余學(xué)才 汪平和 張利勛

(電子科技大學(xué)光電信息學(xué)院,成都 610054)

(2013年1月25日收到;2013年3月29日收到修改稿)

1 引言

近二十年來(lái),中性原子激光導(dǎo)引、冷卻和操作的迅速發(fā)展開辟了原子光學(xué)學(xué)科[1-3].置于激光場(chǎng)中的中性原子,在共振或近共振相互作用下,主要受到兩個(gè)力的作用.一個(gè)力是源于自發(fā)輻射的輻射力,另一個(gè)力是原子偶極矩受光場(chǎng)的作用力,后者正比于光場(chǎng)的空間梯度.在駐波激光場(chǎng)中,駐波激光場(chǎng)形成一個(gè)1維或2維的空間周期勢(shì)晶格.偶極力用于原子導(dǎo)波[4-9]、原子束折射、反射、聚焦[10-13]和分束[14-19].由于偶極勢(shì)可以通過調(diào)制激光束得到控制,偶極勢(shì)提供了一個(gè)控制玻色凝聚體的有效手段.光晶格勢(shì)場(chǎng)中不存在晶格熱振動(dòng)、晶格缺陷等現(xiàn)象,被光晶格囚禁的玻色原子云可望保持很好的量子相干性.對(duì)于原子操作,可以增加失諧將輻射力降低到可以忽略的程度,此時(shí)原子主要受偶極力的作用.

由于多普勒效應(yīng),光場(chǎng)作用下原子偶極勢(shì)既依賴于空間坐標(biāo),也依賴于原子的動(dòng)量.原子在這個(gè)獨(dú)特的動(dòng)量依賴勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)令人迷惑.對(duì)原子在偶極力中的運(yùn)動(dòng),已做了相當(dāng)多的研究,文獻(xiàn)[1,20,21]對(duì)這些理論和實(shí)驗(yàn)研究做了總結(jié).在這些研究中,偶極力的動(dòng)量依賴特性未予考慮.但文獻(xiàn)[8]根據(jù)偶極力的動(dòng)量依賴特性提出了一種消色差的原子透鏡.在本文中,我們考慮了偶極力的動(dòng)量依賴特性,研究了紅失諧下光晶格勢(shì)場(chǎng)中原子的動(dòng)量演化.結(jié)果表明,初始動(dòng)量較大的原子,飛入光晶格勢(shì)場(chǎng)中后,動(dòng)量演化可以分為三個(gè)階段.在第一階段,原子動(dòng)量緩慢減小.原子動(dòng)量在光晶格的第一半周期減小,下半周期增加,但原子飛躍一個(gè)晶格后動(dòng)量有一個(gè)很小的凈減小量.這個(gè)結(jié)果和以前研究原子在偶極力中減速的結(jié)果一樣,文獻(xiàn)用希臘神話中的西西福斯(Sisyphus)神從山腳到山頂永無(wú)止境滾石的過程來(lái)類比這個(gè)過程[22-24].第二階段,當(dāng)原子飛躍很多個(gè)晶格后,原子動(dòng)量減小到光子動(dòng)量時(shí),會(huì)很快下降.第三階段,原子動(dòng)量在波腹和波節(jié)分別達(dá)到如下極限：

式中hˉk是光子動(dòng)量,Ω是拉比頻率,γ為原子波函數(shù)的時(shí)間衰減常數(shù).在其他位置,原子的動(dòng)量在上述兩個(gè)數(shù)值之間.由于一般情況下拉比頻率遠(yuǎn)小于波函數(shù)衰減常數(shù)(Ω?γ),所以原子動(dòng)量極限遠(yuǎn)小于光子動(dòng)量.在第三階段,如果有很多原子進(jìn)入光晶格,原子將逐漸在波腹處和波腹附近積累起來(lái),形成捕獲原子云.對(duì)動(dòng)量和位置的方差計(jì)算表明,原子動(dòng)量呈現(xiàn)壓縮性質(zhì),位置呈現(xiàn)放大性質(zhì).因此,在紅失諧動(dòng)量依賴光學(xué)偶極力作用下,原子最終量子態(tài)可能接近于動(dòng)量壓縮線態(tài)(line state).此結(jié)論表明,文獻(xiàn)[25,26]關(guān)于外勢(shì)場(chǎng)中玻色氣體在零動(dòng)量態(tài)上凝聚的假設(shè)應(yīng)為動(dòng)量壓縮線態(tài)上凝聚.

2 運(yùn)動(dòng)方程

早在1978年,Ashkin[27]就導(dǎo)出了在非飽和情況下,連續(xù)波和原子近共振相互作用偶極勢(shì)為其中M為原子質(zhì)量,c為光速,pz為光傳播方向上的原子動(dòng)量,為拉比頻率,Δ=(ω-ω)/ω 為失諧量.由于拉比頻率一般00情況下遠(yuǎn)小于原子頻率(Ω?ω0),方程(2)后來(lái)被廣泛用于原子激光操作實(shí)驗(yàn)和理論研究中[24].其中第一個(gè)因子反映了偶極勢(shì)與失諧的關(guān)系,在紅失諧下勢(shì)場(chǎng)為負(fù),藍(lán)失諧下勢(shì)場(chǎng)為正;第二個(gè)因子反映了勢(shì)場(chǎng)和拉比頻率的依賴關(guān)系,拉比頻率越高,勢(shì)場(chǎng)絕對(duì)值越大.在駐波情(況下,偶)極勢(shì)可近似為

其中k為波矢.此勢(shì)包含了一個(gè)空間周期函數(shù)sin2(k z)和一個(gè)動(dòng)量依賴函數(shù) f(pz).原子的哈密頓量為

經(jīng)過一系列復(fù)雜精密對(duì)易關(guān)系計(jì)算(附錄),動(dòng)量和位置運(yùn)動(dòng)方程分別為

(6)式中右邊第二項(xiàng)來(lái)源于勢(shì)動(dòng)量依賴函數(shù).與不依賴于動(dòng)量的運(yùn)動(dòng)方程d p/d t比較,此項(xiàng)是考慮了動(dòng)量依賴關(guān)系后增加的.后面的計(jì)算結(jié)論表明,此項(xiàng)決定了極端慢速原子的行為.將動(dòng)量、時(shí)間和位置做歸一化為無(wú)量綱物理量：

運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)?/p>

通過穩(wěn)態(tài)條件d p/d t=dφ/d t=0得到動(dòng)量的最終極限(1)式.但是只有在波腹和波節(jié)能夠達(dá)到穩(wěn)態(tài)條件,在其他位置,動(dòng)量值在(1)式給出的兩個(gè)值之間.當(dāng)失諧量滿足|ω-ω0|?γ,動(dòng)量在波腹處的極限值為hˉ k(Ω/γ)2.在小信號(hào)(非飽和)條件下,由于拉比頻率遠(yuǎn)小于能級(jí)衰減常數(shù)(Ω/γ?1),所以原子的動(dòng)量極限遠(yuǎn)小于光子動(dòng)量.

3 動(dòng)量演化

考慮較大動(dòng)量

情況,運(yùn)動(dòng)方程可近似為

對(duì)方程(11)和(12)數(shù)值求解,結(jié)果如圖1所示,動(dòng)量近似阻尼振蕩.在原子飛躍一個(gè)晶格期間,第一半周期原子被減速,第二半周期原子被加速.飛躍一個(gè)晶格后,動(dòng)量有一個(gè)很小的凈減小量：

pˉz,j代表原子進(jìn)入第j個(gè)晶格時(shí)的動(dòng)量.如果pˉz,j小于失諧量,動(dòng)量?jī)糇兓∮?,原子被減速;反之,原子被加速.所以原子被加速還是減速不僅決定于是紅失諧還是藍(lán)失諧,還取決于原子的初始動(dòng)量.在紅失諧條件下(Δ＞0),歸一化動(dòng)量小于失諧量的原子被減速;歸一化動(dòng)量大于失諧量的原子則被加.原子飛躍第j個(gè)晶格的時(shí)間Δtˉj近似為

圖1 原子在初始幾個(gè)光晶格中的動(dòng)量演化,原子在一個(gè)晶格的第一半周期被加速,第二半周期被減速.經(jīng)過一個(gè)晶格后,原子動(dòng)量有一個(gè)凈減小量(初始動(dòng)量ˉp0=10-6,相當(dāng)于初始速300 m/s,失諧量Δ=10-12,ω0/γ=105,ˉhω0/Mc2=10-9,拉比頻率Ω/γ=10-1)

圖2 不同拉比頻率下原子飛躍1000個(gè)晶格的動(dòng)量?jī)魷p小量(拉比頻率Ω/γ：(a)0.1,(b)0.09,(c)0.08,(d)0.07,(e)0.06;初始速度300 m/s,失諧量Δ=10-6,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

圖2 和圖3分別給出不同拉比頻率和初始動(dòng)量下動(dòng)量減速的情況.需要飛躍很多個(gè)晶格后動(dòng)量才能有效降低.當(dāng)動(dòng)量減小到ˉhk量級(jí)時(shí),動(dòng)量急劇下降(圖4),迅速達(dá)到最終極限(圖5),在波節(jié)和波腹處達(dá)到(1)式給出的值.在此期間,如果有大量原子入射,原子將在波腹和波腹附近逐漸積聚.

圖3 不同初始動(dòng)量下原子飛躍1000個(gè)晶格的動(dòng)量?jī)魷p小量(初始動(dòng)量ˉp0：(a)10-2,(b)1.1×10-2,(c)1.3×10-2,(d)1.4×10-2;拉比頻率Ω/γ=0.1,失諧量Δ=10-6,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

圖4 動(dòng)量演化的全貌 經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間的減速后,動(dòng)量接近ˉhk(Ω/γ)2量級(jí)時(shí),原子迅速減速原子,并逐漸停止在波腹和波腹附近處(初始動(dòng)量ˉp0=5×10-5,失諧量Δ=10-12,拉比頻率Ω/γ=0.3,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

圖5 原子動(dòng)量在達(dá)到極限時(shí)的較詳細(xì)情況 原子在波腹和波腹附近動(dòng)量接近0,但加速度不為0,因此緩慢越過波節(jié)運(yùn)動(dòng)到下一個(gè)晶格(初始動(dòng)量ˉp0=2.5×10-6,失諧量Δ=10-12,拉比頻率Ω/γ=0.5,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

4 動(dòng)量壓縮性質(zhì)

原子在光晶格中經(jīng)過很長(zhǎng)時(shí)間的飛行?后,?經(jīng)歷了一個(gè)各態(tài)歷經(jīng)的過程,我們用時(shí)間平均p2z=代替海森伯繪景下量子平均求動(dòng)量和位置的方差：

結(jié)果如圖6和圖7所示.從圖中可見,動(dòng)量方差經(jīng)過一個(gè)最大值后緩慢減小,位置方差則單調(diào)增加.因?yàn)楦鲬B(tài)只有經(jīng)歷足夠長(zhǎng)的時(shí)間后才可能是正確的,時(shí)間較短的平均值是不可信的,所以動(dòng)量方差最大值之前的單調(diào)上升的趨勢(shì)是不可信的.在經(jīng)過近十萬(wàn)個(gè)光學(xué)周期(微秒時(shí)間)后,動(dòng)量方差單調(diào)減小,說明了原子在一個(gè)動(dòng)量減速勢(shì)中經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間后處于動(dòng)量壓縮態(tài)的性質(zhì).

圖6 歸一化動(dòng)量方差(初始動(dòng)量ˉp0=1.25×10-5,拉比頻率Ω/γ=0.1,失諧量Δ=10-8,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

圖7 歸一化位置方差(初始動(dòng)量ˉp0=1.25×10-5,拉比頻率Ω/γ=0.1,失諧量Δ=10-8,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105)

5 高斯晶格下原子運(yùn)動(dòng)

考慮高斯光束構(gòu)成的晶格,拉比頻率為

其中w為光斑半徑.原子的運(yùn)動(dòng)軌道由下面方程求出

式中pˉx=px/Mc,xˉ=kx,wˉ=kw.圖8和圖9分別給出了原子在不同橫向動(dòng)量下和不同拉比頻率下的運(yùn)動(dòng)軌道.橫向向外運(yùn)動(dòng)的原子,橫向動(dòng)量較小的情況下,將被偶極勢(shì)拉回到光束中心,原子軌道對(duì)拉比頻率十分敏感.拉比頻率越大,原子越容易被拉回到光束中心.

6 結(jié)果與討論

本文研究了光晶格勢(shì)中原子的動(dòng)量演化,特別考慮了偶極勢(shì)的動(dòng)量依賴關(guān)系.對(duì)動(dòng)量和位置的方差計(jì)算表明,原子動(dòng)量呈現(xiàn)壓縮性質(zhì),位置則呈現(xiàn)放大性質(zhì).根據(jù)此結(jié)論,我們預(yù)言光晶格動(dòng)量依賴偶極勢(shì)中的單粒子態(tài)可能接近動(dòng)量壓縮線態(tài).研究結(jié)果表明,原子動(dòng)量演化可以分為三個(gè)過程：第一個(gè)過程是阻尼振蕩衰減過程,此過程對(duì)初始動(dòng)量較大的原子,將持續(xù)很長(zhǎng)的時(shí)間;第二個(gè)過程是當(dāng)動(dòng)量被降低到光子動(dòng)量數(shù)量級(jí)時(shí),動(dòng)量急速減小;第三個(gè)過程是原子逐漸在波腹與波腹附近停下來(lái),被囚禁在波腹附近.

圖8 不同初始橫向動(dòng)量下原子軌道初始橫向動(dòng)量ˉp：(a)-8×10-9,(b)-6×10-9,(c)-4×10-9,(d)-2×10-9,(e)0;拉比頻率Ω/γ=0.1,失諧量Δ=10-8,初始縱向動(dòng)量ˉpz=10-5,初始橫向位置x=10λ,光斑半徑w=100λ,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105

圖9 不同拉比頻率下原子軌道 Ω/γ：(a)0.12,(b)0.11,(c)0.1;初始向外橫向動(dòng)量ˉpx=2×10-9,失諧量Δ=10-8,初始縱向動(dòng)量ˉpz=10-5,初始橫向位置x=10λ,光斑半w=100λ,ˉhω0/Mc2=10-9,ω0/γ=105

本文推導(dǎo)了海森伯繪景下依賴于動(dòng)量偶極勢(shì)中原子運(yùn)動(dòng)方程,是全量子理論,可用于進(jìn)一步研究原子激光束聚焦、原子激光捕獲以及原子激光束反射鏡等效應(yīng).

附錄

動(dòng)量方程：

式中p0=McΔ.從對(duì)易關(guān)系

得到：

位置方程：

計(jì)算對(duì)易關(guān)系：

利用：

得到：

再利用求和公式：

最后得到：

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