吳金美 ,侯亞威,胡上成,凌曉冬

(中國衛(wèi)星海上測控部,江蘇 江陰214431)

1 引 言

隨著航天科技的飛速發(fā)展,航天任務(wù)對初軌精度的需求越來越高,一直以來,定軌算法和精度分析是航天領(lǐng)域的重要研究課題之一。但在實踐中,由于參試設(shè)備多,數(shù)據(jù)量大,不管用什么定軌算法,最終都需要從多組定軌結(jié)果中優(yōu)選出一組最優(yōu)軌道。選優(yōu)的方法直接影響了整個定軌的精度。最簡單的做法可以按照比如軌道半長軸這樣的重要分量進行排序,取中間的或取與平均值最接近的軌道方案。但只參考一個軌道分量的處理缺乏可信度,取中間值或平均值的做法缺乏系統(tǒng)的排序理論,這是軌道優(yōu)選后定軌精度不高的一個重要原因,因此如何用一個系統(tǒng)的綜合評價算法來進行的軌道選優(yōu),是測控中心也是海上測量船面臨的一個問題。

航天器軌道有多個分量,均是重要的評價指標,缺一不可,其優(yōu)選評價方法是一個多屬性決策問題。多屬性決策[1](Multiple Attribute Decision Making,MADM)是指在具有不可共度的多屬性的情況下,利用已有的決策信息,通過一定的方式對有限個備選方案進行排序或擇優(yōu)。具體分析起來,簡單易行的線性加權(quán)法要求各屬性相互獨立,故不能用來處理復雜的問題;層次分析法(AHP)將復雜問題表示為一個有序的遞階層次結(jié)構(gòu)來計算,而初始軌道僅有6個軌道分量顯然是不適用的;ELECTRE法需要建立優(yōu)先關(guān)系,又難以確定;灰色關(guān)聯(lián)分析法和逼近理想點法(TOPSIS)比較適合用來進行軌道選優(yōu),但這其中都牽涉到正負理想解的設(shè)定問題。楊永安[2-3]運用灰色關(guān)聯(lián)分析法和逼近理想點法分別建立了衛(wèi)星初始軌道選優(yōu)模型,并進行了實例計算,雖然結(jié)果都比較合理,但其中灰色關(guān)聯(lián)分析法中分辨系數(shù)的確定沒有理論依據(jù),逼近理想點法中對定軌方案增加了評價權(quán)重的做法仍值得商榷,而且兩個模型中都將標稱軌道作為目標軌道去計算理想解,標稱軌道與實際軌道相差較大,必然影響精度,這也是最需要改進的地方。

本文考慮將TOPSIS方法應(yīng)用到航天器初軌優(yōu)選的問題中,著重解決目標軌道的計算和求解理想解的問題,建立相應(yīng)的評價數(shù)學模型,并結(jié)合實例計算來驗證模型的正確性。

2 用逼近理想點法進行軌道優(yōu)選的基本思路

逼近理想點法是一種從幾何觀點出發(fā)的多屬性決策方法,在m個屬性下評估n個方案,類似于m維空間里的n個點,這是借助于多目標決策問題中理想解理想方案和負理想解負理想方案的思想。所謂理想解是一個設(shè)想的最好解,其各個指標值都達到各候選方案中最好的值,而負理想解是另一個設(shè)想的最壞解,其各個指標都達到各候選方案中最壞的值。在原方案集中對每個方案與正負理想解作比較,于是利用它們之間的距離信息即可作為對各個方案進行排序的標準,與正理想解越接近,與負理想解越遠,方案越優(yōu)。

TOPSIS方法主要分4個步驟,即建立規(guī)范化矩陣、求解正負理想解、求解各方案與正負理想解的距離、確定評價指數(shù)進行排序。應(yīng)用到具體領(lǐng)域,針對不同的背景建立具體模型時最為關(guān)鍵的是規(guī)范化矩陣的構(gòu)造和正負理想解的求解,對于軌道優(yōu)選來說,中心處理系統(tǒng)將各設(shè)備的原始測量值進行處理后產(chǎn)生了多組初始軌道,每組軌道由6個開普勒根數(shù)來描述,分別是半長軸a、偏心率 e、軌道傾角 i、升交點赤經(jīng) Ψ、偏近點角 ω、近地點幅角 M,這6個指標就是每個軌道方案的6個屬性,軌道優(yōu)選問題就是根據(jù)這6個指標對多組軌道進行排序選優(yōu),確定出最優(yōu)的軌道作為定軌的最終結(jié)果,而如何將這6個屬性值化轉(zhuǎn)為規(guī)范化矩陣,如何確定正負理想解,不同的做法將會得到不同的模型,也決定了模型的精度。

下面按照TOPSIS法的4個基本步驟建立軌道優(yōu)選的數(shù)學模型。

3 軌道優(yōu)選的數(shù)學模型

3.1 構(gòu)造規(guī)范化矩陣

多屬性決策問題中的不同屬性之間可以相互比較重要性,但軌道根數(shù)6個指標無法給出具體權(quán)重,因此必須通過轉(zhuǎn)換采用位置和速度的形式,才可以既保留每個方案的所有屬性,又避免指標的相互關(guān)聯(lián)以及權(quán)重的選擇問題[2-4]。設(shè)有N組軌道方案,通過轉(zhuǎn)換得到的其中第 i組的軌道在歷元時刻在J2000.0慣性坐標系下的位置和速度為(xi,yi,zi,),統(tǒng)一表示為(pi1,pi2,pi3,pi4,pi5,pi6),其中 i=1,2,…,N。

上述軌道的6個指標并不是越大越好的效益型指標,也不是越小越好的成本型指標,為了能夠參與計算,首先對多屬性決策指標進行規(guī)范化,將6個分量計算成可以直接與“好”、“壞”相關(guān)聯(lián)的指標。

事實上,如果將航天器飛行時真實軌道位置和速度表示為(p01,p02,p03,p04,p05,p06),將各方案軌道與其做差,差值為(ki1,ki2,ki3,ki4,ki5,ki6),其中則最理想的定軌結(jié)果就是與真實軌道差值為零。當然,由于各組設(shè)備的誤差,定軌得出的軌道數(shù)據(jù)必然與真實軌道有偏差,差值是越小越好的成本型指標,并且,各評價指標權(quán)重相當,數(shù)量級也是一樣的,不存在量級的差異以及權(quán)重的差別,因此差值不需要再進行加權(quán)和歸一化,偏差矩陣可直接作為規(guī)范化矩陣,即

實際情況中,(p01,p02,p03,p04,p05,p06)未知,需要找到與此相近的軌道來代替,文獻[2-3]用標稱軌道作為這個目標軌道,這與真實軌道相差較大并不合理,而事實上現(xiàn)有的定軌結(jié)果與標稱軌道相比較起來更為接近真實軌道,當然軌道優(yōu)選本來就是選出其中最為接近真實軌道的那一組定軌結(jié)果,在優(yōu)選結(jié)果出來前并不知道哪一組最近似,因此需要利用現(xiàn)有軌道方案進行處理得出一組數(shù)據(jù)用來近似真實軌道,作為目標軌道參與運算,這里,我們采用多組軌道結(jié)果進行加權(quán)平均求解目標軌道。

3.2 加權(quán)平均法求解目標軌道

由于測量機制有所差別,不同數(shù)據(jù)源確定的軌道的精度是不一樣的,根據(jù)測控經(jīng)驗形成的共識,GPS數(shù)據(jù)確定的軌道精度較高,比較接近于真實軌道,遙測數(shù)據(jù)定軌又比外測數(shù)據(jù)定軌精度高,我們采用了10次任務(wù)的不同數(shù)據(jù)源定軌結(jié)果與精軌進行了比較,從10次任務(wù)的實測數(shù)據(jù)計算結(jié)果看,各類數(shù)據(jù)定軌結(jié)果的最大誤差如表1所示。

表1 各數(shù)據(jù)源定軌結(jié)果的偏差Table 1 Error of orbit determined by different data sources

可以看出,這與測控經(jīng)驗一致,相對于外測和遙測數(shù)據(jù),GPS數(shù)據(jù)的定軌精度比較高,而遙測數(shù)據(jù)的定軌精度又比外測數(shù)據(jù)稍高。偏差越小,精度越高,與真實軌道越接近,在加權(quán)求解目標軌道的過程中所占比重越大,因此權(quán)重與偏差成反比,根據(jù)表1結(jié)合經(jīng)驗值我們將GPS、遙測、外測的定軌數(shù)據(jù)的權(quán)重之比定為 64∶8∶7,歸一化后得 GPS、遙測、外測的定軌數(shù)據(jù)的權(quán)重為(0.81,0.10,0.09)。若外測數(shù)據(jù)源有n組定軌結(jié)果,每一組在加權(quán)時權(quán)重為若遙測數(shù)據(jù)源有m組定軌結(jié)果,每一組在加權(quán)時權(quán)重為

將加權(quán)求和所得到的目標軌道轉(zhuǎn)化為J2000.0慣性坐標系下的位置和速度,記為(p01,p02,p03,p04,p05,p06),根據(jù)3.1節(jié)可計算得到規(guī)范矩陣 V。

3.3 確定評價對象的理想解和負理想解

6個屬性指標是越小越好的成本型的,由

求得軌道方案各指標的正理想解和負理想解。正理想解和負理想解都是候選方案中沒有的,正理想解的每個分量都達到各候選方案中最優(yōu)的值,負理想解的各個分量都達到各候選方案中最差的值,逼近理想點法的基本思路就是找出虛擬的正理想解和負理想解,將各候選方案與正理想解和負理想解的距離進行比較,找出離正理想解最近同時離負理想解最遠的方案。

3.4 計算距離

求解第i組候選方案與正理想解和負理想解的距離:

3.5 確定相對接近度,方案排序

第i組軌道方案與正理想解的相對接近度

事實上,Ci的大小直接取決于方案與正負理想解的距離,與正理想解的距離越小,與負理想解的距離越大,Ci越大,方案越優(yōu)。根據(jù)接近程度Ci從大到小的順序,將各方案按優(yōu)劣程度進行排序。

4 實例計算

4.1 例1

以同步衛(wèi)星轉(zhuǎn)移軌道為例,由測控系統(tǒng)各種數(shù)據(jù)源確定的6組軌道,如表2所示,列出6組軌道方案、火箭設(shè)計的標稱軌道、事后處理得到的精軌以及加權(quán)平均法所得的軌道,將上述軌道根數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樵跉v元時刻在J2000.0慣性坐標系下的位置和速度,見表3。用加權(quán)平均法得到的軌道作為目標軌道,按照軌道優(yōu)選的計算步驟,依次計算偏差矩陣,以及正負理想解,進而計算出各軌道方案與正負理想解的距離以及相對接近度Ci,結(jié)果見表4～5。作為參照結(jié)果,用事后處理的精軌作為目標軌道,也按步驟進行排序計算,結(jié)果見表6～7。

表2 軌道根數(shù)表Table 2 Orbit element

表3 位置和速度表Table 3 Position and speed

表4 規(guī)范化矩陣及正負理想解——加權(quán)平均軌道做目標軌道Table 4 Normalized matrix,ideal solution and negative solution ——set weighted average orbit as objective orbit

表5 評價指數(shù)以及排序——加權(quán)平均軌道做目標軌道Table 5 Evaluate exponent and ranking result——setweighted average orbit as objective orbit

表6 偏差矩陣以及正負理想解——事后精確軌道做目標軌道Table 6 Normalized matrix,ideal solution and negative solution ——set posterior precise orbit as objective orbit

表7 評價指數(shù)——事后精確軌道做目標軌道Table 7 Evaluate exponent and ranking result— —set posterior precise orbit as objective orbit

可以看出,兩組計算結(jié)果一致,各方案的評價指數(shù)的值和分布也基本一致,均顯示第五組軌道方案脈沖雷達最優(yōu),其次是GPS彈道,最差的是一組慣組秒節(jié)點彈道。事實上,從表3和表5就可看出,第五組脈沖雷達與第四組GPS彈道的軌道方案的各分量是非常接近于精軌和加權(quán)平均軌道的,偏差量最小,正理想解的各分量均取自第五組脈沖雷達或第四組GPS彈道的軌道方案,它們是6組軌道中最好的兩組,其評價指標接近度也都是接近于1的且差別很小,其他各組方案的優(yōu)劣程度也都符合對偏差的大小的分析。因此,用加權(quán)平均法計算目標軌道是精確的,用逼近理想點法建立的模型進行排序,計算結(jié)果是正確合理的。

為了對比,我們用標稱軌道作目標軌道,也進行了軌道優(yōu)選的計算,限于篇幅,這里只列出用標稱軌道作目標軌道進行計算最終的評價結(jié)果,即6>2>1>5>4>3,這與前面兩組結(jié)果相差較大,與直觀的偏差分析也相悖,顯然也是不合理的。事實上,精軌是事后處理得到的精確軌道,一般意義上即作為真實軌道,而標稱軌道與真實軌道相差是比較大的,從表2即可看出標稱軌道實際上與精軌相差比較大而加權(quán)平均法求得的軌道與精軌比較接近,說明標稱軌道是不適合用做目標軌道的,會直接導致最終的排序結(jié)果不合理。

4.2 例2

以某太陽同步衛(wèi)星為例,由測控系統(tǒng)各種數(shù)據(jù)源確定的10組軌道以及標稱軌道、精軌和加權(quán)平均法得到的目標軌道,按照前面給出的模型進行軌道優(yōu)選的計算。限于篇幅,這里只列出軌道根數(shù)表以及用加權(quán)平均軌道、精軌、標稱軌道做目標軌道得到的最終結(jié)果,如表8和表9所示。

表8 軌道根數(shù)表Table 8 Orbit element

表9 排序結(jié)果Table 9 Ranking results

用加權(quán)平均軌道和事后精確軌道做目標軌道得到的最終排序基本一致,最好的軌道方案都是第二組GPS彈道,只在排名第二和第三的軌道位置有所變化,事實上第一組軌道方案和第三組軌道方案在兩次計算結(jié)果中評價接近度都是很相近的,所以排序也是相近的,優(yōu)劣程度也相差不大,排序的先后變化是可以接受的,所以模型和結(jié)果是正確合理的。加權(quán)平均法求得的軌道也是比較接近精軌的,在實時處理中可作為目標軌道進行計算。

而用標稱軌道作目標軌道的最終的評價結(jié)果與前面兩組結(jié)果相差較大,從直觀的偏差分析和測控經(jīng)驗就可得出排序顯然是不合理的。

5 結(jié) 論

本文提出的逼近理想點法解決航天器軌道優(yōu)選問題的模型,能夠給出軌道優(yōu)選的合理正確的排序,滿足軌道初選的實時性和精確性的要求。從實例計算結(jié)果可以看出,其中的加權(quán)平均法求解目標軌道與直接用標稱軌道做目標軌道相比,精度顯著提高。當然,在實踐應(yīng)用中,還需要對模型進一步完善,優(yōu)選結(jié)果的精度主要取決于加權(quán)平均法求解的目標軌道的精度,權(quán)重的變化對結(jié)果會有一定的影響,本文確定的權(quán)重求得的目標軌道是比較精確的,但還需要通過大量的系統(tǒng)仿真和統(tǒng)計進行驗證和分析,有待進一步更為深入的研究。

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