shí)上,如果將航天器飛行時真實(shí)軌道位置和速度表示為(p01,p02,p03,p04,p05,p06),將各方案軌道與其做差,差值為(ki1,ki2,ki3,ki4,ki5,ki6),其中則最理想的定軌結(jié)果就是與真實(shí)軌道差值為零。當(dāng)然,由于各組設(shè)備的誤差,定軌得出的軌道數(shù)據(jù)必然與真實(shí)軌道有偏差,差值是越小越好的成本型指標(biāo),并且,各評價指標(biāo)權(quán)重相當(dāng),數(shù)量級也是一樣的,不存在量級的差異以及權(quán)重的差別,因此差值不需要再進(jìn)行加權(quán)和歸一化,偏差矩陣可直接作為規(guī)范化矩陣,即

實(shí)際情況中,(p01,p02,p03,p04,p05,p06)未知,需要找到與此相近的軌道來代替,文獻(xiàn)[2-3]用標(biāo)稱軌道作為這個目標(biāo)軌道,這與真實(shí)軌道相差較大并不合理,而事實(shí)上現(xiàn)有的定軌結(jié)果與標(biāo)稱軌道相比較起來更為接近真實(shí)軌道,當(dāng)然軌道優(yōu)選本來就是選出其中最為接近真實(shí)軌道的那一組定軌結(jié)果,在優(yōu)選結(jié)果出來前并不知道哪一組最近似,因此需要利用現(xiàn)有軌道方案進(jìn)行處理得出一組數(shù)據(jù)用來近似真實(shí)軌道,作為目標(biāo)軌道參與運(yùn)算,這里,我們采用多組軌道結(jié)果進(jìn)行加權(quán)平均求解目標(biāo)軌道。

3.2 加權(quán)平均法求解目標(biāo)軌道

由于測量機(jī)制有所差別,不同數(shù)據(jù)源確定的軌道的精度是不一樣的,根據(jù)測控經(jīng)驗形成的共識,GPS數(shù)據(jù)確定的軌道精度較高,比較接近于真實(shí)軌道,遙測數(shù)據(jù)定軌又比外測數(shù)據(jù)定軌精度高,我們采用了10次任務(wù)的不同數(shù)據(jù)源定軌結(jié)果與精軌進(jìn)行了比較,從10次任務(wù)的實(shí)測數(shù)據(jù)計算結(jié)果看,各類數(shù)據(jù)定軌結(jié)果的最大誤差如表1所示。

表1 各數(shù)據(jù)源定軌結(jié)果的偏差Table 1 Error of orbit determined by different data sources

可以看出,這與測控經(jīng)驗一致,相對于外測和遙測數(shù)據(jù),GPS數(shù)據(jù)的定軌精度比較高,而遙測數(shù)據(jù)的定軌精度又比外測數(shù)據(jù)稍高。偏差越小,精度越高,與真實(shí)軌道越接近,在加權(quán)求解目標(biāo)軌道的過程中所占比重越大,因此權(quán)重與偏差成反比,根據(jù)表1結(jié)合經(jīng)驗值我們將GPS、遙測、外測的定軌數(shù)據(jù)的權(quán)重之比定為 64∶8∶7,歸一化后得 GPS、遙測、外測的定軌數(shù)據(jù)的權(quán)重為(0.81,0.10,0.09)。若外測數(shù)據(jù)源有n組定軌結(jié)果,每一組在加權(quán)時權(quán)重為若遙測數(shù)據(jù)源有m組定軌結(jié)果,每一組在加權(quán)時權(quán)重為

將加權(quán)求和所得到的目標(biāo)軌道轉(zhuǎn)化為J2000.0慣性坐標(biāo)系下的位置和速度,記為(p01,p02,p03,p04,p05,p06),根據(jù)3.1節(jié)可計算得到規(guī)范矩陣 V。

3.3 確定評價對象的理想解和負(fù)理想解

6個屬性指標(biāo)是越小越好的成本型的,由

求得軌道方案各指標(biāo)的正理想解和負(fù)理想解。正理想解和負(fù)理想解都是候選方案中沒有的,正理想解的每個分量都達(dá)到各候選方案中最優(yōu)的值,負(fù)理想解的各個分量都達(dá)到各候選方案中最差的值,逼近理想點(diǎn)法的基本思路就是找出虛擬的正理想解和負(fù)理想解,將各候選方案與正理想解和負(fù)理想解的距離進(jìn)行比較,找出離正理想解最近同時離負(fù)理想解最遠(yuǎn)的方案。

3.4 計算距離

求解第i組候選方案與正理想解和負(fù)理想解的距離:

3.5 確定相對接近度,方案排序

第i組軌道方案與正理想解的相對接近度

事實(shí)上,Ci的大小直接取決于方案與正負(fù)理想解的距離,與正理想解的距離越小,與負(fù)理想解的距離越大,Ci越大,方案越優(yōu)。根據(jù)接近程度Ci從大到小的順序,將各方案按優(yōu)劣程度進(jìn)行排序。

4 實(shí)例計算

4.1 例1

以同步衛(wèi)星轉(zhuǎn)移軌道為例,由測控系統(tǒng)各種數(shù)據(jù)源確定的6組軌道,如表2所示,列出6組軌道方案、火箭設(shè)計的標(biāo)稱軌道、事后處理得到的精軌以及加權(quán)平均法所得的軌道,將上述軌道根數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樵跉v元時刻在J2000.0慣性坐標(biāo)系下的位置和速度,見表3。用加權(quán)平均法得到的軌道作為目標(biāo)軌道,按照軌道優(yōu)選的計算步驟,依次計算偏差矩陣,以及正負(fù)理想解,進(jìn)而計算出各軌道方案與正負(fù)理想解的距離以及相對接近度Ci,結(jié)果見表4～5。作為參照結(jié)果,用事后處理的精軌作為目標(biāo)軌道,也按步驟進(jìn)行排序計算,結(jié)果見表6～7。

表2 軌道根數(shù)表Table 2 Orbit element

表3 位置和速度表Table 3 Position and speed

表4 規(guī)范化矩陣及正負(fù)理想解——加權(quán)平均軌道做目標(biāo)軌道Table 4 Normalized matrix,ideal solution and negative solution ——set weighted average orbit as objective orbit

表5 評價指數(shù)以及排序——加權(quán)平均軌道做目標(biāo)軌道Table 5 Evaluate exponent and ranking result——setweighted average orbit as objective orbit

表6 偏差矩陣以及正負(fù)理想解——事后精確軌道做目標(biāo)軌道Table 6 Normalized matrix,ideal solution and negative solution ——set posterior precise orbit as objective orbit

表7 評價指數(shù)——事后精確軌道做目標(biāo)軌道Table 7 Evaluate exponent and ranking result— —set posterior precise orbit as objective orbit

可以看出,兩組計算結(jié)果一致,各方案的評價指數(shù)的值和分布也基本一致,均顯示第五組軌道方案脈沖雷達(dá)最優(yōu),其次是GPS彈道,最差的是一組慣組秒節(jié)點(diǎn)彈道。事實(shí)上,從表3和表5就可看出,第五組脈沖雷達(dá)與第四組GPS彈道的軌道方案的各分量是非常接近于精軌和加權(quán)平均軌道的,偏差量最小,正理想解的各分量均取自第五組脈沖雷達(dá)或第四組GPS彈道的軌道方案,它們是6組軌道中最好的兩組,其評價指標(biāo)接近度也都是接近于1的且差別很小,其他各組方案的優(yōu)劣程度也都符合對偏差的大小的分析。因此,用加權(quán)平均法計算目標(biāo)軌道是精確的,用逼近理想點(diǎn)法建立的模型進(jìn)行排序,計算結(jié)果是正確合理的。

為了對比,我們用標(biāo)稱軌道作目標(biāo)軌道,也進(jìn)行了軌道優(yōu)選的計算,限于篇幅,這里只列出用標(biāo)稱軌道作目標(biāo)軌道進(jìn)行計算最終的評價結(jié)果,即6>2>1>5>4>3,這與前面兩組結(jié)果相差較大,與直觀的偏差分析也相悖,顯然也是不合理的。事實(shí)上,精軌是事后處理得到的精確軌道,一般意義上即作為真實(shí)軌道,而標(biāo)稱軌道與真實(shí)軌道相差是比較大的,從表2即可看出標(biāo)稱軌道實(shí)際上與精軌相差比較大而加權(quán)平均法求得的軌道與精軌比較接近,說明標(biāo)稱軌道是不適合用做目標(biāo)軌道的,會直接導(dǎo)致最終的排序結(jié)果不合理。

4.2 例2

以某太陽同步衛(wèi)星為例,由測控系統(tǒng)各種數(shù)據(jù)源確定的10組軌道以及標(biāo)稱軌道、精軌和加權(quán)平均法得到的目標(biāo)軌道,按照前面給出的模型進(jìn)行軌道優(yōu)選的計算。限于篇幅,這里只列出軌道根數(shù)表以及用加權(quán)平均軌道、精軌、標(biāo)稱軌道做目標(biāo)軌道得到的最終結(jié)果,如表8和表9所示。

表8 軌道根數(shù)表Table 8 Orbit element

表9 排序結(jié)果Table 9 Ranking results

用加權(quán)平均軌道和事后精確軌道做目標(biāo)軌道得到的最終排序基本一致,最好的軌道方案都是第二組GPS彈道,只在排名第二和第三的軌道位置有所變化,事實(shí)上第一組軌道方案和第三組軌道方案在兩次計算結(jié)果中評價接近度都是很相近的,所以排序也是相近的,優(yōu)劣程度也相差不大,排序的先后變化是可以接受的,所以模型和結(jié)果是正確合理的。加權(quán)平均法求得的軌道也是比較接近精軌的,在實(shí)時處理中可作為目標(biāo)軌道進(jìn)行計算。

而用標(biāo)稱軌道作目標(biāo)軌道的最終的評價結(jié)果與前面兩組結(jié)果相差較大,從直觀的偏差分析和測控經(jīng)驗就可得出排序顯然是不合理的。

5 結(jié) 論

本文提出的逼近理想點(diǎn)法解決航天器軌道優(yōu)選問題的模型,能夠給出軌道優(yōu)選的合理正確的排序,滿足軌道初選的實(shí)時性和精確性的要求。從實(shí)例計算結(jié)果可以看出,其中的加權(quán)平均法求解目標(biāo)軌道與直接用標(biāo)稱軌道做目標(biāo)軌道相比,精度顯著提高。當(dāng)然,在實(shí)踐應(yīng)用中,還需要對模型進(jìn)一步完善,優(yōu)選結(jié)果的精度主要取決于加權(quán)平均法求解的目標(biāo)軌道的精度,權(quán)重的變化對結(jié)果會有一定的影響,本文確定的權(quán)重求得的目標(biāo)軌道是比較精確的,但還需要通過大量的系統(tǒng)仿真和統(tǒng)計進(jìn)行驗證和分析,有待進(jìn)一步更為深入的研究。

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