林萬濤 林一驊 石蘭芳 莫嘉琪

1)(中國科學(xué)院大氣物理研究所,大氣科學(xué)和地球流體力學(xué)數(shù)值模擬國家重點實驗室,北京 100029)

2)(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,南京 210044)

3)(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院,蕪湖 241003)

(2013年2月14日收到;2013年3月22日收到修改稿)

1 引言

厄爾尼諾和南方濤動(ENSO)分別是發(fā)生在熱帶大氣和海洋中的異常事件,它嚴(yán)重地影響全球各地和區(qū)預(yù)氣防為候當(dāng)和前生學(xué)態(tài)術(shù)等界方所面關(guān)的注變化[1-,9對].它海的洋規(guī)和律大的氣研之究間的交互作用影響著氣候的波動,這對種交互作用的研究已經(jīng)集中在厄爾尼諾-南方濤動現(xiàn)象上,它每隔3到4年周期地出現(xiàn),并主要發(fā)生在熱帶太平洋區(qū)域.厄爾尼諾和南方濤動的振蕩性態(tài)是海-氣流動的正負(fù)兩種反饋的結(jié)果,這兩種反饋決定了海表溫度(SST)的變化,并與南方濤動流動強度有關(guān),導(dǎo)致了弱信風(fēng)沿著赤道行進(jìn).弱信風(fēng)驅(qū)動著海洋流動變化,加強了SST的異常.海洋-大氣的正反饋與耦需合研的究不東、穩(wěn)定西性太平導(dǎo)致洋了振子赤模道太型平的異洋溫常度關(guān)變系.化許,因多此學(xué)者已使用不同的方法對ENSO局部和整體的性態(tài)做了多方位的討論[1-6].對于復(fù)雜的全球海-氣耦合模型,通過簡化的海-氣非線性相互作用物理過程得到的振子概念模型能更容易描述海-氣耦合過程的本質(zhì)和物理機理,從而能描述ENSO的某些重要物理現(xiàn)象.因此許多學(xué)者提出了研究ENSO的各種振子形式的動力系統(tǒng)模型[7-12],如“時滯振子”,“平流-反射振子”,“西太平洋振子”,“充電-放電振子”等理論的研究.本文研究一類ENSO海-氣耦合振子震動動力學(xué)模型[11].近來,許多學(xué)者研究了非線性奇攝動問題,一些近似方法被優(yōu)化,包括邊界層法、平均化法、匹配近似展開方法和多重尺度法等[13-17].作者等也利用攝動理論等方法研究了一類非線性問題[18-30].本文是利用攝動理論來討論一類ENSO海-氣耦合振子.

2 ENSO耦合振子模型

考慮如下ENSO耦合振子動力學(xué)模型[7-9]：

其中T表示赤道東太平洋的SST距平,h表示赤道西太平洋的溫躍層厚度距平,C,D,E,Rh表示正參數(shù),它們的詳細(xì)定義和物理意義參見文獻(xiàn)[7,8],ε為小的正參數(shù).本文是求ENSO耦合振子動力學(xué)模型(1),(2)的震蕩近似解.

首先對方程(1)兩邊進(jìn)行d/d t+Rh運算,考慮到(2)式,當(dāng)C＞Rh,DE＞CRh時,可得

其中

由(3)式,對應(yīng)的方程：

這就是van der Pol方程.由van der Pol方程的性態(tài)知,方程(4)當(dāng)T＜Tc為負(fù)阻尼方程,當(dāng)T＞Tc為正阻尼方程.此外,方程(4)可改寫為如下等價的平面系統(tǒng)：

不難看出,系統(tǒng)(5)有一個平衡態(tài)(T?,U?)=(0,0).其對應(yīng)的特征方程和特征根為

由此可知[11],當(dāng)μ2＜4ω02時,即在弱阻尼的情況下,平衡態(tài)(T?,U?)=(0,0)是一個不平衡的焦點;當(dāng)μ2＞4ω02時,即在強阻尼的情況下,平衡態(tài)(T?,U?)=(0,0)是一個不平衡的結(jié)點.因此,這時海-氣耦合振子當(dāng)氣候稍有偏離平衡態(tài)時,將會處于不穩(wěn)定狀態(tài),并且還不難看出,當(dāng)μ=0(無阻尼的情形),van der Pol方程(3)是一個Hamilton系統(tǒng).當(dāng)ε很小時,在無阻尼情形時,海表溫度距將做周期振蕩.當(dāng)μ/=0的情形,在弱阻尼的條件下,存在兩個平衡態(tài)：一個平衡態(tài)就是(T?,U?)=(0,0),便是不穩(wěn)定的焦點;另一個平衡態(tài)就是在相平面(T,U)上,是一個閉合的極限環(huán).它是van der Pol方程在弱阻尼的情況下求得的孤立波周期解(周期吸引子),即當(dāng)運動脫離平衡態(tài)后,有可能進(jìn)入一個周期的運動,其周期為2π/ω0的氣候震蕩狀態(tài).

3 ENSO模型的振蕩近似解

對于小的參數(shù)ε,在弱阻尼的條件下,我們用Krylov-Boglinbov方法來求弱阻尼方程(3)振蕩近似解.方程(3)可改寫為

當(dāng)參數(shù)ε=0時,方程(6)的解為

其中a,φ為常數(shù).對于ε/=0時,我們采用廣義的“常數(shù)變易法”.將方程的解看作仍由方程(6)的形式,但a,φ為時間t的函數(shù),且滿足條件

現(xiàn)對(7)式求導(dǎo)

比較(8),(9)式得

再對(8)式求導(dǎo),有

將上式代入方程(6),并考慮到(7)式,得

從(10),(11)式解出 d a/d t,dφ/d t,得到

為了解(12),(13)式,注意到這些方程右邊關(guān)于變量ψ是周期函數(shù),所以有

因為ε是小量,a和φ是時間t的慢變函數(shù),所以在時間周期2π/ω0區(qū)間內(nèi)它們的變化是很小的.把這些方程右邊的a和φ當(dāng)作常數(shù),在一個周期[t,t+(2π/ω0)]上求 (12),(13)式的平均值,得到

其中

即

于是由(14)—(16)式知

積分(17),(18)式,得到

其中a0和φ0為常數(shù).將(19),(20)式代入(7)式,我們便得到弱阻尼van der Pol方程(4)的震蕩近似解：

再將(21)式代入方程(2),得

由方程(22),有解

故(21),(23)式便是ENSO耦合振子動力學(xué)模型(1),(2)的震蕩近似解.用同樣的方法,還可繼續(xù)得到ENSO耦合振子動力學(xué)模型更高次的震蕩近似解.

4 舉例

現(xiàn)舉例說明ENSO耦合振子動力學(xué)模型解的震蕩性態(tài).為了方便起見,我們假設(shè)如下無量綱方程：

比較模型(1),(2)知C=2,D=Rh=1,E=3,μ=1,ω0=1.現(xiàn)求模型(24),(25)式的近似解.由(24),(25)式,對應(yīng)于方程(5)為

由(8)式,設(shè)方程(26)的解為

由(14),(15)式

其中

即有

于是由(14)—(16)式知

積分(31),(32)式,得到

其中a0和φ0為常數(shù).將(33),(34)式代入(27)式,我們便得到方程(26)的震蕩近似解：

將(35)式代入方程(25),得

由方程(36),有解

其中a0,b0為常數(shù).故(35),(37)式便是ENSO耦合振子動力學(xué)模型(24),(25)的震蕩近似解.現(xiàn)設(shè)T(0)=h(0)=1,這時由解(35),(37)式得

由方程(36),有解

當(dāng)在初始條件T(0)=h(0)=1,ε=0.5下,震蕩近似解(38),(39)曲線圖見圖1和圖2所示.由圖1和圖2可以看出,ENSO耦合振子動力學(xué)模型(24),(25)具有震蕩型的近似解.

5 結(jié)論

由于大氣物理中的復(fù)雜性,需要建立它的基本模型系統(tǒng)的方程,并去求解它.參數(shù)變值法和平均法是一個簡單而有效的方法.它類同于變系數(shù)非齊次常微分方程的常數(shù)變易法,但比常數(shù)變易法更深入,加上了取變量函數(shù)平均值的過程,以達(dá)到求得近似解的目的.這種方法對消去解的長期項的有界解用相應(yīng)的近似解來替代很有效,同樣,這種近似解保留了解析表達(dá)式的特點,以便可以繼續(xù)對它使用解析運算.因此可以利用它對模型的相應(yīng)的定性性質(zhì)做進(jìn)一步的探討,這對進(jìn)一步了解和預(yù)測模型的有關(guān)性質(zhì)更為方便和實用,特別是對大氣物理方面的氣象預(yù)報等的描述.

圖1 ENSO耦合振子海表溫度T(t)近似震蕩曲線圖

圖2 ENSO耦合振子溫躍層厚度h(t)近似震蕩曲線圖

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