吳小玉 呂長飛② 朱秋菊

(①貴州師范大學機械與電氣工程學院，貴州貴陽 550014;②貴州師范大學機械與控制仿真重點實驗室，貴州貴陽 550014;③上海航天電子技術研究所，上海 201109)

則ik為t(R)在λ處的截集，稱為布爾矩陣。對于溫度變量xik，則在閾值λ上時聚為一類，從而達到分類的目的。

如何在眾多溫度測點中找出少數能表達機床溫度信息的關鍵溫度測點，通過最少溫度測點獲得較多的機床溫度場變化信息，進而建立精度高、魯棒性好的熱誤差模型是國內外學者在精密制造方面研究的主要方向［1－2］。沈岳熙和楊建國提出一種基于嶺回歸分析的數控機床溫度布點優(yōu)化方法［3］，張琨等用熱模態(tài)分析方法對機床溫度測點進行優(yōu)化選擇［4］，周天鵬等采用灰色系統理論中灰色關聯分析法建立測溫點和熱誤差之間的相關程度達到優(yōu)化測溫點的目的［5］，Naeem S.Mian等采用有限元方法對環(huán)境溫度所引起的機床變形進行了估算［6］，Yung－Cheng Wang等建立了主軸熱變形最小化測量系統和補償機制［7］。模糊聚類分析方法和熱誤差敏感度分析方法等都取得了很好的應用［8－9］。模糊聚類分析方法按照溫度變化的相關性可以將測點歸為若干類以減少測點的數量，但不能確定最優(yōu)溫度測點的位置。熱誤差敏感度表達了測點的溫度變化對熱誤差作用的大小，體現了溫度測點信息量特點，但當溫度測點數量眾多時，運用熱誤差敏感度計算最優(yōu)測點時計算量大［10］。本文結合模糊聚類和熱誤差敏感度分析方法，通過模糊聚類分析方法將不同位置測點的溫度特征歸類，用熱誤差敏感度分析方法從每一類別中選出一個最優(yōu)測點組成最優(yōu)測點組合，實現數控機床溫度測點優(yōu)化，并利用最小二乘法進行多元線性回歸分析對機床熱誤差進行建模，與實驗對比，驗證了此溫度測點優(yōu)化選擇方法的有效性。

1 溫度測點優(yōu)化

如何用最少關鍵溫度測點代表眾多溫度測點用于熱誤差建模且不會降低模型精度是一個極其關鍵的問題，這樣既能減少試驗工作量和降低成本，更能簡化熱誤差模型。

1.1 模糊聚類測點分類

根據機床結構特征和實際運行情況，在機床主軸箱、進給系統等重要部件上布置n個溫度測點，用模糊聚類分析對該n個測點進行聚類，設U={u1，u2，…，un}為待分類的n個溫度測點，其中每一待分類測點由一組m個測量數據組成:ui=(xi1，xi2，…，xim)，計算n個溫度測點間相似程度的統計量rij(1≤i，j≤n)，建立模糊相似矩陣R=(rij)n×n，相似關系R是衡量測量數據相似程度的模糊量。矩陣元素rij表示向量xi與xj的相關、相似程度，即n個測點間的相關相似程度:

包含模糊相似矩陣R的最小傳遞模糊矩陣叫做R的傳遞閉包，記為t(R)。

設R為n階模糊相似矩陣，則存在自然數k≤n，使得:

且對于所有大于k的自然數l，都有Rl=Rk，當計算到R2k=Rk時，Rk便是模糊等價矩陣。

F服從自由度為(r－1，n－r)的F分布。當F＞Fα(r－1，n－r)(α =0.05)時，根據數理統計方差分析理論可知類與類之間的差異是顯著的，(F－Fα)/Fα較大時對應的λ為最佳閾值。若rij≥λ，取rij=1，反之，取rij=0，令分類后的矩陣為:

1.2 熱誤差靈敏度最優(yōu)點選擇

根據定義，熱誤差靈敏度表示為熱誤差對溫度變化的一階導數:

式中:s為熱誤差靈敏度，Δδ和ΔT分別為一個采集時間間隔的熱誤差之差和溫度差。當采集時間間隔很小時，熱靈敏度可用Δδ/ΔT近似。

基于熱誤差靈敏度的溫度測點選擇方法如下:

(1)計算第i個溫度測點在第j個采樣時刻的熱誤差靈敏度sij，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m。n和m分別為溫度測點總數和采樣次數的總數(即n個測點中每個測點包含m個測量數據)。

(2)計算任意兩溫度測點a、b間熱誤差靈敏度的差異值，用兩測點每一時刻的熱誤差靈敏度差異值的絕對值總和dab表示:

(3)根據模糊聚類分析得溫度測點類別數r，通過最大化式Dr來確定最佳熱關鍵點組合:

式中:Ti為第i個溫度測點。

根據式(7)，Dr值越大，表示該r個溫度測點組合的熱誤差靈敏度越大，Dr最大時該r個溫度測點即為最優(yōu)測點組合。

2 實驗驗證

溫度采集使用Pt100鉑電阻溫度傳感器、FLXMDA－9000智能多點巡檢儀及DE311串口通信轉換模塊，位移檢測使用CNDT6100電容位移傳感器、信號放大器和NI USB－6225采集卡，在VMC1165B立式加工中心布置溫度測點，工作臺:T1;主軸箱上中下:T8，T7，T13;主電動機:T3;x線性軸線方向:T12(左軸承座)，T4(絲杠螺母)，T15(右軸承座)，T11(x軸電動機);y線性軸線方向:T10(前軸承座)，T2(絲杠螺母)，T5(后軸承座)，T14(y軸電動機);z線性軸線方向:T6(下軸承座)，T16(上軸承座);T9為環(huán)境溫度，如圖1所示(其中y線性軸線方向所有溫度傳感器和位移傳感器以及z線性軸線方向溫度傳感器T16和位移傳感器處于圖中背面)。熱誤差的檢測通過5個位移傳感器以五點測量法進行測量(如圖2)，在x軸和y軸方向分別選取相對位置上、下兩點進行測量，標識為x上、x下和y上、y下。對加工中心整機以主軸轉速和線性軸線運動速度(線性軸線速度是x、y向聯動時的線性軸線合成速度)參數按如圖3所示速度譜進行實驗，機床測點溫度變化如圖4所示，對應整機在工作臺后端熱變形如圖5所示。

根據各測點測得溫度數據求得溫度測點間的相關系數，由公式(1)建立相似關系矩陣R:

再由公式(2)求得模糊等價矩陣為t(R):

分析模糊等價矩陣t(R)，得聚類分析結果如表1所示。由表1可知，當聚類數目為3、4、7類時，都有F＞Fα。而當λ=0.93，聚類數目為4時，對應的(FFα)/Fα最大，所以溫度測點聚為 4 類最佳。x、y、z向進給系統部件和工作臺的溫度變化規(guī)律類似，只需在T(1，2，4，5，6，10，11，12，14，15，16)中選擇一個測點即可;主軸箱上3個測點溫度變化規(guī)律相似，只需在T(7，8，13)中選取一個測點;電動機溫度與其他測點獨立不相關，取T3測點;測點T9為環(huán)境溫度。T(1，2，4，5，6，10，11，12，14，15，16)和 T(7，8，13)兩個類別究竟選擇哪兩個測點組合才是最優(yōu)，通過熱誤差靈敏度分析確定。

表1 模糊聚類分析結果

由式(7)可知，若直接用熱誤差靈敏度分析方法對溫度測點進行優(yōu)化，16個溫度測點中選出4個關鍵測點需要計算·個值，計算量大?；谀：垲惙治鰧囟葴y點進行分類后再用熱靈敏度分析獲得最佳溫度測點組合的方法對多測點的關鍵測點選擇很有優(yōu)勢。本文通過模糊聚類分析T3和T9兩個測點已經確定，T(1，2，4，5，6，10，11，12，14，15，16)和 T(7，8，13)則需要分別選出一個關鍵測點。需要計算的誤差靈敏度差異值D2為C19·C13=27組，分別為dT1，T7，dT1，T8，dT1，T13，…，dT15，T13。計算出z、y、x向熱誤差相對于與兩組測點之間的D2值分別如表2、3和4所示。

從表2，表3，表4可以看出:z、y、x向熱誤差敏感度值最大的均是dT1，T13，所以線性軸線系統和主軸箱的溫度測點分別選擇T1和T13。最終選出的最優(yōu)的溫度測點如表5所示。

通過對該立式加工中心的熱誤源分析和溫度測點優(yōu)化布置研究可知，16個溫度傳感器中有4個很關鍵，通過它們可以簡便地估計機床的熱誤差，而且精度也能滿足要求。4個關鍵傳感器測量的溫度分別為t2、t3、t7和t9。假設一個含待定參數c0、c1、c2、c3、c4的系統誤差模型:

T1、T3、T9、T13和δ是試驗測量數據，由該數據組成的多元線性回歸方程參數的估計由最小二乘法求得。根據機床熱誤差的試驗測量數據，求得機床誤差模型為:

表2 z向熱誤差相對于與兩組測點之間的dq，l值

表3 y向熱誤差相對于與兩組測點之間的dq，l值

表4 x向熱誤差相對于與兩組測點之間的dq，l值

表5 溫度測點分類

多元線性回歸曲線與實際測量值及其殘差如圖6所示。

由圖6可見多元線性回歸曲線和原始曲線擬合得很好，模型具有較高的精度。

3 結語

VMC1165B立式加工中心的結構特點決定了x、y、z方向的熱誤差大小各有不同。本文通過模糊聚類分析方法和熱敏感度分析方法找出機床熱變形關鍵溫度測點組合，有效地將用于測量溫度場的16個溫度測點減少到4個溫度測點用于熱誤差建模，既減少了熱誤差檢測的工作量，也降低了熱誤差補償的成本。利用最小二乘法進行多元線性回歸分析對機床熱變形進行建模，建立的回歸模型和測量的試驗數據擬合得很好，證明了本文測點優(yōu)化的有效性，為數控機床的熱誤差補償提供了依據。

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