頡 炯

（天水電氣傳動研究所有限責(zé)任公司，甘肅天水 741020）

1 引言

由于實際系統(tǒng)中總是存在參數(shù)的變化和外界干擾，這些不確定項的存在會對實際的控制系統(tǒng)產(chǎn)生影響，有時甚至?xí)箍刂葡到y(tǒng)發(fā)散，因此設(shè)計控制系統(tǒng)時要考慮其魯棒性［1］。

直接逆模型控制［2-3］是一種簡單有效的控制器設(shè)計方法，使用被控對象傳遞函數(shù)的逆模型作為串行控制器來開環(huán)控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。文獻［2］采用最小二乘支持向量機(Least Square Support Vector Machine,LS-SVM)對系統(tǒng)進行逆建模，將逆模型作為串行控制器對被控系統(tǒng)進行開環(huán)控制，并對幾種典型信號進行了跟蹤仿真，但文中未考慮系統(tǒng)的參數(shù)變化和外界干擾。文獻［3］針對開環(huán)逆控制，在核函數(shù)為Lipschitz的條件下，證明了LS-SVM逆控制器是有限增益穩(wěn)定的，但文中也未涉及到系統(tǒng)發(fā)生參數(shù)變化和存在外界干擾時的穩(wěn)定性問題。因此當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化和存在外界干擾時如何提高直接逆控制器的魯棒性以及如何盡可能準(zhǔn)確地構(gòu)造被控對象的逆模型成為直接逆控制需要解決的關(guān)鍵問題。支持向量機是一種基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化的機器學(xué)習(xí)算法，可以逼近任意一類非線性函數(shù)。而最小二乘支持向量機是采用二次規(guī)劃方法解決函數(shù)估計問題的方法。該方法計算簡單，收斂速度快，精度高，在函數(shù)估計和控制中得到廣泛應(yīng)用［4-8］，為逆系統(tǒng)控制方法中構(gòu)造逆系統(tǒng)模型提供了理論依據(jù)。

基于此本文引入LS-SVM離線建立被控系統(tǒng)的逆建模，并借助無模型自適應(yīng)控制思想［9-10］，設(shè)計一個補償控制器，作為系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時的逆模型控制的補償控制，同時引入系統(tǒng)控制誤差ε不敏感函數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)控制誤差超出不敏感區(qū)域時，利用增量算法對逆模型進行在線修正，提高控制精度。仿真結(jié)果表明文中所提方法能有效地增強控制器的魯棒性和控制精度。

2 最小二乘支持向量機

2.1 批量LS-SVM函數(shù)估計算法

其中：w為權(quán)向量，β為偏移量。

在LS-SVM中，目標(biāo)函數(shù)描述為：

式中：J為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；γ為正則化參數(shù)；ek為誤差變量。

約束條件yk＝wT·φ（xk）+β+ek（k＝1，2…N），定義拉格朗日函數(shù)為：

式中：αk為拉格朗日乘子，根據(jù)Karush-Kuhn-Tucker（KKT）最優(yōu)條件［7］：

從而求解的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組問題

式中：α＝［α1，…，αN］T，1＝［1，…，1］T，y＝［y1，… yN］T，I為N×N辨識矩陣，Ω為核矩陣，Ωij＝K（xi，yj），K為定義的核函數(shù)。

將式（4）簡化為：

選擇滿足Mercer條件的核函數(shù)

本文中核函數(shù)選取徑向基函數(shù)

式中：σ為一正的實常數(shù),表示核寬度。

非線性回歸函數(shù)就可以表示為：

2.2 LS-SVM增量算法

令（xN+1，yN+1）為一組新的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，由式（5）得原模型與新模型的增量關(guān)系為：

式中：

其中：c＝γ-1+φN+1φN+1a ＝［1 φ1φN+1φ2φN+1… φNφN+1］

由矩陣逆定理可得：

式（8）可減少求解大規(guī)模逆矩陣的時間。

3 基于動態(tài)補償?shù)脑诰€LS-SVM逆控制

3.1 LS-SVM逆控制

考慮SISO非線性離散系統(tǒng)

y（k+1）＝f［y（k），…，y（k-n），u（k），…，u（k-m）］（9）式中：u（k）、y（k）分別為輸入、輸出量，則 u（k）的顯示表達式為：

令參考輸入φ（k）＝y(tǒng)（k+1），則式（10）可以表示為：

由于式（10）在工程實際中常常難以確切描述,本文擬采用LS-SVM逼近系統(tǒng)（9）的逆模型，即式（11）的逼近式?？梢员硎緸椋?/p>

其中 u-＝［u（k-1），u（k-2），…，u（k-m）］

y-＝［y（k-1），y（k-2），…，y（k-n）］

y+＝［y（k+1），y（k）］

通過LS-SVM學(xué)習(xí)，利用已知數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)的逆模型，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 基于LS-SVM的逆模型

3.2 無模型自適應(yīng)控制方法

無模型自適應(yīng)控制方法（MFAC）中控制器的設(shè)計不需要受控過程的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)及辯識過程，不需要針對某個特定的受控對象進行控制器設(shè)計，也無需對控制器參數(shù)進行復(fù)雜的人工整定，并且有一定的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析來保證系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定。

本文將MFAC用于在線LS-SVM逆控制的補償控制，用以克服實際系統(tǒng)中時變參數(shù)攝動或不確定。

以下給出非線性系統(tǒng)（9）基于緊格式線性化的MFAC控制方案［9］：

其中pk、ηk為步長序列，且pk，ηk∈（0，2）。（k）為基于緊格式線性化的偽偏導(dǎo)數(shù)μ為關(guān)于參數(shù)估計變化量的懲罰因子；λ為權(quán)重因子，作用是限制Δu（k）；ε為一個充分小的正數(shù)的初值；r（k）為參考軌跡。

從上述控制方案可以看出MFAC方法不包含系統(tǒng)辯識這個環(huán)節(jié)，僅用受控系統(tǒng)的I/O數(shù)據(jù)，與受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和階數(shù)無關(guān)，而且MFAC算法簡單，計算量小。

3.3 基于動態(tài)補償?shù)脑诰€LS-SVM逆控制

由于參數(shù)攝動和外界干擾的存在，可能會導(dǎo)致控制系統(tǒng)性能下降，甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此設(shè)計一個補償控制器uc（k）來改善控制系統(tǒng)的性能，修正的控制器為：

其中：um（k）為基于標(biāo)稱系統(tǒng)所設(shè)計的控制器。

在線LS-SVM逆控制即在標(biāo)稱系統(tǒng)下所設(shè)計的，式（12）是在標(biāo)稱情況下通過訓(xùn)練得出的，也可表示為：

因為MFAC方法不包含系統(tǒng)辯識部分，僅用受控系統(tǒng)的I/O數(shù)據(jù)，而且MFAC算法簡單，計算量小，所以本文中的補償控制器uc（k）借助MFAC算法來實現(xiàn)。將MFAC改進用于動態(tài)補償?shù)乃惴ㄈ缦拢?/p>

考慮到系統(tǒng)參數(shù)的時變攝動，將系統(tǒng)實際輸出與參考輸入的誤差作為控制性能的評價指標(biāo)，引入控制誤差ε不敏感函數(shù)，利用增量算法對逆模型進行在線學(xué)習(xí)，減小計算的復(fù)雜度，提高實時控制性能和精度，同時提高控制器的魯棒性?；趧討B(tài)補償?shù)脑诰€LS-SVM逆控制框圖如圖2所示。

圖2 基于動態(tài)補償?shù)脑诰€LS-SVM逆控制框圖

根據(jù)離線逆控制器的設(shè)計，基于系統(tǒng)控制誤差的ε不敏感函數(shù)的增量算法，實現(xiàn)在線訓(xùn)練步驟如下。

步驟1初始化在線模型，即利用已知數(shù)據(jù)訓(xùn)練得到被控系統(tǒng)的離線逆模型。

步驟2設(shè)r（k+1）為下一時刻的參考輸入，由式（15）可得被控對象的控制量u（k）。由被控對象實際輸出y（k+1）和參考輸入r（k+1）得系統(tǒng)控制誤差：

步驟3根據(jù)不敏感函數(shù)確定系統(tǒng)控制誤差

步驟5 由式（6）和式（7）可得到在線模型參數(shù)αN+1更新逆模型，并作為下一時刻的初始化模型。返回步驟2。

4 仿真研究

考慮如下非線性離散系統(tǒng)

其中：a、b、c均為0.3；d（k）為外界干擾。假設(shè)系統(tǒng)的參考軌跡為：

4.1 逆系統(tǒng)模型的建立

采用LS-SVM逆系統(tǒng)建模方法對系統(tǒng)（19）離線建立其對應(yīng)的逆模型作為直接逆控制器，如圖3所示為LS-SVM逆模型辨識仿真曲線。從圖3可知，LS-SVM能很好地逼近逆系統(tǒng)。

圖3 LS-SVM逆模型辨識

4.2 在線LS-SVM逆控制器和補償控制器的設(shè)計

為充分激勵被控系統(tǒng)，控制量u取幅值為2.0的正弦信號，采集300組數(shù)據(jù)進行系統(tǒng)逆模型的建立，用交叉驗證方法選取模型參數(shù)。將離線建好的逆模型作為逆控制器（式16）串聯(lián)在被控系統(tǒng)的前面，將系統(tǒng)實際輸出與參考輸入的誤差作為控制性能的評價指標(biāo)，引入控制誤差ε不敏感函數(shù)，即當(dāng)系統(tǒng)誤差超出不敏感區(qū)域時，利用LSSVM增量算法對逆模型進行在線修正，保證系統(tǒng)的控制精度。

補償控制器中參數(shù)的設(shè)計如下，設(shè)置步長序列pk＝1.9，ηk＝1.9，參數(shù)估計變化量的懲罰因子μ＝1，權(quán)重因子λ＝2。

（1）當(dāng)采用文獻［2］中的控制方法時，在系統(tǒng)沒有受到參數(shù)攝動和外界干擾時，對設(shè)定曲線有很好的跟蹤效果，而在t＞5.0s時，參數(shù)a由0.3變到0.6，輸出響應(yīng)已經(jīng)不能跟蹤設(shè)定曲線，仿真圖如圖4所示。

圖4 LS-SVM直接逆控制效果

圖5 動態(tài)補償?shù)腖S-SVM逆控制效果

圖6 動態(tài)補償?shù)脑诰€LS-SVM逆控制效果

（2）當(dāng)采用動態(tài)補償?shù)腖S-SVM逆控制方法時，在 t＞5.0s時，數(shù)a由0.3變到0.6，系統(tǒng)響應(yīng)曲線只出現(xiàn)微小的抖動；在t＞10.0s時，受到外界強干擾d＝0.2時，系統(tǒng)仍能保持很好的跟蹤效果；在t＞15.0s時，發(fā)生a＝0.3cos（0.5πt）的時變攝動時，仍具有較好的跟蹤效果，仿真圖如圖5所示。

（3）本文采用基于動態(tài)補償?shù)脑诰€LS-SVM逆控制方法，當(dāng)出現(xiàn)（2）中同樣情形時，控制效果更優(yōu)于（2）中的控制效果，其仿真圖如圖6所示。

由仿真圖4-6可以看出，本文所提出的方法在參數(shù)發(fā)生快時變攝動和受到時變強干擾時對設(shè)定曲線仍然有理想的跟蹤效果，提高了控制器的魯棒性和系統(tǒng)跟蹤精度。

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